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【摘要】提高教学质量一直是高校的主题与生命力。对学生的思维能力与创新能力的培养是现代教学的主要任务与时代的要求。《高等数学》中的极限、导数、微分与积分等概念的内涵丰富、深藏了辨证思想与分析解决问题的方法;良好地、正确地把握这些概念的教学有利于提高学生综合素质能力。本文对这几个概念教学进行了分析;提出如何从实例出发,由浅入深,步步深入,形成概念,最终又利用概念回到实际的教学模式。通过实际的教学实践,方法效果良好。
【关键词】极限 导数 微分 积分 辨证思维能力
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0135-03
在科学不断发展的今天,素质教育越来越受到重视。在知识浩瀚的今天,现今的学习不仅要学现有的知识,更要学习一种学习能力与创新能力。如何在教学过程中提高学生的素质成当今教育的热点研究课题。高等数学是培养学生学习能力、逻辑思维能力、判断能力与辩证思维能力的重要课程,受很大的重视,几乎是所有专业的重要基础课。高等数学中的极限、导数、积分的概念是一种从有限到无限、从具体的抽象的重要概念。这些概念中包含很多的启发思想与辨证关系,如何在对这些概念的教学中挖掘其中深藏的内涵,提高学生思维能力与创新能力是一件有意义的教学研究课题。
1 极限概念、定义及辩证思维能力培养
极限是高等数学中一个最基本的概念,高等数学中的许多重要概念都是用极限概念来定义的。极限的思想方法贯穿于高等数学中的各个部分。数列极限是学生最早学习的一个极限概念,它包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了有限与无限的对立统一,有着丰富、典型、深刻的辩证思想。对数列极限概念中蕴涵的这些辩证思想进行挖掘并渗透到教学当中去,对学生辩证思维能力的培养有很大的帮助。
1.1 极限概念的形成
我国古代魏晋时期,数学家刘徽的“割圆术”来了解极限的思想方法。要计算圆周率,就要先求出圆的周长,但怎样计算圆的周长呢?刘徽以1为半径作圆,然后将圆周六等分,作圆的内接正六边形,则此内接正六边形比较接近圆周了。如此逐渐倍增分点数,依次作圆的内接正12边形、正24边形、正48边形等等。刘徽说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割。则与圆周合体而无所失矣。”就是说,分点数越多,所作的圆内接正多边形越接近圆周。如此一直下去,则圆内接正多边形无限接近圆周。即这一串圆内接正多边形的周长依次记为C1、C2、C3…,由此所构成的数列记为{Cn}。当n越大时,内接正多边形与圆的差异也就越小,当n无限增大时,则Cn就无限接近于C。在数学上把这个精确量,称之为数列{Cn}的极限,记为:Cn→C(当n→∞)。通过这样实例引入有利于学生兴趣与思考。
1.2 实例分析中对学生辩证思维能力的培养
怎样从极限概念中培养学生的辩证思维能力呢？重点是对概念形成过程进行分析,挖掘其中蕴含的辩证思想。在刘徽的“割圆术中”,当n是个有限的自然数时,要求圆的周长,可用圆内接正多边形的周长近似代替。若对圆周仅进行有限次的分割,当n不断增大时,圆的内接正多边形周长的变化是量变。则无论分割多少次,得到的圆内接正多边形的周长都只能是圆周长的近似值。只有无限地分割下去,在n→∞的无限变化过程中,Cn与C才无限接近,其近似值的量变将导致质变的飞跃,产生精确值。此时圆内接正多边形无限接近于圆,而其边长无限趋近于0,这样才能得到圆周长的精确值。在分析的同时把分割的次数与圆的周长分两栏列出来,先让学生有个直观的映像,能后引导学生去讨论发现过程中的辩证思想。
内接正多边形 圆内接正多边形的周长
正六边形 C1
正12边形C2
正24边形C3
……… ………
正n边形 Cn
学生因为辩证法知识有限,不能系统地分析出其中所蕴涵的辩证思想,但是可以说出相关的一些词汇,比如有限、无限,近似、精确等。那么教师可以在教授知识的同时对学生分析或猜想出的结果进行简单的概括和引申:从过程看,表现为有限向无限转化,近似逐渐逼近精确;从结果来看,无限又转化为有限,量变产生质变。充分体现了过程与结果、近似与精确、有限与无限、量变与质变的对立统一关系。剖析函数极限概念的过程中,不但可以加深学生对函数极限概念的正确理解,也可以对学生进行辩证唯物主义思想渗透,从而培养学生的辩证思维能力。
数列极限的定义如同它的概念一样蕴涵了过程与结果、有限与无限、变与不变、近似与精确等对立对一的辩证思想。在分析过极限概念中所蕴涵的辩证思想之后进一步引导学生去发现这些矛盾,共同去体会这些辩证思想,提高学生的辩证思维能力。
当n趋于无穷大时,数列{xn}的极限为a。此时,数列{xn}是变量,a是变化过程xn的变化结果。一方面数列{xn}中任何一个xn无论再大都不是a。这说明了什么呢？在教师的引导下学生可以说出这是过程与结果的对立;另一方面,随着过程的进(即n无限地增大)xn越来越靠近a,经过飞跃又可转化为a。这又说明了什么呢？学生会回答是过程与结果的统一。最后教师可以总结:所以a的求出是过程与结果的对立统一。
在极限式中,数列的每一项xn和极限结果a都是一有限量,但极限过程却是无限的。从左向右看,随着n的无限增大,给定数列{xn}的对应值向a作无限通近运动,这说明这个无限运动的变化过程只能通过有限的量来刻画。从右向左看,该极限式是在有限中包含着无限。这反映了什么呢？学生可能一下子并不一定能想出很好的词汇去形容他们的想法,这就需要教师有足够的耐心去引导。最后教师归纳:这反映了有限与无限的对立统一。
在极限式中,a是一个与n无关的不变量,xn则是一个随着n的增大,其对应值不断发生变化的变量。无论n增大到怎样的数值,都不可能变为常量,这说明变量xn与常量a存在着一种变与不变的质的对立关系。同样地,它们之间也体现了一种互相联系互相依赖的关系。随着n的不断增大,变量xn趋向于a的程度也相应地不断增大,最终当时,xn产生了质的飞跃转化为了常量a,体现了变与不变的质的统一关系。
在极限式中对于每一个具体的n,式子的左边总是右边的一个近似值,并且n越大,精确度越高,蕴涵了近似与精确的对立统一的思想。
质变、量变,近似、精确这些都是学生很熟悉的概念,通过引导学生很快地理解这些对立统一的思想,从而可以提高学生这方面的辩证思维能力。
2 导数概念形成及其辩证思维能力培养
导数教学的教育价值核心体现在培养学生辩证思维能力,导数概念的形成过程体现了数学的基本思维方式是变量函数思维和计算逼近思维,问题解决的思维策略是进退互用和动静转化。让这些辩证思维在导数概念形成过程中展示,让学生在理解导数概念的过程中,领悟数学思维方法,从而培养学生的创造性思维、辩证思维,提高数学素养。
2.1 导数概念的形成
先来分析变速直线运动S=s(t)在t=t0的瞬时速度。先求出[t0,t0+△t]这段时间内的平均速度当△t很小时,在[t0,t0+△t]这段时间内的速度变化不大,以这小段上的平均速度近似代替t0时刻的速度,这是不变的,静止的,近似的,△t越小,近似的程度就越高。在有限的过程中矛盾还没有转化,只有当△t→0时,平均速度的极限就是所求的瞬时速度的精确值,它就是路程函数对时间的导数。
2.2 辩证思维能力的培养
怎样通过导数概念的建立去培养学生的辩证思维能力呢？教学中,可以设计了这样的问题让学生自己去研究讨论。
(1)怎样把非匀速直线运动中速度转化为简单的“常量”加以研究呢?
学生通过探索,发现用分割成若干个小区间来研究并不能使变量人为地“僵化”起来。但又必须用“常量”的运动形式来替代,这一运动形式显然只能是匀速直线运动。联想到求圆面积的思想方法和研究极限概念的思路,学生明白了既要把运动着的过程分割成若干个小区间,又要把在小区间内的运动暂时地“僵化”为匀速直线运动才便于研究。也就是求解过程中,在局部范围内先用“以常量代变量”
(2)怎样把小区间内的平均速度转化为某一时刻的瞬时速度呢?
学生探索的结果只能是缩小区间,但每一次缩小后仍然是平均速度,要想使平均速度转化为某一时刻的瞬时速度,必须令Δt→0。这就必须使用极限的手段才能由此及彼。当Δt→0时,趋于一个定值。从而得到非匀速直线运动某一时刻的瞬时速度。即“以不变代变”求出近似值,让它变动起来,通过取极限得到精确值。
师生共同讨论小结,得出解决这类问题的思路:研究变量在某一点的变化率问题,必须使用分割的方法,在小区间内用常量代替变量,体现了变量函数思维;再施以极限的手段,使小区间无限变小,得到新的常量,体现了计算逼近思维。最后得到变量在某一点的定量描述。在几何意义上,这个过程就是直与曲的转化。在数量关系上,就是近似与精确的转化。整个过和体现了进退互用和动静转化的思维策略。
为了提高学生的辩证思维能力,再引进切线问题。在分析时,可以向学生提出问题:通过研究上例,在求解斜率时,如何处理近似与精确的矛盾。同时引导学生求解过程中所采用的欲进而先退的迂回方法,即先不直接正面探求,而退回到已知的割线斜率,再反其道而行之,由极限的方法,将割线斜率转化为切线在某点的斜率。渗透“退”与“进”的互补关系,近似与精确的互相转化的辩证思维方法,从而达到培养学生思维能力的目的。学生就能自觉地运用上述辩证思维过程,求得问题的解答。有了两个具体实例的研究,导数概念的建立,水到渠成了,同时也培养了学生的辩证思维能力。
3 微分和积分中的对立统一
对立统一是自然界中存在的一种普遍规律,在微积分中尤为明显。在讲授积分时渗透这种辩证思想,对学生理解微分、积分中的一些概念、公式及定理,可以收到事半功倍的效果,同时可以培养学生的辩证思维,为今后用这种思想方法解决其他问题打下良好的基础。
微积分是微分和积分的合称,就象乘法和除法一样,两者之间有互为逆运算的密切关系,所以微分和积分不可分割,必须合起来一起研究,合称微积分。对于微积分来说,它所研究的是微分与积分的矛盾,也就是说:在微积分中,其主要矛盾就是微分和积分的矛盾。微分学中的一条定理或公式,在积分学中也应有相应的定理或公式,反之亦然,即它们之间应是相互对应的。
3.1 微分、积分运算公式的对立统一
设F(x)是f(x)的原函数,则
或
或
或
3.2 微分、积分主要定理的对立统一
微分中值定理:若f(x)在[a,b]上可微,则在[a,b]中一定存在一点,使得
积分中值定理:若f(x)是[a,b]上的连续函数,则在[a,b]中一定存在一点,使得
这两条中值定理有十分明确的几何意义。微分中值定理表示在[a,b]中存在一点ζ,曲线y=f(x)在这点的切线是平等于联结点与点的割线。而积分中值定理表示在[a,b]中存在一点,曲线在[a,b]上覆盖的曲边梯形的面积等于以b-a及为边长的长方形的面积。这两个定理表面上看上去与对立统一无关,怎样去让学生发现它们是对立统一的呢？从上述的观察知悉,这两个中值定理,从表面上看是两个完全不同的几何定理,一个定理说的是切线(即微分),一个定理说的是面积(即积分)。而已知“求切线”(微分)与“求面积”(积分)是互为逆运算,所以当令时,就可发现,这两个中值定理实际上说的是同一件事。这还是微分与积分是一对矛盾,对立统一规则在微积分上的一个体现。
微分和积分还有许多的矛盾,用对立统一的观点学习微分、积分,不仅能让学生让更好地掌握对立统一规律,而且可以培养学生的辩证思维能力,会用辩证的观点分析问题和解决问题。
4 积分例题及辩证思维能力培养
当生产实践提出要求计算曲边形的面积时,人们的认识就产生了一个质的飞跃,发现直与曲之间没有不可逾越的鸿沟,在一定条件下它们相互转化成为同一的东西。因此可以通过直边形来计算出曲边形,办法就是把曲边梯形划分为许多条条,每一小曲边用直边代替得出小矩形,再把它们总和起来构成阶梯边形,就非常接近所要求的曲边梯形了。随着我们把小曲边梯形再分小,分到要多小有多小,分到无限小。这时直与曲的固定界限消失了,直线化曲、直边形转化为曲边形。用恩格斯的话说,就是“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”但是,在实现直与曲的相互转化的同时,有限的东西又转化为无限的东西,有限的曲边梯形转化为无限的条条。求曲边形面积的问题似乎复杂化了,本来要计算有限的东西,现在变成要去求无限的东西。这好像走了弯路,但为了走直路而走弯路这正是辩证法。在教学当中渗透这些辩证法思想,可以逐渐地培养学生的辩证思维能力。
4.1 例题
例:求抛物线y=x2在[0,1]的区间中所围成的面积S,如图1所示,
解:取分点,把区间[0,1]等分为n个小区间,相应地也把S分割为n个小曲边梯形。现取各小区间的长为底,以小区间左端点的函数值为高作小矩形近似代替Si,i=1,2,….,n,因而有
(1)
即当时,(1)式右边的极限为,它就是所求的曲边梯形的面积。
4.2 辩证思维能力培养
上题是一个求积分过程,它建立在以曲线代替直线,直线转化为曲线的基础上。怎样培养学生的辩证思维能力呢？首先详细分析上述求解过程:
第一步,分割区间
用n+1个分点把区间[0,1]等分成n个小区间,其中第i个小区间为,其长度记为。这样曲边梯形就被直线分成了n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记作Si,且总面积。这个步骤用了怎样一个方法？有的学生会回答无限分割或把一个有限的空间分割成无限个小区间,由此有的学生可能想到有限和无限的转化。
第二步,近似代替
在区间上以小区间左端点的函数值为高,为底的小矩形的面积为。用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值,即:
这一步又反映了什么辩证思想？学生很容易可以想到近似代替,近而想到利用近似逼近,后要将用取极限的形式求出结果。也有的学生会想到以直代曲这种解决方式。
第三步,求和
把这n个小矩形的面积加起来,得到面积值为用它作为整个曲边梯形面积的近似值,即:。这时学生很容易想到这是积零为整,由无限转化成有限。
第四步,取极限
为了得到曲边梯形面积的精确值,把每个区间无限地细分,当时,每个无限小的矩形面积近似值变为准确值,从而得到积分(即曲边梯形的面积):
分析到这里,既求出了结果,同时学生也发现了其中所蕴涵的辩证思想。这样引导并鼓励学生去观察、思考,可以逐渐地培养学生辩证思维能力。
5 结束语
辩证思维方法能使学习和研究问题更加深入,更加触及数学的本质,它是思维发展最活跃,最富有创造性的高级阶段。在高等数学的教学中,利用数学内容的辩证因素,渗透辩证法的观点进行教学,并注意用辩证思维方法去引导学生分析问题,解决问题,使学生潜移默化地受到影响,这不仅有利于提高数学的教学质量,对于培养学生的辩证思维能力及形成科学的世界观都是大有裨益的。笔者体会到微积分中的几对重要辩证思想如已知与未知、常量与变量、直与曲、有限与无限、量变与质变、对立又统一的关系,尝试着用联系的而不是孤立的、用运动的而不是静止的、全面的而不是片面的观点来分析问题、解决问题,一方面加深了学生对所学内容的认识,另一方面,自觉地培养了学生的辨证思维和哲学精神,立科学的发展观,面地提高本科生的整体素质,为其将来的研究及工作奠定了良好的基础。
参考文献
[1]马克思,恩格斯.马克思、恩格斯选集[M].北京:人民出版社,1995.
[2]同济大学数学系.高等数学[M].上海:高等教育出版社,1996.
[3]华东师范大学数学系.数学分析.上海:高等教育出版社,1991.
[4] 龚彦琴.培养学生辩证思维方法能力的最佳内容———微积分.数学教学研究.
[5] 吴振英.论极限的思想方法.广州大学学报(自然科学版).
[6] 秦德生.学生对导数的理解水平及其发展规律研究.博士论文.
[7] 贺胜平.在微积分教学中培养学生的辩证逻辑思维能力.重庆职业技术学院学报.
[8] 龚怠.对微积分中主要矛盾的认识.自然辩证法研究.
【关键词】极限 导数 微分 积分 辨证思维能力
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0135-03
在科学不断发展的今天,素质教育越来越受到重视。在知识浩瀚的今天,现今的学习不仅要学现有的知识,更要学习一种学习能力与创新能力。如何在教学过程中提高学生的素质成当今教育的热点研究课题。高等数学是培养学生学习能力、逻辑思维能力、判断能力与辩证思维能力的重要课程,受很大的重视,几乎是所有专业的重要基础课。高等数学中的极限、导数、积分的概念是一种从有限到无限、从具体的抽象的重要概念。这些概念中包含很多的启发思想与辨证关系,如何在对这些概念的教学中挖掘其中深藏的内涵,提高学生思维能力与创新能力是一件有意义的教学研究课题。
1 极限概念、定义及辩证思维能力培养
极限是高等数学中一个最基本的概念,高等数学中的许多重要概念都是用极限概念来定义的。极限的思想方法贯穿于高等数学中的各个部分。数列极限是学生最早学习的一个极限概念,它包含了事物无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了有限与无限的对立统一,有着丰富、典型、深刻的辩证思想。对数列极限概念中蕴涵的这些辩证思想进行挖掘并渗透到教学当中去,对学生辩证思维能力的培养有很大的帮助。
1.1 极限概念的形成
我国古代魏晋时期,数学家刘徽的“割圆术”来了解极限的思想方法。要计算圆周率,就要先求出圆的周长,但怎样计算圆的周长呢?刘徽以1为半径作圆,然后将圆周六等分,作圆的内接正六边形,则此内接正六边形比较接近圆周了。如此逐渐倍增分点数,依次作圆的内接正12边形、正24边形、正48边形等等。刘徽说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割。则与圆周合体而无所失矣。”就是说,分点数越多,所作的圆内接正多边形越接近圆周。如此一直下去,则圆内接正多边形无限接近圆周。即这一串圆内接正多边形的周长依次记为C1、C2、C3…,由此所构成的数列记为{Cn}。当n越大时,内接正多边形与圆的差异也就越小,当n无限增大时,则Cn就无限接近于C。在数学上把这个精确量,称之为数列{Cn}的极限,记为:Cn→C(当n→∞)。通过这样实例引入有利于学生兴趣与思考。
1.2 实例分析中对学生辩证思维能力的培养
怎样从极限概念中培养学生的辩证思维能力呢？重点是对概念形成过程进行分析,挖掘其中蕴含的辩证思想。在刘徽的“割圆术中”,当n是个有限的自然数时,要求圆的周长,可用圆内接正多边形的周长近似代替。若对圆周仅进行有限次的分割,当n不断增大时,圆的内接正多边形周长的变化是量变。则无论分割多少次,得到的圆内接正多边形的周长都只能是圆周长的近似值。只有无限地分割下去,在n→∞的无限变化过程中,Cn与C才无限接近,其近似值的量变将导致质变的飞跃,产生精确值。此时圆内接正多边形无限接近于圆,而其边长无限趋近于0,这样才能得到圆周长的精确值。在分析的同时把分割的次数与圆的周长分两栏列出来,先让学生有个直观的映像,能后引导学生去讨论发现过程中的辩证思想。
内接正多边形 圆内接正多边形的周长
正六边形 C1
正12边形C2
正24边形C3
……… ………
正n边形 Cn
学生因为辩证法知识有限,不能系统地分析出其中所蕴涵的辩证思想,但是可以说出相关的一些词汇,比如有限、无限,近似、精确等。那么教师可以在教授知识的同时对学生分析或猜想出的结果进行简单的概括和引申:从过程看,表现为有限向无限转化,近似逐渐逼近精确;从结果来看,无限又转化为有限,量变产生质变。充分体现了过程与结果、近似与精确、有限与无限、量变与质变的对立统一关系。剖析函数极限概念的过程中,不但可以加深学生对函数极限概念的正确理解,也可以对学生进行辩证唯物主义思想渗透,从而培养学生的辩证思维能力。
数列极限的定义如同它的概念一样蕴涵了过程与结果、有限与无限、变与不变、近似与精确等对立对一的辩证思想。在分析过极限概念中所蕴涵的辩证思想之后进一步引导学生去发现这些矛盾,共同去体会这些辩证思想,提高学生的辩证思维能力。
当n趋于无穷大时,数列{xn}的极限为a。此时,数列{xn}是变量,a是变化过程xn的变化结果。一方面数列{xn}中任何一个xn无论再大都不是a。这说明了什么呢？在教师的引导下学生可以说出这是过程与结果的对立;另一方面,随着过程的进(即n无限地增大)xn越来越靠近a,经过飞跃又可转化为a。这又说明了什么呢？学生会回答是过程与结果的统一。最后教师可以总结:所以a的求出是过程与结果的对立统一。
在极限式中,数列的每一项xn和极限结果a都是一有限量,但极限过程却是无限的。从左向右看,随着n的无限增大,给定数列{xn}的对应值向a作无限通近运动,这说明这个无限运动的变化过程只能通过有限的量来刻画。从右向左看,该极限式是在有限中包含着无限。这反映了什么呢？学生可能一下子并不一定能想出很好的词汇去形容他们的想法,这就需要教师有足够的耐心去引导。最后教师归纳:这反映了有限与无限的对立统一。
在极限式中,a是一个与n无关的不变量,xn则是一个随着n的增大,其对应值不断发生变化的变量。无论n增大到怎样的数值,都不可能变为常量,这说明变量xn与常量a存在着一种变与不变的质的对立关系。同样地,它们之间也体现了一种互相联系互相依赖的关系。随着n的不断增大,变量xn趋向于a的程度也相应地不断增大,最终当时,xn产生了质的飞跃转化为了常量a,体现了变与不变的质的统一关系。
在极限式中对于每一个具体的n,式子的左边总是右边的一个近似值,并且n越大,精确度越高,蕴涵了近似与精确的对立统一的思想。
质变、量变,近似、精确这些都是学生很熟悉的概念,通过引导学生很快地理解这些对立统一的思想,从而可以提高学生这方面的辩证思维能力。
2 导数概念形成及其辩证思维能力培养
导数教学的教育价值核心体现在培养学生辩证思维能力,导数概念的形成过程体现了数学的基本思维方式是变量函数思维和计算逼近思维,问题解决的思维策略是进退互用和动静转化。让这些辩证思维在导数概念形成过程中展示,让学生在理解导数概念的过程中,领悟数学思维方法,从而培养学生的创造性思维、辩证思维,提高数学素养。
2.1 导数概念的形成
先来分析变速直线运动S=s(t)在t=t0的瞬时速度。先求出[t0,t0+△t]这段时间内的平均速度当△t很小时,在[t0,t0+△t]这段时间内的速度变化不大,以这小段上的平均速度近似代替t0时刻的速度,这是不变的,静止的,近似的,△t越小,近似的程度就越高。在有限的过程中矛盾还没有转化,只有当△t→0时,平均速度的极限就是所求的瞬时速度的精确值,它就是路程函数对时间的导数。
2.2 辩证思维能力的培养
怎样通过导数概念的建立去培养学生的辩证思维能力呢？教学中,可以设计了这样的问题让学生自己去研究讨论。
(1)怎样把非匀速直线运动中速度转化为简单的“常量”加以研究呢?
学生通过探索,发现用分割成若干个小区间来研究并不能使变量人为地“僵化”起来。但又必须用“常量”的运动形式来替代,这一运动形式显然只能是匀速直线运动。联想到求圆面积的思想方法和研究极限概念的思路,学生明白了既要把运动着的过程分割成若干个小区间,又要把在小区间内的运动暂时地“僵化”为匀速直线运动才便于研究。也就是求解过程中,在局部范围内先用“以常量代变量”
(2)怎样把小区间内的平均速度转化为某一时刻的瞬时速度呢?
学生探索的结果只能是缩小区间,但每一次缩小后仍然是平均速度,要想使平均速度转化为某一时刻的瞬时速度,必须令Δt→0。这就必须使用极限的手段才能由此及彼。当Δt→0时,趋于一个定值。从而得到非匀速直线运动某一时刻的瞬时速度。即“以不变代变”求出近似值,让它变动起来,通过取极限得到精确值。
师生共同讨论小结,得出解决这类问题的思路:研究变量在某一点的变化率问题,必须使用分割的方法,在小区间内用常量代替变量,体现了变量函数思维;再施以极限的手段,使小区间无限变小,得到新的常量,体现了计算逼近思维。最后得到变量在某一点的定量描述。在几何意义上,这个过程就是直与曲的转化。在数量关系上,就是近似与精确的转化。整个过和体现了进退互用和动静转化的思维策略。
为了提高学生的辩证思维能力,再引进切线问题。在分析时,可以向学生提出问题:通过研究上例,在求解斜率时,如何处理近似与精确的矛盾。同时引导学生求解过程中所采用的欲进而先退的迂回方法,即先不直接正面探求,而退回到已知的割线斜率,再反其道而行之,由极限的方法,将割线斜率转化为切线在某点的斜率。渗透“退”与“进”的互补关系,近似与精确的互相转化的辩证思维方法,从而达到培养学生思维能力的目的。学生就能自觉地运用上述辩证思维过程,求得问题的解答。有了两个具体实例的研究,导数概念的建立,水到渠成了,同时也培养了学生的辩证思维能力。
3 微分和积分中的对立统一
对立统一是自然界中存在的一种普遍规律,在微积分中尤为明显。在讲授积分时渗透这种辩证思想,对学生理解微分、积分中的一些概念、公式及定理,可以收到事半功倍的效果,同时可以培养学生的辩证思维,为今后用这种思想方法解决其他问题打下良好的基础。
微积分是微分和积分的合称,就象乘法和除法一样,两者之间有互为逆运算的密切关系,所以微分和积分不可分割,必须合起来一起研究,合称微积分。对于微积分来说,它所研究的是微分与积分的矛盾,也就是说:在微积分中,其主要矛盾就是微分和积分的矛盾。微分学中的一条定理或公式,在积分学中也应有相应的定理或公式,反之亦然,即它们之间应是相互对应的。
3.1 微分、积分运算公式的对立统一
设F(x)是f(x)的原函数,则
或
或
或
3.2 微分、积分主要定理的对立统一
微分中值定理:若f(x)在[a,b]上可微,则在[a,b]中一定存在一点,使得
积分中值定理:若f(x)是[a,b]上的连续函数,则在[a,b]中一定存在一点,使得
这两条中值定理有十分明确的几何意义。微分中值定理表示在[a,b]中存在一点ζ,曲线y=f(x)在这点的切线是平等于联结点与点的割线。而积分中值定理表示在[a,b]中存在一点,曲线在[a,b]上覆盖的曲边梯形的面积等于以b-a及为边长的长方形的面积。这两个定理表面上看上去与对立统一无关,怎样去让学生发现它们是对立统一的呢？从上述的观察知悉,这两个中值定理,从表面上看是两个完全不同的几何定理,一个定理说的是切线(即微分),一个定理说的是面积(即积分)。而已知“求切线”(微分)与“求面积”(积分)是互为逆运算,所以当令时,就可发现,这两个中值定理实际上说的是同一件事。这还是微分与积分是一对矛盾,对立统一规则在微积分上的一个体现。
微分和积分还有许多的矛盾,用对立统一的观点学习微分、积分,不仅能让学生让更好地掌握对立统一规律,而且可以培养学生的辩证思维能力,会用辩证的观点分析问题和解决问题。
4 积分例题及辩证思维能力培养
当生产实践提出要求计算曲边形的面积时,人们的认识就产生了一个质的飞跃,发现直与曲之间没有不可逾越的鸿沟,在一定条件下它们相互转化成为同一的东西。因此可以通过直边形来计算出曲边形,办法就是把曲边梯形划分为许多条条,每一小曲边用直边代替得出小矩形,再把它们总和起来构成阶梯边形,就非常接近所要求的曲边梯形了。随着我们把小曲边梯形再分小,分到要多小有多小,分到无限小。这时直与曲的固定界限消失了,直线化曲、直边形转化为曲边形。用恩格斯的话说,就是“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”但是,在实现直与曲的相互转化的同时,有限的东西又转化为无限的东西,有限的曲边梯形转化为无限的条条。求曲边形面积的问题似乎复杂化了,本来要计算有限的东西,现在变成要去求无限的东西。这好像走了弯路,但为了走直路而走弯路这正是辩证法。在教学当中渗透这些辩证法思想,可以逐渐地培养学生的辩证思维能力。
4.1 例题
例:求抛物线y=x2在[0,1]的区间中所围成的面积S,如图1所示,
解:取分点,把区间[0,1]等分为n个小区间,相应地也把S分割为n个小曲边梯形。现取各小区间的长为底,以小区间左端点的函数值为高作小矩形近似代替Si,i=1,2,….,n,因而有
(1)
即当时,(1)式右边的极限为,它就是所求的曲边梯形的面积。
4.2 辩证思维能力培养
上题是一个求积分过程,它建立在以曲线代替直线,直线转化为曲线的基础上。怎样培养学生的辩证思维能力呢？首先详细分析上述求解过程:
第一步,分割区间
用n+1个分点把区间[0,1]等分成n个小区间,其中第i个小区间为,其长度记为。这样曲边梯形就被直线分成了n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记作Si,且总面积。这个步骤用了怎样一个方法？有的学生会回答无限分割或把一个有限的空间分割成无限个小区间,由此有的学生可能想到有限和无限的转化。
第二步,近似代替
在区间上以小区间左端点的函数值为高,为底的小矩形的面积为。用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值,即:
这一步又反映了什么辩证思想？学生很容易可以想到近似代替,近而想到利用近似逼近,后要将用取极限的形式求出结果。也有的学生会想到以直代曲这种解决方式。
第三步,求和
把这n个小矩形的面积加起来,得到面积值为用它作为整个曲边梯形面积的近似值,即:。这时学生很容易想到这是积零为整,由无限转化成有限。
第四步,取极限
为了得到曲边梯形面积的精确值,把每个区间无限地细分,当时,每个无限小的矩形面积近似值变为准确值,从而得到积分(即曲边梯形的面积):
分析到这里,既求出了结果,同时学生也发现了其中所蕴涵的辩证思想。这样引导并鼓励学生去观察、思考,可以逐渐地培养学生辩证思维能力。
5 结束语
辩证思维方法能使学习和研究问题更加深入,更加触及数学的本质,它是思维发展最活跃,最富有创造性的高级阶段。在高等数学的教学中,利用数学内容的辩证因素,渗透辩证法的观点进行教学,并注意用辩证思维方法去引导学生分析问题,解决问题,使学生潜移默化地受到影响,这不仅有利于提高数学的教学质量,对于培养学生的辩证思维能力及形成科学的世界观都是大有裨益的。笔者体会到微积分中的几对重要辩证思想如已知与未知、常量与变量、直与曲、有限与无限、量变与质变、对立又统一的关系,尝试着用联系的而不是孤立的、用运动的而不是静止的、全面的而不是片面的观点来分析问题、解决问题,一方面加深了学生对所学内容的认识,另一方面,自觉地培养了学生的辨证思维和哲学精神,立科学的发展观,面地提高本科生的整体素质,为其将来的研究及工作奠定了良好的基础。
参考文献
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