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弹簧类问题是力学中的经典问题,是高考命题的热点.由于弹簧总是与其关联物之间存在着力、加速度、运动状态、能量等方面的联系,因此具有情景复杂、过程多样、综合性强、思维难度大等特点,是区分学生能力强弱、演练学生物理思维和开发学生学习潜能的重要题型.本文对高考试题中的轻弹簧问题,作些梳理与分类,以期对学生的复习及思维有所启迪.
一、轻弹簧的受力平衡问题
涉及轻弹簧的平衡问题,包括轻弹簧自身的平衡与关联物的平衡两种类型.主要考查对轻
弹簧及F=kx含义理解,以及对物体受力分析与平衡条件的掌握情况.通常以选择题形
式出现.
1.轻弹簧自身受力平衡问题
【例1】(2004湖北理综卷)如图1所示,四个完全相同的弹簧都
处于水平位置,它们的右端受到大小皆为F的拉力作用,而左
端的情况各不相同:①中弹簧的左端固定在墙上,②中弹簧的
左端受大小也为F的拉力作用,③中弹簧的左端拴一小物块,
物块在光滑的桌面上滑动,④中弹簧的左端拴一小物块,物块
在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量都为零,以L1、L2、
L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量,则有()
A.L2>L1B.L4>L3
C.L1>L3 D.L2=L4
解析:本问题中,弹簧左端的物理情景完全不同,弹簧右端的受力情景完全相同,要比较
相同弹簧的伸长量,实际上就是判明四种情景下弹簧所受弹力的大小.
设弹簧左端与右端受到的力分别为F′、F,显然根据牛顿第二定律有F′-F=ma,由于
轻弹簧的质量m=0,则有F′=F.由于四个图中弹簧弹力大小相等,就是右端受到的拉
力F的大小,再加上是完全相同的弹簧,所以四个弹簧的伸长量必定相等.只有D选项正确.
点评:顺利求解本问题的关键,是要明确轻弹簧的受力特点,即轻弹簧由于质量不计,所
以不论弹簧做何种运动,弹簧两端及各处的弹力大小始终相等.
2.轻弹簧关联物受力平衡问题
【例2】(2008山东理综卷)用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体,
图2静止时弹簧伸长量为L0,
现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体,系统静止时弹簧伸长量也为L0,斜面倾角
为30°,如图2所示.则物体所受的摩擦力()
A.等于零
B.大小为12mg,方向沿斜面向下
C.大小为32mg,方向沿斜面向上
D.大小为mg,方向沿斜面向上
解析:质量为m的物体竖直悬挂在轻弹簧上时,有kL0=mg;质量为2m的物体受弹簧作
用静止在倾角为30°的斜面上时,物体重力沿斜面向下的分力为2mgsin30°=mg,此时
物体受到弹簧沿斜面向上的弹力kL0=mg,显然,这两个力刚好平衡,物体此时摩擦力
为零,答案A正确.
点评:求解这类问题的关键,是要正确分析弹簧关联物的受力情况,再根据平衡条件列出
关系式,进行推理判断.
二、轻弹簧的瞬时弹力问题
轻弹簧的瞬时弹力问题,包含弹簧弹力瞬时不能突变与瞬时突变为零两种类型.一般结
合牛顿第二定律与物体平衡条件来综合考查.
1.轻弹簧弹力瞬时不能突变问题
当轻弹簧的两端都有其他物体或力的约束,并使弹簧发生形变时,弹力不能由某一值突变
为零,或由零突变为某一值.
【例3】(2001上海物理卷)如图3(a)所示,一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2
的两根细线上,L1的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ,L2水平拉直,物体处于
平衡状态.现将L2线剪断,求剪断瞬时物体的加速度.
(1)下面是某同学对该题的一种解法:
分析与解:设L1线上拉力为T1,L2线上拉力为T2,重力为mg,物体在三力作用下保持平
衡,有:T1cosθ=mg,T1sinθ=T2,T2=mgtanθ
剪断线的瞬间,T2突然消失,物体即在T2反方向获得加速度.因为mgtanθ=ma,所以
加速度a=gtanθ,方向在T2反方向.
你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.
(2)若将图3(a)中的细线L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图3(b)所示,其他条
件不变,求解的步骤和结果与(1)完全相同,即a=gtanθ,你认为这个结果正确吗?
请说明理由.
解析:(1)错.因为L2被剪断的瞬间,细线L1上的拉力大小发生了突变.
现对本问题作如下深层探析:线L1原来受到的拉力为T1=mg/cosθ.剪断细线L2
后,剪断瞬时物体的加速度,就是物体摆动时,摆到最高点的加速度.因为物
体在最高点时的速度为零,圆周运动的向心力为零,即物体沿径向的合力为零.故此时细
线受到的拉力大小,就是物体重力沿着径向的分力mgcosθ,即T1=mgcosθ.物体受
到的合力就是重力垂直径向的分力mgsinθ,故剪断瞬时物体的加速度为a=gsinθ.
(2)因为L2被剪断的瞬间,T2突然消失,而弹簧L1两端均有物体约束,其长度来
不及发生突变,弹簧弹力T1的大小和方向都不变.
点评:解决此类问题的思路是,先分析原状态受力情况,再分析变化瞬间,哪些力不变哪
些力消灭,最后用牛顿第二定律列方程求解.其中,明确剪断线L2瞬间,弹簧弹力不能突
变,是正确求解的根本.
2.轻弹簧弹力瞬时突变为零问题
当轻弹簧的一端突然与物体断开,或一端突然不受力约束的瞬间,弹簧的弹
力就突变为零.
【例4】(1999上海物理卷)如图4所示,竖直光滑杆上套有一个小球和两根
弹簧,
图4两弹簧的一端各与小球相连,另一端分别用销钉M、N固定于杆上,
小球处于静止状态.设拔出销钉M瞬间,小球加速度的大小为12m/s2.若
不拔之销钉M而拔去销钉N瞬间,小球的加速度可能是(取g=10m/s2)
()
A.22m/s2,竖直向上
B.22m/s2,竖直向下
C.2m/s2,竖直向上
D.2m/s2,竖直向下
解析:拔出销钉M瞬间,上边弹簧的弹力由于其上端突然不受力约束,其弹力就突变为
零.设小球的质量为m,此时小球加速度的大小为12m/s2,由牛顿第二定律可知,此时小
球受到的合力大小为12m,方向由于下边弹簧可能处于压缩状态或伸长状态,有竖直向
上或竖直向下两种可能.由小球重力大小为10m可推知,下边弹簧对小球的弹力,或大小
为22m、方向竖直向上,或大小为2m、方向竖直向下.由小球原来处于静止状态,且三
力平衡,可推知,开始时上边弹簧对小球弹力大小为12m、方向竖直向下,或大小为12m、
方向竖直向上.
若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间,则下边弹簧的弹力由于其下端突然不受力约束,
其弹力就突变为零;而上边弹簧的弹力由于其两端都受物体的约束,其弹力不能突变,即
对小球弹力大小为12m、方向竖直向下,或大小为12m、方向竖直向上.故此时小球受到
的合力大小为22m、方向竖直向下,或大小为2m、方向竖直向上.小球的加速度可能是
22m/s2、竖直向下,或2m/s2、竖直向上.选项B、C正确.
点评:明确拔出销钉M瞬间,上边弹簧的弹力突变为零,下边弹簧的弹力不能突变;明
确拔出销钉N瞬间,下边弹簧的弹力突变为零,上边弹簧的弹力不能突变,是正确推断的
关键.
三、轻弹簧的动态变化问题
弹簧的动态变化问题,是指弹簧在空间相对位置发生变化时,引起与弹簧关联物的弹力、
合外力、加速度、做功以及速度、动能等物理量的变化.而做变速运动的情况,通常涉及
关联物的物理量的定性判断与定量计算两种类型.
1.关联物的物理量定性判断型
【例5】(2001上海物理卷)如图5所示,一升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故
中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一
段运动过程中()
A.升降机的速度不断减小
B.升降机的加速度不断变大
C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D.将要到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值
解析:弹簧下端触地后,升降机受重力和弹力作用.开始阶段,重力大
于弹力,做加速度减小的加速运动;当重力等于弹力时,加速度为零,
速度最大;后来阶段,重力小于弹力,做加速度增大的减速运动.故升降机先加速后减速,
速度最大,
加速度先减小后增大,选项A、B错误.由动能定理可知,选项C正确.
选项D学生难以判断.设想有一轻弹簧竖直立在水平地面上,将一小球无初速度放于
弹簧上,可以证明小球的运动为简谐运动.由简谐运动的对称性可知,小球在最低点时的
加速度与最高点时的加速度,大小相等,数值为g,方向相反.若小球以一定速度落在弹
簧上,则在将要到最低点时,加速度的数值必大于重力加速度的值.选项D正确.
本题答案为C、D.
点评:本类问题涉及众多物理量,知识综合性强,思维能力要求高.明确弹簧压缩先后两
个阶段及平衡位置、最低位置两点的受力特征与运动特点,巧用简谐运动的对称性,是快
速有效判断的关键.
2.关联物的物理量定量计算问题
【例6】(2005全国理综Ⅲ卷)如图6所示,在倾角为θ1的光
滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B,它们的质
量分别为mA、mB弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板.
系统处一静止状态,
图6现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块
A使之向上运动,求物块B刚要离开C时物块A的加速度a
和从开始到此时物块A的位移d?已知重力加速度为g.
解析:令x表示未加F时弹簧的压缩量,由胡克定律和平
衡条件可知:
kx1=mAgsinθ①
令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量,a表示此时A的加速度,由胡克定律、受力平
衡与牛顿第二定律可知:
kx2=mBgsinθ ②
F-mAgsinθ-kx2=mAa ③
由题意可得:d=x1+x2④
解②③式可得:a=F-(mA+mB)gsinθmA
解①②④式可得:d=(mA+mB)gsinθk
点评:本问题涉及胡克定律、牛顿第二定律与受力平衡等规律,明确弹簧的压缩量与伸长
量之和就是物块A移动的位移,是正确解答的关键.
四、轻弹簧的能量转化问题
涉及轻弹簧的能量转化问题,具有研究对象多、物理情景复杂、物理过程多样、知识综
合性强、思维难度大等特点,能有效考查学生的分析、综合、推理
与运算能力,因而常以高考压轴题形式出现.对于含轻弹簧的多物
体系统,通常有机械能守恒与机械能损失两种类型.
1.系统机械能守恒问题
对于未给出弹簧弹性势能计算公式Ep=kx2/2的问题,一般是初、
末状态弹簧压缩量或伸长量相同,即初、末状态弹簧弹性势能相同;
或者初、末状态弹簧的弹性势能的变化量相同.通常给定两个变化
过程,通过布列方程组,消去弹性势能表达式中未知量的影响.
【例7】(2005年全国理综Ⅱ卷)如图7所示,质量为m1的物体A经
一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系
数为k,A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端
连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂
一质量为m3的物体C并从静止状态释放,
已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.
图7若
将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B
刚离地时D的速度的大小是多少?已知重力加速度为g.
解析:开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,对A有:kx1=m1g①,
挂上C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,
对B有:kx2=m2g②
此时B不再上升,表示此时A和C的速度为零,C已降到其最低点.与初始状态相比,设
弹簧弹性势能的增加量为△E弹,由系统机械能守恒△E减=△E增得:
m3g(x1+x2)=m1g(x1+x2)+△E弹 ③
C换成D后,当B刚离地时,弹簧弹性势能的增量与前一次相同,D与A的速度大
小相等,并设为v,同样由机械能守恒可得:
(m3+m1)g(x1+x2)=m1g(x1+x2)+12(m1+m3)v2+12m1v2+△E弹④
联解①②③④式,消去△E弹,可得:v=2m1(m1+m2)(2m1+m3)k•g
点评:本问题难点有两个,一是要明晰物体C与D的下降高度,就是弹簧的压缩量与伸长
量之和;二是两种情形弹簧初、末状态弹性势能的变化量相同,通过方程组可以消去弹性
势能变化量未知的影响.
2.系统机械能损失问题
这类问题一是由于系统内物体之间相互碰撞,或者存在介质阻力因素的作用,使得某一过
程的机械能有损失,通常有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一
起,能有效地考查学生的综合应用能力.
【例8】(2000年全国物理卷)在原子物理中,
研究核子与核子关联的最有效途经是“双电
荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和
下面力学模型类似.两个小球A和B用轻质
弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止
状态.在它们左边有一垂直轨道的固定挡板
P,右有一小球C沿轨道以速度v0,
射向B
球,如图8所示,C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中,
当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变.然后,A球与挡板P发生碰撞,碰
后A、D静止不动,A与P接触而不粘连.过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均
无机械能损失),已知A、B、C三球的质量均为m.
图8
(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度?
(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能?
解析:整个过程可分为四个阶段来处理.
(1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为v1,由动量守恒得:
mv0=(m+m)v1①
当弹簧压至最短、长度突然被锁定时,D与A的速度相等,设此速度为v2,由动量守恒得:
2mv1=3mv2②
由①②式得A的速度为:v2=13v0③
(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒得:
12•2mv12=12•3mv22+Ep④
撞击P后,A与D都静止,其动能都为零;解除锁定后,
当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转变成D的动能,设D的速度为v3,则有:
Ep=12(2m)v32⑤
当弹簧伸长时,A球离开挡板P,并获得速度,当A、D的速度相等时弹簧伸至最长.
设此时的速度为v4,由动量守恒得:
2mv3=3mv4⑥
当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为E′p,由能量守恒得:
12•2mv32=12•3mv42+E′p⑦
联解以上各式得:
E′p=136mv02
点评:本问题暗设机关、巧布干扰,只有全面读懂、领会题意,细致分析弹簧的动态过程,建立并画出清晰的物理图景,明了变化多样的物理过程,充分运用动量与能量两个守恒定律,才能化难为易、变繁为简.本问题在碰撞过程中有机械能的损失.
【例9】(2008重庆理综卷)图9中有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一劲度系数为k的轻弹簧,其下端固定,上端连接一质量为m的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体,它对滑块的阻力可调.起初滑块静止,图9ER流体对其阻力为0,弹簧的长度为L,现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动,且下移距离为2mgk时速度减为0,ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.若忽略空气阻力,试求:
(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能?
(2)滑块向下运动过程中加速度的大小?
(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小?
解析:(1)设物体下落末速度为v0,由机械能守恒定律得:mgL=12mv02 ①
设物体与滑块碰后共同速度为v1,由动量守恒定律得:mv0=2mv1②
解①②式可得v0=2gL,v1=122gL③碰撞过程中系统损失的机械能为:
△E=12mv02-12•2mv12④把③代入④式可得:△E=12mgL
(2)设滑块向下匀减速的加速度大小为a,运动位移大小为s,则有:
v12=2as,s=2mgk⑤
(3)设弹簧弹力为F,ER流体对滑块的阻力为FER,对物体与滑块进行受力分析,如图
10所示.
由牛顿第二定律可得:F+FER-2mg=2ma⑦
由胡克定律得:F=kx⑧
弹簧原来的压缩量为mgk,此时弹簧的压缩量为:x=d+mgk⑨
联解⑥⑦⑧⑨式可得:FER=mg+kL4-kd
点评:本问题在碰撞过程与滑块下移过程均有机械能损失.主要考查了机械能守恒、能量守恒、动量守恒以及匀变速公式、牛顿第二定律、胡克定律等规律.理清具体的物理过程,找到其对应遵循的物理规律,是正确、快速列式的关键所在.
(责任编辑 易志毅)
一、轻弹簧的受力平衡问题
涉及轻弹簧的平衡问题,包括轻弹簧自身的平衡与关联物的平衡两种类型.主要考查对轻
弹簧及F=kx含义理解,以及对物体受力分析与平衡条件的掌握情况.通常以选择题形
式出现.
1.轻弹簧自身受力平衡问题
【例1】(2004湖北理综卷)如图1所示,四个完全相同的弹簧都
处于水平位置,它们的右端受到大小皆为F的拉力作用,而左
端的情况各不相同:①中弹簧的左端固定在墙上,②中弹簧的
左端受大小也为F的拉力作用,③中弹簧的左端拴一小物块,
物块在光滑的桌面上滑动,④中弹簧的左端拴一小物块,物块
在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量都为零,以L1、L2、
L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量,则有()
A.L2>L1B.L4>L3
C.L1>L3 D.L2=L4
解析:本问题中,弹簧左端的物理情景完全不同,弹簧右端的受力情景完全相同,要比较
相同弹簧的伸长量,实际上就是判明四种情景下弹簧所受弹力的大小.
设弹簧左端与右端受到的力分别为F′、F,显然根据牛顿第二定律有F′-F=ma,由于
轻弹簧的质量m=0,则有F′=F.由于四个图中弹簧弹力大小相等,就是右端受到的拉
力F的大小,再加上是完全相同的弹簧,所以四个弹簧的伸长量必定相等.只有D选项正确.
点评:顺利求解本问题的关键,是要明确轻弹簧的受力特点,即轻弹簧由于质量不计,所
以不论弹簧做何种运动,弹簧两端及各处的弹力大小始终相等.
2.轻弹簧关联物受力平衡问题
【例2】(2008山东理综卷)用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体,
图2静止时弹簧伸长量为L0,
现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体,系统静止时弹簧伸长量也为L0,斜面倾角
为30°,如图2所示.则物体所受的摩擦力()
A.等于零
B.大小为12mg,方向沿斜面向下
C.大小为32mg,方向沿斜面向上
D.大小为mg,方向沿斜面向上
解析:质量为m的物体竖直悬挂在轻弹簧上时,有kL0=mg;质量为2m的物体受弹簧作
用静止在倾角为30°的斜面上时,物体重力沿斜面向下的分力为2mgsin30°=mg,此时
物体受到弹簧沿斜面向上的弹力kL0=mg,显然,这两个力刚好平衡,物体此时摩擦力
为零,答案A正确.
点评:求解这类问题的关键,是要正确分析弹簧关联物的受力情况,再根据平衡条件列出
关系式,进行推理判断.
二、轻弹簧的瞬时弹力问题
轻弹簧的瞬时弹力问题,包含弹簧弹力瞬时不能突变与瞬时突变为零两种类型.一般结
合牛顿第二定律与物体平衡条件来综合考查.
1.轻弹簧弹力瞬时不能突变问题
当轻弹簧的两端都有其他物体或力的约束,并使弹簧发生形变时,弹力不能由某一值突变
为零,或由零突变为某一值.
【例3】(2001上海物理卷)如图3(a)所示,一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2
的两根细线上,L1的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ,L2水平拉直,物体处于
平衡状态.现将L2线剪断,求剪断瞬时物体的加速度.
(1)下面是某同学对该题的一种解法:
分析与解:设L1线上拉力为T1,L2线上拉力为T2,重力为mg,物体在三力作用下保持平
衡,有:T1cosθ=mg,T1sinθ=T2,T2=mgtanθ
剪断线的瞬间,T2突然消失,物体即在T2反方向获得加速度.因为mgtanθ=ma,所以
加速度a=gtanθ,方向在T2反方向.
你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.
(2)若将图3(a)中的细线L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图3(b)所示,其他条
件不变,求解的步骤和结果与(1)完全相同,即a=gtanθ,你认为这个结果正确吗?
请说明理由.
解析:(1)错.因为L2被剪断的瞬间,细线L1上的拉力大小发生了突变.
现对本问题作如下深层探析:线L1原来受到的拉力为T1=mg/cosθ.剪断细线L2
后,剪断瞬时物体的加速度,就是物体摆动时,摆到最高点的加速度.因为物
体在最高点时的速度为零,圆周运动的向心力为零,即物体沿径向的合力为零.故此时细
线受到的拉力大小,就是物体重力沿着径向的分力mgcosθ,即T1=mgcosθ.物体受
到的合力就是重力垂直径向的分力mgsinθ,故剪断瞬时物体的加速度为a=gsinθ.
(2)因为L2被剪断的瞬间,T2突然消失,而弹簧L1两端均有物体约束,其长度来
不及发生突变,弹簧弹力T1的大小和方向都不变.
点评:解决此类问题的思路是,先分析原状态受力情况,再分析变化瞬间,哪些力不变哪
些力消灭,最后用牛顿第二定律列方程求解.其中,明确剪断线L2瞬间,弹簧弹力不能突
变,是正确求解的根本.
2.轻弹簧弹力瞬时突变为零问题
当轻弹簧的一端突然与物体断开,或一端突然不受力约束的瞬间,弹簧的弹
力就突变为零.
【例4】(1999上海物理卷)如图4所示,竖直光滑杆上套有一个小球和两根
弹簧,
图4两弹簧的一端各与小球相连,另一端分别用销钉M、N固定于杆上,
小球处于静止状态.设拔出销钉M瞬间,小球加速度的大小为12m/s2.若
不拔之销钉M而拔去销钉N瞬间,小球的加速度可能是(取g=10m/s2)
()
A.22m/s2,竖直向上
B.22m/s2,竖直向下
C.2m/s2,竖直向上
D.2m/s2,竖直向下
解析:拔出销钉M瞬间,上边弹簧的弹力由于其上端突然不受力约束,其弹力就突变为
零.设小球的质量为m,此时小球加速度的大小为12m/s2,由牛顿第二定律可知,此时小
球受到的合力大小为12m,方向由于下边弹簧可能处于压缩状态或伸长状态,有竖直向
上或竖直向下两种可能.由小球重力大小为10m可推知,下边弹簧对小球的弹力,或大小
为22m、方向竖直向上,或大小为2m、方向竖直向下.由小球原来处于静止状态,且三
力平衡,可推知,开始时上边弹簧对小球弹力大小为12m、方向竖直向下,或大小为12m、
方向竖直向上.
若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间,则下边弹簧的弹力由于其下端突然不受力约束,
其弹力就突变为零;而上边弹簧的弹力由于其两端都受物体的约束,其弹力不能突变,即
对小球弹力大小为12m、方向竖直向下,或大小为12m、方向竖直向上.故此时小球受到
的合力大小为22m、方向竖直向下,或大小为2m、方向竖直向上.小球的加速度可能是
22m/s2、竖直向下,或2m/s2、竖直向上.选项B、C正确.
点评:明确拔出销钉M瞬间,上边弹簧的弹力突变为零,下边弹簧的弹力不能突变;明
确拔出销钉N瞬间,下边弹簧的弹力突变为零,上边弹簧的弹力不能突变,是正确推断的
关键.
三、轻弹簧的动态变化问题
弹簧的动态变化问题,是指弹簧在空间相对位置发生变化时,引起与弹簧关联物的弹力、
合外力、加速度、做功以及速度、动能等物理量的变化.而做变速运动的情况,通常涉及
关联物的物理量的定性判断与定量计算两种类型.
1.关联物的物理量定性判断型
【例5】(2001上海物理卷)如图5所示,一升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故
中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一
段运动过程中()
A.升降机的速度不断减小
B.升降机的加速度不断变大
C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D.将要到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值
解析:弹簧下端触地后,升降机受重力和弹力作用.开始阶段,重力大
于弹力,做加速度减小的加速运动;当重力等于弹力时,加速度为零,
速度最大;后来阶段,重力小于弹力,做加速度增大的减速运动.故升降机先加速后减速,
速度最大,
加速度先减小后增大,选项A、B错误.由动能定理可知,选项C正确.
选项D学生难以判断.设想有一轻弹簧竖直立在水平地面上,将一小球无初速度放于
弹簧上,可以证明小球的运动为简谐运动.由简谐运动的对称性可知,小球在最低点时的
加速度与最高点时的加速度,大小相等,数值为g,方向相反.若小球以一定速度落在弹
簧上,则在将要到最低点时,加速度的数值必大于重力加速度的值.选项D正确.
本题答案为C、D.
点评:本类问题涉及众多物理量,知识综合性强,思维能力要求高.明确弹簧压缩先后两
个阶段及平衡位置、最低位置两点的受力特征与运动特点,巧用简谐运动的对称性,是快
速有效判断的关键.
2.关联物的物理量定量计算问题
【例6】(2005全国理综Ⅲ卷)如图6所示,在倾角为θ1的光
滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B,它们的质
量分别为mA、mB弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板.
系统处一静止状态,
图6现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块
A使之向上运动,求物块B刚要离开C时物块A的加速度a
和从开始到此时物块A的位移d?已知重力加速度为g.
解析:令x表示未加F时弹簧的压缩量,由胡克定律和平
衡条件可知:
kx1=mAgsinθ①
令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量,a表示此时A的加速度,由胡克定律、受力平
衡与牛顿第二定律可知:
kx2=mBgsinθ ②
F-mAgsinθ-kx2=mAa ③
由题意可得:d=x1+x2④
解②③式可得:a=F-(mA+mB)gsinθmA
解①②④式可得:d=(mA+mB)gsinθk
点评:本问题涉及胡克定律、牛顿第二定律与受力平衡等规律,明确弹簧的压缩量与伸长
量之和就是物块A移动的位移,是正确解答的关键.
四、轻弹簧的能量转化问题
涉及轻弹簧的能量转化问题,具有研究对象多、物理情景复杂、物理过程多样、知识综
合性强、思维难度大等特点,能有效考查学生的分析、综合、推理
与运算能力,因而常以高考压轴题形式出现.对于含轻弹簧的多物
体系统,通常有机械能守恒与机械能损失两种类型.
1.系统机械能守恒问题
对于未给出弹簧弹性势能计算公式Ep=kx2/2的问题,一般是初、
末状态弹簧压缩量或伸长量相同,即初、末状态弹簧弹性势能相同;
或者初、末状态弹簧的弹性势能的变化量相同.通常给定两个变化
过程,通过布列方程组,消去弹性势能表达式中未知量的影响.
【例7】(2005年全国理综Ⅱ卷)如图7所示,质量为m1的物体A经
一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系
数为k,A、B都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端
连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂
一质量为m3的物体C并从静止状态释放,
已知它恰好能使B离开地面但不继续上升.
图7若
将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B
刚离地时D的速度的大小是多少?已知重力加速度为g.
解析:开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,对A有:kx1=m1g①,
挂上C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,
对B有:kx2=m2g②
此时B不再上升,表示此时A和C的速度为零,C已降到其最低点.与初始状态相比,设
弹簧弹性势能的增加量为△E弹,由系统机械能守恒△E减=△E增得:
m3g(x1+x2)=m1g(x1+x2)+△E弹 ③
C换成D后,当B刚离地时,弹簧弹性势能的增量与前一次相同,D与A的速度大
小相等,并设为v,同样由机械能守恒可得:
(m3+m1)g(x1+x2)=m1g(x1+x2)+12(m1+m3)v2+12m1v2+△E弹④
联解①②③④式,消去△E弹,可得:v=2m1(m1+m2)(2m1+m3)k•g
点评:本问题难点有两个,一是要明晰物体C与D的下降高度,就是弹簧的压缩量与伸长
量之和;二是两种情形弹簧初、末状态弹性势能的变化量相同,通过方程组可以消去弹性
势能变化量未知的影响.
2.系统机械能损失问题
这类问题一是由于系统内物体之间相互碰撞,或者存在介质阻力因素的作用,使得某一过
程的机械能有损失,通常有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一
起,能有效地考查学生的综合应用能力.
【例8】(2000年全国物理卷)在原子物理中,
研究核子与核子关联的最有效途经是“双电
荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和
下面力学模型类似.两个小球A和B用轻质
弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止
状态.在它们左边有一垂直轨道的固定挡板
P,右有一小球C沿轨道以速度v0,
射向B
球,如图8所示,C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中,
当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变.然后,A球与挡板P发生碰撞,碰
后A、D静止不动,A与P接触而不粘连.过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均
无机械能损失),已知A、B、C三球的质量均为m.
图8
(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度?
(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能?
解析:整个过程可分为四个阶段来处理.
(1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为v1,由动量守恒得:
mv0=(m+m)v1①
当弹簧压至最短、长度突然被锁定时,D与A的速度相等,设此速度为v2,由动量守恒得:
2mv1=3mv2②
由①②式得A的速度为:v2=13v0③
(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为Ep,由能量守恒得:
12•2mv12=12•3mv22+Ep④
撞击P后,A与D都静止,其动能都为零;解除锁定后,
当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转变成D的动能,设D的速度为v3,则有:
Ep=12(2m)v32⑤
当弹簧伸长时,A球离开挡板P,并获得速度,当A、D的速度相等时弹簧伸至最长.
设此时的速度为v4,由动量守恒得:
2mv3=3mv4⑥
当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为E′p,由能量守恒得:
12•2mv32=12•3mv42+E′p⑦
联解以上各式得:
E′p=136mv02
点评:本问题暗设机关、巧布干扰,只有全面读懂、领会题意,细致分析弹簧的动态过程,建立并画出清晰的物理图景,明了变化多样的物理过程,充分运用动量与能量两个守恒定律,才能化难为易、变繁为简.本问题在碰撞过程中有机械能的损失.
【例9】(2008重庆理综卷)图9中有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一劲度系数为k的轻弹簧,其下端固定,上端连接一质量为m的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体,它对滑块的阻力可调.起初滑块静止,图9ER流体对其阻力为0,弹簧的长度为L,现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动,且下移距离为2mgk时速度减为0,ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.若忽略空气阻力,试求:
(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能?
(2)滑块向下运动过程中加速度的大小?
(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小?
解析:(1)设物体下落末速度为v0,由机械能守恒定律得:mgL=12mv02 ①
设物体与滑块碰后共同速度为v1,由动量守恒定律得:mv0=2mv1②
解①②式可得v0=2gL,v1=122gL③碰撞过程中系统损失的机械能为:
△E=12mv02-12•2mv12④把③代入④式可得:△E=12mgL
(2)设滑块向下匀减速的加速度大小为a,运动位移大小为s,则有:
v12=2as,s=2mgk⑤
(3)设弹簧弹力为F,ER流体对滑块的阻力为FER,对物体与滑块进行受力分析,如图
10所示.
由牛顿第二定律可得:F+FER-2mg=2ma⑦
由胡克定律得:F=kx⑧
弹簧原来的压缩量为mgk,此时弹簧的压缩量为:x=d+mgk⑨
联解⑥⑦⑧⑨式可得:FER=mg+kL4-kd
点评:本问题在碰撞过程与滑块下移过程均有机械能损失.主要考查了机械能守恒、能量守恒、动量守恒以及匀变速公式、牛顿第二定律、胡克定律等规律.理清具体的物理过程,找到其对应遵循的物理规律,是正确、快速列式的关键所在.
(责任编辑 易志毅)