论文部分内容阅读
探索就是研究，创新就是发展。几年来，各地对数学课程评价都作了许多有意义的探索和改革，探索性问题有利于考查学生的思维能力与创新意识。这类问题都是激发学生主动去研究问题，通过研究，发展思维，创新思维。探索性问题就是在解题过程中要研究：为了得出某个结论，需要什么条件，或者是有了某些条件后，还可以添加什么条件;解决了一个问题之后，还有没有其他方法；得出问题的一个解之后，符合条件的解还有没有，还有几个；遇到一个问题之后分析一下，这个问题有没有解；有，怎样证明；没有，为什么没有。
探索性问题的主要类型有条件追溯型、结论探索型、存在判断型和方法探究型。
探索性问题的解题策略：
1、条件追溯型：这类问题的外在形式是针对一个结论、条件未知须探究，或条件增删须确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是执因索果，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。在执因索果的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意，确定条件是否多余时要着眼每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。
2、结论探索型：这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要判定。探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般形式，解决这类问题的一般思维方式是首先研究符合条件的特例和反例，观察、试验、归纳、猜想，然后进行论证，对于判断某结论是否成立的问题，有时需要区别不同的情形而加以分类讨论。
3、存在判断型：这类问题是在确定的题设条件下判断某一数学对象是否存在。解决这类问题的基本策略是先假设需要探索的数学对象存在，条件和这种假设为出发点进行数式运算或逻辑推理，如果由此推出矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在，给出证明，有时也需要区别不同的情形加以分类讨论。
4、方法探究型：这里指的是需用非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一问题，难度较高的构造法属于此例。在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式保持本质的特殊情形，运用类比、猜想、联想来探路，解题过程中创新的成分较高。
典型题例：
例1：已知：抛物线与x轴交于原点两侧的两点和它的对称轴与x轴交于点N(x3,O)，若A、B间的距离小于6，则：
（1）求k的取值范围；
（2）试判断，是否存在k的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1）。若存在，找出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
例2：已知：如图，矩形中，于点为AD上的一动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E。若，，设四边形的面积为y。
（1）求BD的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当四边形ABEP的面积是ΔPED面积的5倍时，连结PB，判断ΔPAB与ΔPDV是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
例3：某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：一是发现抛物线，当实数变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数变化时，若把抛物线的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线上。
（1）请你协助探求当实数变化时，抛物线的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由。
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表达出来吗？你的猜想能成立吗？若成立，请说明理由。
例4：（04，南通）小刚为书房买灯，现有两种灯供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。
（1）设照明时间为X小时，请用含X的式子分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用=灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏：
①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；
②试用特殊值推断照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；
（3）小刚想在这两种灯中选购两盏，假设照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。
例5：通过计算，找出规律，完成此题。
⑴15=225，可写成100×1×（1+1）+25
25=625，可写成100×2×（2+1）+25
35=1225，可写成100×3×（3+1）+25
45=2025，可写成100×4×（4+1）+25
75=5625，可写成（）
85=7225，可写成（）
（2）根据（1）的结果，归纳、猜想，得（10n+5）=（）
（3）根据上面归纳、猜想，计算2005=（ ）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
探索性问题的主要类型有条件追溯型、结论探索型、存在判断型和方法探究型。
探索性问题的解题策略：
1、条件追溯型：这类问题的外在形式是针对一个结论、条件未知须探究，或条件增删须确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是执因索果，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。在执因索果的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意，确定条件是否多余时要着眼每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。
2、结论探索型：这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要判定。探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般形式，解决这类问题的一般思维方式是首先研究符合条件的特例和反例，观察、试验、归纳、猜想，然后进行论证，对于判断某结论是否成立的问题，有时需要区别不同的情形而加以分类讨论。
3、存在判断型：这类问题是在确定的题设条件下判断某一数学对象是否存在。解决这类问题的基本策略是先假设需要探索的数学对象存在，条件和这种假设为出发点进行数式运算或逻辑推理，如果由此推出矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在，给出证明，有时也需要区别不同的情形加以分类讨论。
4、方法探究型：这里指的是需用非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一问题，难度较高的构造法属于此例。在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式保持本质的特殊情形，运用类比、猜想、联想来探路，解题过程中创新的成分较高。
典型题例：
例1：已知：抛物线与x轴交于原点两侧的两点和它的对称轴与x轴交于点N(x3,O)，若A、B间的距离小于6，则：
（1）求k的取值范围；
（2）试判断，是否存在k的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1）。若存在，找出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
例2：已知：如图，矩形中，于点为AD上的一动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E。若，，设四边形的面积为y。
（1）求BD的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当四边形ABEP的面积是ΔPED面积的5倍时，连结PB，判断ΔPAB与ΔPDV是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
例3：某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：一是发现抛物线，当实数变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数变化时，若把抛物线的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线上。
（1）请你协助探求当实数变化时，抛物线的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由。
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表达出来吗？你的猜想能成立吗？若成立，请说明理由。
例4：（04，南通）小刚为书房买灯，现有两种灯供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。
（1）设照明时间为X小时，请用含X的式子分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；（注：费用=灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏：
①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；
②试用特殊值推断照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；
（3）小刚想在这两种灯中选购两盏，假设照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。
例5：通过计算，找出规律，完成此题。
⑴15=225，可写成100×1×（1+1）+25
25=625，可写成100×2×（2+1）+25
35=1225，可写成100×3×（3+1）+25
45=2025，可写成100×4×（4+1）+25
75=5625，可写成（）
85=7225，可写成（）
（2）根据（1）的结果，归纳、猜想，得（10n+5）=（）
（3）根据上面归纳、猜想，计算2005=（ ）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”