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万有引力定律应用是每年高考的必考点,此考点往往以选择题出现,此考点内容相对比较简单,如何在考试中能做对此类问题,结合学生在平时练习中常犯的一些低级错误,笔者将学生在平时学生中的常见易错点进行归类.
1天体半径和轨道半径
例1已知地球半径R,日地中心的距离r,地球公转周期T,地球表面的重力加速度g,求:(1)太阳的质量M日;(2)地球的质量M地(已知引力常量G).
分析计算太阳质量,利用万有引力等于向心力,
GM日·M地r2=M地(2πT)2·r,
计算地球质量,利用万有引力近似等于重力,GM地·mR2=m·g,学生在计算中总把R和r弄错.
总结学生练习中总以为半径一样,随便乱用,解题开始所用条件就是错的,导致代入公式全部错误,笔者以为平时的练习中不防和学生做个简单的规定,比如以地球为例,星球的半径一般都用R表示,以卫星绕地球为例,绕中心天体转动时一般轨道半径用r表示,平时多加强化,学生一见这类问题能有个基本约束,如果知道卫星离星球表面高度为H,则卫星的轨道半径为R H,如果是近地卫星时,由于贴近星球表面飞行,此时r=R.
2万有引力和重力关系
例2假如地球自转速度增大,关于物体重力,下列说法中正确的是
A.放在赤道地面上物体的万有引力不变
B.放在两极地面上物体的重力不变
C.放在赤道地面上物体的重力减小
D.放在两极地面上物体的重力增大
分析地球上物体m无论置于何处,地球对物体的万有引力均为GMmR2永远不变,而重力是万有引力的一部分,在赤道处重力最小,是由于此处万有引力有一部分充当了向心力F向=mω2·r,此处的r最大,重力最小,两极r=0,重力等于万有引力,此处重力最大,所以此题选A、B、C.
总结在解决很多问题时,如果不考虑地球自转,认为万有引力等于重力,即GMmR2=mg,实际由于地球的自转,万有引力大于重力,重力的定义上说重力是由于地球的吸引,而没有说地球的吸引力就是重力,万有引力一部分提供为绕地球自转所需的向心力,一部分提供为重力,在赤道上,GM·mR2=mg mω2·R,实际分析问题时,一般均认为GMmR2=mg,读题时,要看清题意.
3最大环绕速度和最小发射速度
例3关于地球的第一宇宙速度,下面说法中正确的是
A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B.它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度
C.它是能使卫星进入近地轨道的最小速度
D.它是能使卫星进入轨道的最大发射速度
分析发射速度是卫星在地面为火箭提供的初速度,一旦发射后再无能量补充,要发射一颗人造地球卫星,发射速度不能小于第一宇宙速度7.9 km/s,因此第一宇宙速度常称为最小发射速度.卫星绕地球飞行后做圆周运动,当卫星“贴着”地球表面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度,当卫星轨道半径变大时,运行速度变小,因此,第一宇宙速度是卫星绕地球运行的最大速度.此题选B、C.
总结学生对这两个速度描述容易混淆,在推导第一宇宙速度时,据GMmR2=mv2R,代入地球半径R和地球质量M,求出第一宇宙速度7.9 km/s,这是卫星发射离开地面贴近地球表面飞行的最小发射速度,若速度再大点,卫星将到更高轨道上绕地球运动,所以第一宇宙速度是最小发射速度,据GMmr2=mv2r得v=GMr,r是卫星轨道半径,若卫星越高则r越大,v就越小,当r接近于地面时r=R,轨道半径不能再小,此时v最大,所以第一宇宙速度又称为最大环绕速度.
4同步卫星和近地卫星及赤道上物体各个量比较
例4同步卫星周期为T1,加速度为a1,向心力为F1;地面附近的卫星周期为T2,加速度为a2,向心力为F2,地球赤道上物体随地球自转的周期为T3,向心加速度为a3,向心力为F3,则
A.T1=T3≥T2B.F1 C.a1 分析由于不知道卫星和物体质量,所以向心力大小无法判断,同步卫星和赤道上物体周期相等,但是近地卫星周期不等于赤道上物体周期,所以A不正确,比较a1和a2时,据a=(2πT)2·r,知r1>r2,而T不一样,所以a1>a2,比较a2和a3时,据a=(2πT)2·R知它们半径R一样,近地卫星周期小,地球上物体周期大,所以a2 总结解决此类问题,应让学生掌握一些结论,同步卫星是在赤道上空的某一固定高度,它的周期T=24 h,赤道上物体随地球自转,它的周期也是T=24 h,只是两者的轨道半径不一样,赤道上物体半径等于地球半径R=6400 km,而同步卫星在赤道上空离地高度约为h=3600 km,而近地卫星,它是贴近地球表面飞行,它的轨道半径等于地球半径R,根据GMmR2=m(2πT)2·R和GMmR2=mg代入数据得T=86 min,它离开了地面,但由于近地它的半径r=R=6400 km.所以分析此类问
记住T地=24 h,T同步=24 h,T近地=86 min,结合轨道半径特点,就能很清楚地分析这类问题.
5圆轨道和椭圆轨道
例5如图1所示,发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火将卫星送入椭圆轨道2,然后再次点火,将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,下列说法中正确的是
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
分析人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M,
有GMmr2=ma=mv2r=m4π2T2r,
解得v=GMr,
故轨道3半径比轨道1半径大,卫星在轨道1上线速度较大,A错误;根据公式GMmr2=mω2r,解得ω=GMr3,半径越大,角速度越小,故B错误;根据公式GMmr2=ma,解得a=GMr2,故卫星在轨道2上的经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度,卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度,C错误;D正确;此题选D.
总结卫星稳定运行时,速率由v=GMr判断,变轨时,则要用牛顿第二定律和轨道半径的变化进行分析.卫星不论在椭圆轨道上运行,还是在圆轨道上运行,只要位置相同,所受的万有引力是相同的,从而向心加速度相同,这是这类变轨问题分析,求解的突破口.
6双星问题
例6在天体运动中,将两颗彼此距离较近,且相互绕行的行星称为双星,已知两行星质量分别为M1和M2,它们之间距离为L,求各自运转半径和角速度.
分析双星之间有相互吸引而保持距离不变,则这两颗星一定绕着连线上某点做匀速圆周运动,设此点为O,则M1,O,M2始终在一直线上,M1和M2的角速度相等,其间的引力充当向心力,
由GM1·M2L2=M1ω2·r1,
GM1·M2L2=M2ω2·r2,
r1 r2=L,
联立求得r1=M2M1 M2L,r2=M1M1 M2L,
ω=G(M1 M2)L2.
总结学生在表示万有引力时,两颗星之间的距离常表示错,不知道构成双星系统的两颗星角速度和周期相等,因此在分析双星问题时,应教会学生如何表示两者之间万有引力,知道两颗星角速度相等,两颗星做圆周运动所绕固定点O,离质量大的星较近.有了这些知识储备,甚至能解决“三星”“四星”等问题.
笔者对学生在解决万有引力定律应用常见的错误做了归类,当然还有很多其它的错误,如果在平时学习中多引导学生归类,解题时多做归范,就一定能突破万有引力定律这个考点的薄弱环节,做到真正的解题成功.
1天体半径和轨道半径
例1已知地球半径R,日地中心的距离r,地球公转周期T,地球表面的重力加速度g,求:(1)太阳的质量M日;(2)地球的质量M地(已知引力常量G).
分析计算太阳质量,利用万有引力等于向心力,
GM日·M地r2=M地(2πT)2·r,
计算地球质量,利用万有引力近似等于重力,GM地·mR2=m·g,学生在计算中总把R和r弄错.
总结学生练习中总以为半径一样,随便乱用,解题开始所用条件就是错的,导致代入公式全部错误,笔者以为平时的练习中不防和学生做个简单的规定,比如以地球为例,星球的半径一般都用R表示,以卫星绕地球为例,绕中心天体转动时一般轨道半径用r表示,平时多加强化,学生一见这类问题能有个基本约束,如果知道卫星离星球表面高度为H,则卫星的轨道半径为R H,如果是近地卫星时,由于贴近星球表面飞行,此时r=R.
2万有引力和重力关系
例2假如地球自转速度增大,关于物体重力,下列说法中正确的是
A.放在赤道地面上物体的万有引力不变
B.放在两极地面上物体的重力不变
C.放在赤道地面上物体的重力减小
D.放在两极地面上物体的重力增大
分析地球上物体m无论置于何处,地球对物体的万有引力均为GMmR2永远不变,而重力是万有引力的一部分,在赤道处重力最小,是由于此处万有引力有一部分充当了向心力F向=mω2·r,此处的r最大,重力最小,两极r=0,重力等于万有引力,此处重力最大,所以此题选A、B、C.
总结在解决很多问题时,如果不考虑地球自转,认为万有引力等于重力,即GMmR2=mg,实际由于地球的自转,万有引力大于重力,重力的定义上说重力是由于地球的吸引,而没有说地球的吸引力就是重力,万有引力一部分提供为绕地球自转所需的向心力,一部分提供为重力,在赤道上,GM·mR2=mg mω2·R,实际分析问题时,一般均认为GMmR2=mg,读题时,要看清题意.
3最大环绕速度和最小发射速度
例3关于地球的第一宇宙速度,下面说法中正确的是
A.它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B.它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度
C.它是能使卫星进入近地轨道的最小速度
D.它是能使卫星进入轨道的最大发射速度
分析发射速度是卫星在地面为火箭提供的初速度,一旦发射后再无能量补充,要发射一颗人造地球卫星,发射速度不能小于第一宇宙速度7.9 km/s,因此第一宇宙速度常称为最小发射速度.卫星绕地球飞行后做圆周运动,当卫星“贴着”地球表面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度,当卫星轨道半径变大时,运行速度变小,因此,第一宇宙速度是卫星绕地球运行的最大速度.此题选B、C.
总结学生对这两个速度描述容易混淆,在推导第一宇宙速度时,据GMmR2=mv2R,代入地球半径R和地球质量M,求出第一宇宙速度7.9 km/s,这是卫星发射离开地面贴近地球表面飞行的最小发射速度,若速度再大点,卫星将到更高轨道上绕地球运动,所以第一宇宙速度是最小发射速度,据GMmr2=mv2r得v=GMr,r是卫星轨道半径,若卫星越高则r越大,v就越小,当r接近于地面时r=R,轨道半径不能再小,此时v最大,所以第一宇宙速度又称为最大环绕速度.
4同步卫星和近地卫星及赤道上物体各个量比较
例4同步卫星周期为T1,加速度为a1,向心力为F1;地面附近的卫星周期为T2,加速度为a2,向心力为F2,地球赤道上物体随地球自转的周期为T3,向心加速度为a3,向心力为F3,则
A.T1=T3≥T2B.F1
记住T地=24 h,T同步=24 h,T近地=86 min,结合轨道半径特点,就能很清楚地分析这类问题.
5圆轨道和椭圆轨道
例5如图1所示,发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火将卫星送入椭圆轨道2,然后再次点火,将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点,2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,下列说法中正确的是
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
分析人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M,
有GMmr2=ma=mv2r=m4π2T2r,
解得v=GMr,
故轨道3半径比轨道1半径大,卫星在轨道1上线速度较大,A错误;根据公式GMmr2=mω2r,解得ω=GMr3,半径越大,角速度越小,故B错误;根据公式GMmr2=ma,解得a=GMr2,故卫星在轨道2上的经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度,卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度,C错误;D正确;此题选D.
总结卫星稳定运行时,速率由v=GMr判断,变轨时,则要用牛顿第二定律和轨道半径的变化进行分析.卫星不论在椭圆轨道上运行,还是在圆轨道上运行,只要位置相同,所受的万有引力是相同的,从而向心加速度相同,这是这类变轨问题分析,求解的突破口.
6双星问题
例6在天体运动中,将两颗彼此距离较近,且相互绕行的行星称为双星,已知两行星质量分别为M1和M2,它们之间距离为L,求各自运转半径和角速度.
分析双星之间有相互吸引而保持距离不变,则这两颗星一定绕着连线上某点做匀速圆周运动,设此点为O,则M1,O,M2始终在一直线上,M1和M2的角速度相等,其间的引力充当向心力,
由GM1·M2L2=M1ω2·r1,
GM1·M2L2=M2ω2·r2,
r1 r2=L,
联立求得r1=M2M1 M2L,r2=M1M1 M2L,
ω=G(M1 M2)L2.
总结学生在表示万有引力时,两颗星之间的距离常表示错,不知道构成双星系统的两颗星角速度和周期相等,因此在分析双星问题时,应教会学生如何表示两者之间万有引力,知道两颗星角速度相等,两颗星做圆周运动所绕固定点O,离质量大的星较近.有了这些知识储备,甚至能解决“三星”“四星”等问题.
笔者对学生在解决万有引力定律应用常见的错误做了归类,当然还有很多其它的错误,如果在平时学习中多引导学生归类,解题时多做归范,就一定能突破万有引力定律这个考点的薄弱环节,做到真正的解题成功.