向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位与作用，其中向量的数量积是向量中的重中之重，但教材中对于数量积的几何意义只给出了定义:数量积a•b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.由此几何意义可看出：b在a方向上的投影为|b|cosθ=a•b|a|.本文讨论向量数量积的几何意义的应用.
　　一、求解射影问题
　　例1 已知平面上直线l的方向向量e=-45，35，点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别为O1和A1，则O1A1=λe，其中λ等于().
　　解 ∵点O，A在l上的射影，O1A1=λe且|e|=1，∴λ=|OA|cosθ=OA•e|e|=(1，-2)，-45，35=-2.故选D.
　　例2 在平面内已知OA=（4，1），OB=（2，-3）在直线l上的投影长度相等，求直线l的斜率.
　　解 设直线l的方向向量a=（1，k）.
　　二、求解线性规划问题
　　新教材中对于求解形如z=ax±by的目标函数在线性约束条件下的最值，一般都是将二元一次函数（目标函数）转化为求直线在y轴上的截距问题，然后利用线性规划知识来求解.但如果把z=ax±by看作平面内的向量OM=（a，±b）与向量ON=（x，y）的数量积，则z=OM•ON=|OM|•|ON|•cosθ.因为|OM|是定值，所以由数量积的几何意义可知：z的最值依赖于ON在OM方向上的投影的最值，此投影的最佳点，即为最有点.此思路直观、简捷、明了.
　　例3 设z=2x+y中的变量x，y满足下列条件x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1.求z的最大值与最小值.
　　解 作出可行域，设N（x，y）为可行域内任一点，M(2，1)，则z=OM•ON，由数量积的几何意义可知：当N(x，y)在点A(5，2)时，zmax=OM•OA=12；当N（x，y）在点B（1，1）时，zmax=OM•OB=3.
　　
　　例4 已知x，y满足下列不等式组
　　x+2y-1≥0，x-y+2≥0，2x+y-5≤0.求z=3x-2y的最大值与最小值.
　　解 作出可行域（如图）.设N（x，y）为可行域内任意一点，M（3，-2），则z=OM•ON=|OM|•|ON |cos∠MON，由数量积的几何意义可知：
　　当N（x，y）在点A（3，-1）时，zmax=OM•OA=11；
　　当N(x，y)在点B（-1，1）时，zmin=OM•OB=-5.
　　
　　三、求解点到平面的距离问题
　　如图，设平面α的一法向量为n，A为平面α外一点，B为平面α内一点，则由数量积的几何意义得：点A到平面α的距离d=|AB|cos∠BAC=|AB•n||n|.
　　例5 已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别为AB和CD的中点，过平面外一点G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求点B到面GEF的距离.
　　解 如图，建立空间直角坐标系，则
　　G（0，0，2），F（4，2，0），
　　E(2，4，0)，B（0，4，0）.
　　∴EF=（2，-2，0），GE=（2，4，-2），
　　BE=（2，0，0）.
　　设平面GEF的法向量n=（x，y，z），则
　　n•EF=0，n•GE=0.
　　∴2x-2y=0，2x+4y-2z=0，
　　∴x=y，z=3y，令y=1，则n=(1，1，3)，
　　∴点B到面GEF的距离为d=|BE•n||n|=21111.
　　注 在求解空间距离时，若用向量方法，由数量积的几何意义可得距离的统一公式d=|AB•n||n|，即AB在n上的投影的绝对值.其中在求两条异面直线的距离时，n为与两异面直线的方向向量都垂直的一个向量，A，B分别为两异面直线上的任意两点；在求直线a到平面α的距离时，n为平面α的一个法向量，A，B分别为直线a与平面α内任意两点；在求两平面的距离时，n为两平面的一个法向量，A，B分别为两平面内任意两点.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文