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摘 要： 学生在平时的练习中、阶段性检测中由于种种原因会产生很多错误，对于这些错误，如果教师能进一步分析学生犯错误的原因，并能透过错误发现问题，利用错误这一资源为教学服务，那么教学质量就能提高，教师自身专业素质也能发展。本文通过对阶段性检测中学生的解题错误进行分析，来反思教师的教学过程，改善教师的教育教学行为，促进教师专业发展。
关键词： 教学 解题错误 原因 归类 教学过程
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。同时也是教师反思和改进教学的有力手段。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。阶段性检测作为一种评价方式，经常被学校、教师采用，教师关心本班成绩，若情况良好，则皆大欢喜；若不好，怨生的居多，责己的居少，反思自己教学行为、教学过程的教师不多，从学生的解题错误想想自己的教学存在的问题或许更少，评价的“反思”价值被忽视。本文通过对阶段性检测中学生的解题错误进行分析，以帮助教师反思教学过程，改善教育教学行为，提高自身专业素质与专业发展水平。
一、学生解题错误的原因归类浅析
1.数学的基本概念、定义、性质理解不透彻。
数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明概括及反映，它是数学学科的精髓、灵魂，是数学运算、推理、证明的依据。对数学的基本概念、定义、性质理解得正确、透彻，能直接提高学生的解题质量。从学生的反馈情况来看，对基本概念、定义、性质理解得不正确是解题错误的重要原因之一。
题1：如图1，已知：⊙A与⊙B的半径相等，那么在这两个圆所在的平面内可以作为旋转中心将⊙A旋转至⊙B的点有_________个。
正确答案是无数个。可一个班44个学生有19个错误，其中17个学生的答案是1个。分析时当问到：旋转变换的基本性质是什么？学生大多说出：旋转变换不改变图形的形状和大小，但遗忘了“对应点到旋转中心的距离相等”这一重要性质。从反馈情况来看，答案是1个的学生还对两个图形关于某个点成中心对称的概念理解不透彻。说明教学中关注概念的实际背景与形成过程不够，过于匆忙，学生机械记忆概念，导致概念、性质容易遗忘。图形的旋转变换源于物体的旋转运动，是对物体旋转运动的数学抽象。教学时教师应通过实例，让学生充分认识物体旋转运动的特点，可以让学生举出作旋转运动的更多的实际例子，在充分讨论的基础上概括图形旋转变换的概念和性质。理解深刻一些，错误率就会小一些。
题2：先阅读定义，后解题。
如图，已知：等腰梯形ABCD≌EFGH，AD∥BC，EH∥FG，∠ABC=∠EFG=60°，AB=AD=EH=EF=a，BC=FG=2a，点G沿BC的延长线移动到点M，设BF=x，任意四边形EFCD的面积为y，BM=5a。
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）G点移动到什么位置时，y有最小值？
分析：点G沿BC的延长线移动到点M的过程中，由线段EF、FC、CD、DE首尾连接围成的任意四边形的形状要发生变化，故分类讨论求y关于x的函数解析式。当点E、F分别运动在线段AD、BC上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形EFCD的面积（如图2）；当点E运动在线段AD的延长线上，点F运动在线段BC上时，任意四边形EFCD的面积是等边三角形OED与等边三角形OFC的面积和（如图3）；当点E运动在线段AD的延长线上，点F也运动在线段BC的延长线上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形CFED的面积（如图4）。
试卷统计只有2人全对，34人做对当点E、F分别运动在线段AD、BC上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形EFCD的面积。主要错误是：当点E运动在线段AD的延长线上，点F运动在线段BC上时，把任意四边形EFCD的面积理解成是梯形DFCE的面积（如图5）。这些学生分析问题的能力不弱，想到了运用分类讨论的思想，但是对定义理解的不透彻，导致失分。初中教材中两次出现类似定义，一次是三角形，另一次是四边形，课本以比较严格定义的方式给出了三角形的概念，在定义时加了“不在同一直线上”的条件，因为在同一直线上的三条线段，即使它们“首尾顺次相接”，也不可能组成三角形。教学中一些教师强调了这一条件，却忽视了“首尾顺次相接”的意义，在实际操作时经常很随意，如图7画法，而不是像图6那样按一个方向作图，所以影响了学生对这个“任意四边形面积”的理解。可见一些教师在平时的教学中存在一定的随意性，学生可能将负迁移后继的学习，造成部分学生的误解。
2.算理不理解或方法不当导致运算错误。
初中阶段的运算主要是有理数、实数的运算，整式与分式的运算，求方程(组)、不等式(组)的解，求函数解析式等代数内容，还有几何中的求长度、角度、面积等内容，以及统计与概率中涉及的从图中提取信息，用列表法或画树状图法求概率等有关内容。运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘和混淆，缺乏对算理的真正理解，或运用呆板的结果。
统计显示，完全错误的学生有5个，未检验被扣1分的学生有11个。让人揪心的是其中17个学生虽然没扣分，但解答的思想方法不正确。有相当多的学生对解分式方程的步骤是陌生的，大多数第一步是将方程左边通分，解答过程更是书写得千奇百怪，有个别学生甚至于无从下手，涂改得厉害。
在《分式方程》这一课时的教学过程中，必须解决以下几个问题：
（1）分式方程和整式方程的区别：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数。
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。
（3）解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而准确无误地找出最简公分母。
（4）分式方程可能产生增根的原因：因分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则这个根就是原方程的增根。因此化为整式方程后求出的解必须代入最简公分母进行检验。
课堂上不能为赶教学进度、完成教学任务，不给时间让学生进行充分的交流，而是包办式地进行讲解分析，否则虽然讲解得清晰易懂，学生当时反馈也能听明白，但当他们真正动手时，却依然犯各种各样的错误。所以复习《分式方程》时为突出解分式方程的思想与分式的化简求值的区别，可收集学生以往在分式的化简时去分母的错误，让学生自我反思、自我改正。
3.运用数学思想方法的意识淡薄。
在数学教学中，“问题是数学的心脏”为数学界的共识，而问题的解决，实际上是数学思想方法的体现。学生掌握数学思想方法，是通向解题成功的阶梯。从反馈情况来看，运用数学思想方法的能力薄弱往往是学生解题错误的直接原因。
题4：（2002年黄岗第19题改编）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余料，现找了其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，共能设计出__________种所有可能符合题意的方案示意图。
大多数学生答案错误，得分率很低，为什么呢？细想发现学生对题目中“使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切”理解不透彻，未作深入思考，读题后马上开始画。其实此题在考查学生数学知识的同时，更重要的是在考查学生是否深刻领会数学思想方法。学生没进行分类讨论，所以答案不全。共有四种：圆心在直角顶点处；圆心在锐角顶点处；圆心在斜边上；圆心在直角边上；由此根据半径的不同，可得四种设计方案。
题5：如图8，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为a+2b、宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片__________张。
解答正确的学生只有一半。平时数学优秀的学生错的也好几个，确实令人困惑？错误原因就是缺乏数形结合的意识。浙教版七年级下《整式的运算》这章教学时，设置学生活动环节，合作交流，通过图形从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，从直观上理解这些内容，渗透数形结合思想，显然不够到位，以致学生碰到此题无从下手。
4.题意不解、审题不清导致解题错误。
每次检测后总有学生说“题目没看清”。“审题不清”是学生解题时普遍存在的一个问题。有些学生漏看、错看或看不全题目中的条件，就导致理解上的偏差，进而引起解题错误。要提高解题的正确率，我们必须培养学生认真审题的习惯。
题6：如图9，2枚相同硬币依次放入2×2的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）。
（1）利用树状图或列表的方法表示出所放的2枚硬币位置可能出现的所有结果。
（2）求2枚硬币所放位置数字之和正好是5的概率。
试卷显示学生解答较好。但却有5个学生因给出答案16种被扣去8分，其中有3位平时数学优秀的学生。显然是未能审清题目：“将2枚硬币放在同个正方形格子中。”正确审题非常重要，尤其对题目的关键词要吃透，抓住有效信息，挖掘题目中的隐蔽条件，全面考虑问题。
题7：如图10，某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度，在塔底部B的正对岸点C处，测得仰角∠ACB=30°。
（1）若河宽BC=60米，求塔AB的高（结果精确到0.1米）；
（2）若河宽BC的长度无法度量，如何测量塔AB的高度呢？小明想出了另外一种方法：从点C出发，沿河岸CD的方向（点B、C、D在同一平面内，且CD⊥BC）走a米，到达D处，测得∠BDC=60°，这样就可以求得塔AB的高度了，请你用这种方法求出塔AB的高。
统计显示有14个出错。有的学生看不懂题目，其实是这些学生想到用解直角三角形解决，苦于找不到“直角”。欲解此题，第一要抓住“在塔底部B的正对岸点C处”的理解，就是BC⊥AB，从而将问题转化为解直角三角形。第二要明白题中的图是“直观图”。这说明在平时教学中，一些学生不能将文字语言转化为数学语言，并进一步转化为符号语言学生要能用数学的方法解决实际问题，需要长期的积累与熏陶，教师要给予足够的重视。
二、反思教学过程
以上是学生阶段性检测解题错误的局部透视，折射出教师平时教学中值得注意的问题。当然学生错误的原因远不止这些，错误的原因也不完全取决于教师的教学。研究学生的错因是提高教学质量的有效方法。透过学生的错误，改进自己的教学行为，反思自己的教学过程，是教师专业水平提升的必经之路。
1.切实重视数学概念教学的过程，使学生加深对数学概念的理解，减少错误的发生。
数学概念的教学是重要的一环。概念的获得不能直接呈现概念，要遵照课程标准的要求，根据学生已有的经验和知识的最近发展区，关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。
例如：先观察一组实例，抽象出共同的属性；再归纳出新概念的定义，通过分析其逻辑意义，初步领会新概念的本质属性，注意概念的内涵与外延、抓住其本质，使学生不仅知其然，更要知其所以然。概念建立后，针对学生疑点和难点，设计恰当的练习，采用灵活多样的形式，从不同角度对概念进行训练，使其对概念的认识上升到抽象的具体。也可从概念的反面有针对性地创设一种错误的情景，引导学生深入到这种特定的情景中，运用已有的知识和经验去分析错因，去尝试矫正，让学生在反思中加深对概念的理解。
2.公式、法则、性质的推导过程中，要重视从特殊到一般的探索过程，让学生去观察比较、发现规律，得出结论。
算式有何变化，如底数不变，指数有变化，而指数的变化是将指数相加，由学生自己归纳出法则，最后让学生说出这个法则适用的运算，应用时的条件。这样就可以减少如下的错误：
如果在公式、法则、性质的推导时，都能让学生参与，由学生担当“小教师”并带动其他学生积极思考、主动解决问题，学生就会形成对数学知识的正确理解，加深所学知识与已有知识的联系，避免知识上的负迁移，减少解决问题时的错误。
3.在例、习题教学中，重视对解题过程的教学，让学生在“过程”中发现问题、分析问题，提高解题能力。
在传统教学中，例习题教学通常是采用“审清题意→分析思考→寻求解法→求出结果”的四步法完成的。遗憾的是这四步通常是教师主唱甚至于独唱的，惟恐学生在课堂上听不懂、吃不饱，总在课堂上讲个不停，即使提问题也是匆匆而过，学生没有充分思考问题的时间。学生解题遇到的困难首先来自于理解题意和寻找解题途径。我们不妨对四个步骤作些强化与调整：“阅读习题→弄清题意，分析思考→各述己见，寻求解法→求出结果，归纳小结→畅谈体会”，即在整个例、习题教学过程中，给学生提供探索交流的时间与空间，敢于、善于给学生提供独立思考问题、自己提出问题的条件与机会，在这个时间与空间里引导学生经历数学活动过程，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中，让学生自己在这样的“过程”之中“悟”出道理、规律、思考方法，减少解题的盲目性，较快地确定解题方向，提高解题的正确性。
同时教师要善于进行“一题多变”、“一题多解”的教学活动。教学中，在夯实基础的前提下，教师要善于将学生从思维定势中解脱出来，使学生养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养其思维的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的例题、习题，不能就题做题，要以题为载体，阐述题的条件变化、结论开放、结论变换、与其他题的联系与区别，将题的知识价值、教育价值一一解剖，达到做一题会一片，触类旁通的目的。
4.数学思想方法贯穿与整个初中数学教学过程。
数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在。如函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想等。
学生由于数学思想方法运用不灵活，在解题中会出现思维漏洞或思维受阻，想不到解题的方法。在教学中渗透数学思想，是一项长期、细致的工作，不是凭借一两次课或几个例题的讲解就能使学生掌握，也不能靠生硬的说教，应当结合学生的年龄特征，结合教学内容自然而然、潜移默化地进行。教师在日常教学中要做一个有心人，善于利用反映数学思想的基本材料，有意识地设计与一定数学思想相联系的学习活动。在教学中，根据数学知识特征，教师可以有计划有步骤地渗透相应的数学思想。如学习有理数的绝对值、有理数的运算时，渗透“分类”思想；在解二元一次方程时，渗透“化归”思想；列方程解应用题时，渗透“方程”思想和“建模”思想。通过训练一些典型试题来丰富学生运用数学思想的解题经历，加强数学的思维训练，但不能打“题海之战”。
5.教学中加强阅读指导，培养学生阅读数学的习惯，提高学生的审题能力。
顾名思义，解题必然是建立在阅读题目的基础上的。数学阅读有不同于一般阅读的特殊性，要抓住关键字、词、句，能正确进行文字语言、图形语言和符号语言的互译。平时除了在解题教学，公式、法则推导教学时，有针对性地进行阅读题目的教学外，还应在平时数学教学中加强阅读指导，培养阅读理解能力。阅读数学教材可以安排在课外预习时，也可以安排在课堂教学时，可以阅读某一节，也可以阅读某一段；可以阅读例题，也可以阅读概念、法则。要使阅读有兴趣、有效果，关键在于教师必须编拟阅读提纲或者是阅读思考题，让学生带着问题去阅读。美国著名数学教育家贝尔就数学教科书的作用，以及如何有效地使用教科书曾作过较为全面的论述，其中重要的一条就是要把教科书作为学生学习材料的来源，而不能仅作为教师自己授课材料的来源，必须重视数学教科书的阅读。
6.多方面解决好纠错工作，同时发挥“错题”的作用。
对于课堂上出现的错误，纠错要及时，特别是起始阶段的运算，通过学生的板演，用学生帮助学生的方法来解决，加深印象，增强说服力；有些问题的错误教师有预见，可以故入陷阱，让学生纠错，教育其防犯；有些问题的错误可以从“正”“反”两方面对比处理，发现其矛盾之处。课外纠错可以通过作业面批，纠错本订正回收再批的方式，另外要注意纠错工作是持久战，随时提防。试卷上的错误，在统计的基础上应针对学生的错误进行分析，要多问“为什么学生会在这道题（这类问题）上出错？”针对普遍问题与个体问题进行认真备课、反思，讲评时避免“就题论题”的做法；要透过题中的表面现象，抓住问题的本质特征进行开放式讲解，使学生的知识得到拓展、加深，形成系统，弥补教师先前教学过程中可能出现过的失误、不足。
学生的错误解法与创新解法一样是教师的一笔宝贵的教学资源，常出现在平时的练习、作业本、试卷中，教师应要求学生把错题用红笔订正在试卷上，并把典型错题收集在“错题本”中，做好答错原因的分析，并注明正确解答，以促进学生自己反思，完善认知，学会思考。待到复习时，学生即可避免重复机械练习，提高复习效率。教师也要备有一个“易错题记录本”，主要由四个部分组成：①典型错误解法；②分析错误原因；③改进相关内容的教学预设；④反思教学过程，同时建立诊治题库。这对课堂教学可以起到事半功倍的效果。
对于学生的错误，不仅要积极预防，更要及时纠正，但无论教师平时怎样防范与纠正，学生在认识和运用上总还会出现这样或那样的失误，这是学习过程中常见的，不足为奇，并不可怕，关键是对于学生的错误，教师如何看待，如何利用。错误是有价值的，是一种可以利用的教学资源，让我们利用这个教学资源多反思，在反思中改善教学过程，在反思中自主发展。
参考文献：
［1］教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001，7.
［2］鱼霞.反思型教师的成长机制探新.教育科学出版社，2007，6.
［3］景盛.错误——一种可以利用的教学资源.小学数学教师，2004（7.8月合刊）.
［4］申继亮.教学反思与行动研究.北京师范大学出版社，2006，5.
［5］谢绍义.略论数学纠错的教学原则.数学通报，2003.1.
［6］顾香才.从学生的解题错误透视教师的教学失误.中小学数学，2006，4.
关键词： 教学 解题错误 原因 归类 教学过程
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。同时也是教师反思和改进教学的有力手段。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。阶段性检测作为一种评价方式，经常被学校、教师采用，教师关心本班成绩，若情况良好，则皆大欢喜；若不好，怨生的居多，责己的居少，反思自己教学行为、教学过程的教师不多，从学生的解题错误想想自己的教学存在的问题或许更少，评价的“反思”价值被忽视。本文通过对阶段性检测中学生的解题错误进行分析，以帮助教师反思教学过程，改善教育教学行为，提高自身专业素质与专业发展水平。
一、学生解题错误的原因归类浅析
1.数学的基本概念、定义、性质理解不透彻。
数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明概括及反映，它是数学学科的精髓、灵魂，是数学运算、推理、证明的依据。对数学的基本概念、定义、性质理解得正确、透彻，能直接提高学生的解题质量。从学生的反馈情况来看，对基本概念、定义、性质理解得不正确是解题错误的重要原因之一。
题1：如图1，已知：⊙A与⊙B的半径相等，那么在这两个圆所在的平面内可以作为旋转中心将⊙A旋转至⊙B的点有_________个。
正确答案是无数个。可一个班44个学生有19个错误，其中17个学生的答案是1个。分析时当问到：旋转变换的基本性质是什么？学生大多说出：旋转变换不改变图形的形状和大小，但遗忘了“对应点到旋转中心的距离相等”这一重要性质。从反馈情况来看，答案是1个的学生还对两个图形关于某个点成中心对称的概念理解不透彻。说明教学中关注概念的实际背景与形成过程不够，过于匆忙，学生机械记忆概念，导致概念、性质容易遗忘。图形的旋转变换源于物体的旋转运动，是对物体旋转运动的数学抽象。教学时教师应通过实例，让学生充分认识物体旋转运动的特点，可以让学生举出作旋转运动的更多的实际例子，在充分讨论的基础上概括图形旋转变换的概念和性质。理解深刻一些，错误率就会小一些。
题2：先阅读定义，后解题。
如图，已知：等腰梯形ABCD≌EFGH，AD∥BC，EH∥FG，∠ABC=∠EFG=60°，AB=AD=EH=EF=a，BC=FG=2a，点G沿BC的延长线移动到点M，设BF=x，任意四边形EFCD的面积为y，BM=5a。
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）G点移动到什么位置时，y有最小值？
分析：点G沿BC的延长线移动到点M的过程中，由线段EF、FC、CD、DE首尾连接围成的任意四边形的形状要发生变化，故分类讨论求y关于x的函数解析式。当点E、F分别运动在线段AD、BC上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形EFCD的面积（如图2）；当点E运动在线段AD的延长线上，点F运动在线段BC上时，任意四边形EFCD的面积是等边三角形OED与等边三角形OFC的面积和（如图3）；当点E运动在线段AD的延长线上，点F也运动在线段BC的延长线上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形CFED的面积（如图4）。
试卷统计只有2人全对，34人做对当点E、F分别运动在线段AD、BC上时，任意四边形EFCD的面积是等腰梯形EFCD的面积。主要错误是：当点E运动在线段AD的延长线上，点F运动在线段BC上时，把任意四边形EFCD的面积理解成是梯形DFCE的面积（如图5）。这些学生分析问题的能力不弱，想到了运用分类讨论的思想，但是对定义理解的不透彻，导致失分。初中教材中两次出现类似定义，一次是三角形，另一次是四边形，课本以比较严格定义的方式给出了三角形的概念，在定义时加了“不在同一直线上”的条件，因为在同一直线上的三条线段，即使它们“首尾顺次相接”，也不可能组成三角形。教学中一些教师强调了这一条件，却忽视了“首尾顺次相接”的意义，在实际操作时经常很随意，如图7画法，而不是像图6那样按一个方向作图，所以影响了学生对这个“任意四边形面积”的理解。可见一些教师在平时的教学中存在一定的随意性，学生可能将负迁移后继的学习，造成部分学生的误解。
2.算理不理解或方法不当导致运算错误。
初中阶段的运算主要是有理数、实数的运算，整式与分式的运算，求方程(组)、不等式(组)的解，求函数解析式等代数内容，还有几何中的求长度、角度、面积等内容，以及统计与概率中涉及的从图中提取信息，用列表法或画树状图法求概率等有关内容。运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘和混淆，缺乏对算理的真正理解，或运用呆板的结果。
统计显示，完全错误的学生有5个，未检验被扣1分的学生有11个。让人揪心的是其中17个学生虽然没扣分，但解答的思想方法不正确。有相当多的学生对解分式方程的步骤是陌生的，大多数第一步是将方程左边通分，解答过程更是书写得千奇百怪，有个别学生甚至于无从下手，涂改得厉害。
在《分式方程》这一课时的教学过程中，必须解决以下几个问题：
（1）分式方程和整式方程的区别：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数。
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。
（3）解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而准确无误地找出最简公分母。
（4）分式方程可能产生增根的原因：因分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则这个根就是原方程的增根。因此化为整式方程后求出的解必须代入最简公分母进行检验。
课堂上不能为赶教学进度、完成教学任务，不给时间让学生进行充分的交流，而是包办式地进行讲解分析，否则虽然讲解得清晰易懂，学生当时反馈也能听明白，但当他们真正动手时，却依然犯各种各样的错误。所以复习《分式方程》时为突出解分式方程的思想与分式的化简求值的区别，可收集学生以往在分式的化简时去分母的错误，让学生自我反思、自我改正。
3.运用数学思想方法的意识淡薄。
在数学教学中，“问题是数学的心脏”为数学界的共识，而问题的解决，实际上是数学思想方法的体现。学生掌握数学思想方法，是通向解题成功的阶梯。从反馈情况来看，运用数学思想方法的能力薄弱往往是学生解题错误的直接原因。
题4：（2002年黄岗第19题改编）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余料，现找了其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，共能设计出__________种所有可能符合题意的方案示意图。
大多数学生答案错误，得分率很低，为什么呢？细想发现学生对题目中“使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切”理解不透彻，未作深入思考，读题后马上开始画。其实此题在考查学生数学知识的同时，更重要的是在考查学生是否深刻领会数学思想方法。学生没进行分类讨论，所以答案不全。共有四种：圆心在直角顶点处；圆心在锐角顶点处；圆心在斜边上；圆心在直角边上；由此根据半径的不同，可得四种设计方案。
题5：如图8，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为a+2b、宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片__________张。
解答正确的学生只有一半。平时数学优秀的学生错的也好几个，确实令人困惑？错误原因就是缺乏数形结合的意识。浙教版七年级下《整式的运算》这章教学时，设置学生活动环节，合作交流，通过图形从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，从直观上理解这些内容，渗透数形结合思想，显然不够到位，以致学生碰到此题无从下手。
4.题意不解、审题不清导致解题错误。
每次检测后总有学生说“题目没看清”。“审题不清”是学生解题时普遍存在的一个问题。有些学生漏看、错看或看不全题目中的条件，就导致理解上的偏差，进而引起解题错误。要提高解题的正确率，我们必须培养学生认真审题的习惯。
题6：如图9，2枚相同硬币依次放入2×2的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）。
（1）利用树状图或列表的方法表示出所放的2枚硬币位置可能出现的所有结果。
（2）求2枚硬币所放位置数字之和正好是5的概率。
试卷显示学生解答较好。但却有5个学生因给出答案16种被扣去8分，其中有3位平时数学优秀的学生。显然是未能审清题目：“将2枚硬币放在同个正方形格子中。”正确审题非常重要，尤其对题目的关键词要吃透，抓住有效信息，挖掘题目中的隐蔽条件，全面考虑问题。
题7：如图10，某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度，在塔底部B的正对岸点C处，测得仰角∠ACB=30°。
（1）若河宽BC=60米，求塔AB的高（结果精确到0.1米）；
（2）若河宽BC的长度无法度量，如何测量塔AB的高度呢？小明想出了另外一种方法：从点C出发，沿河岸CD的方向（点B、C、D在同一平面内，且CD⊥BC）走a米，到达D处，测得∠BDC=60°，这样就可以求得塔AB的高度了，请你用这种方法求出塔AB的高。
统计显示有14个出错。有的学生看不懂题目，其实是这些学生想到用解直角三角形解决，苦于找不到“直角”。欲解此题，第一要抓住“在塔底部B的正对岸点C处”的理解，就是BC⊥AB，从而将问题转化为解直角三角形。第二要明白题中的图是“直观图”。这说明在平时教学中，一些学生不能将文字语言转化为数学语言，并进一步转化为符号语言学生要能用数学的方法解决实际问题，需要长期的积累与熏陶，教师要给予足够的重视。
二、反思教学过程
以上是学生阶段性检测解题错误的局部透视，折射出教师平时教学中值得注意的问题。当然学生错误的原因远不止这些，错误的原因也不完全取决于教师的教学。研究学生的错因是提高教学质量的有效方法。透过学生的错误，改进自己的教学行为，反思自己的教学过程，是教师专业水平提升的必经之路。
1.切实重视数学概念教学的过程，使学生加深对数学概念的理解，减少错误的发生。
数学概念的教学是重要的一环。概念的获得不能直接呈现概念，要遵照课程标准的要求，根据学生已有的经验和知识的最近发展区，关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。
例如：先观察一组实例，抽象出共同的属性；再归纳出新概念的定义，通过分析其逻辑意义，初步领会新概念的本质属性，注意概念的内涵与外延、抓住其本质，使学生不仅知其然，更要知其所以然。概念建立后，针对学生疑点和难点，设计恰当的练习，采用灵活多样的形式，从不同角度对概念进行训练，使其对概念的认识上升到抽象的具体。也可从概念的反面有针对性地创设一种错误的情景，引导学生深入到这种特定的情景中，运用已有的知识和经验去分析错因，去尝试矫正，让学生在反思中加深对概念的理解。
2.公式、法则、性质的推导过程中，要重视从特殊到一般的探索过程，让学生去观察比较、发现规律，得出结论。
算式有何变化，如底数不变，指数有变化，而指数的变化是将指数相加，由学生自己归纳出法则，最后让学生说出这个法则适用的运算，应用时的条件。这样就可以减少如下的错误：
如果在公式、法则、性质的推导时，都能让学生参与，由学生担当“小教师”并带动其他学生积极思考、主动解决问题，学生就会形成对数学知识的正确理解，加深所学知识与已有知识的联系，避免知识上的负迁移，减少解决问题时的错误。
3.在例、习题教学中，重视对解题过程的教学，让学生在“过程”中发现问题、分析问题，提高解题能力。
在传统教学中，例习题教学通常是采用“审清题意→分析思考→寻求解法→求出结果”的四步法完成的。遗憾的是这四步通常是教师主唱甚至于独唱的，惟恐学生在课堂上听不懂、吃不饱，总在课堂上讲个不停，即使提问题也是匆匆而过，学生没有充分思考问题的时间。学生解题遇到的困难首先来自于理解题意和寻找解题途径。我们不妨对四个步骤作些强化与调整：“阅读习题→弄清题意，分析思考→各述己见，寻求解法→求出结果，归纳小结→畅谈体会”，即在整个例、习题教学过程中，给学生提供探索交流的时间与空间，敢于、善于给学生提供独立思考问题、自己提出问题的条件与机会，在这个时间与空间里引导学生经历数学活动过程，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中，让学生自己在这样的“过程”之中“悟”出道理、规律、思考方法，减少解题的盲目性，较快地确定解题方向，提高解题的正确性。
同时教师要善于进行“一题多变”、“一题多解”的教学活动。教学中，在夯实基础的前提下，教师要善于将学生从思维定势中解脱出来，使学生养成多角度、多侧面分析问题的习惯，以培养其思维的广阔性、缜密性和创新性。对于教材中所列举的例题、习题，不能就题做题，要以题为载体，阐述题的条件变化、结论开放、结论变换、与其他题的联系与区别，将题的知识价值、教育价值一一解剖，达到做一题会一片，触类旁通的目的。
4.数学思想方法贯穿与整个初中数学教学过程。
数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在。如函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想等。
学生由于数学思想方法运用不灵活，在解题中会出现思维漏洞或思维受阻，想不到解题的方法。在教学中渗透数学思想，是一项长期、细致的工作，不是凭借一两次课或几个例题的讲解就能使学生掌握，也不能靠生硬的说教，应当结合学生的年龄特征，结合教学内容自然而然、潜移默化地进行。教师在日常教学中要做一个有心人，善于利用反映数学思想的基本材料，有意识地设计与一定数学思想相联系的学习活动。在教学中，根据数学知识特征，教师可以有计划有步骤地渗透相应的数学思想。如学习有理数的绝对值、有理数的运算时，渗透“分类”思想；在解二元一次方程时，渗透“化归”思想；列方程解应用题时，渗透“方程”思想和“建模”思想。通过训练一些典型试题来丰富学生运用数学思想的解题经历，加强数学的思维训练，但不能打“题海之战”。
5.教学中加强阅读指导，培养学生阅读数学的习惯，提高学生的审题能力。
顾名思义，解题必然是建立在阅读题目的基础上的。数学阅读有不同于一般阅读的特殊性，要抓住关键字、词、句，能正确进行文字语言、图形语言和符号语言的互译。平时除了在解题教学，公式、法则推导教学时，有针对性地进行阅读题目的教学外，还应在平时数学教学中加强阅读指导，培养阅读理解能力。阅读数学教材可以安排在课外预习时，也可以安排在课堂教学时，可以阅读某一节，也可以阅读某一段；可以阅读例题，也可以阅读概念、法则。要使阅读有兴趣、有效果，关键在于教师必须编拟阅读提纲或者是阅读思考题，让学生带着问题去阅读。美国著名数学教育家贝尔就数学教科书的作用，以及如何有效地使用教科书曾作过较为全面的论述，其中重要的一条就是要把教科书作为学生学习材料的来源，而不能仅作为教师自己授课材料的来源，必须重视数学教科书的阅读。
6.多方面解决好纠错工作，同时发挥“错题”的作用。
对于课堂上出现的错误，纠错要及时，特别是起始阶段的运算，通过学生的板演，用学生帮助学生的方法来解决，加深印象，增强说服力；有些问题的错误教师有预见，可以故入陷阱，让学生纠错，教育其防犯；有些问题的错误可以从“正”“反”两方面对比处理，发现其矛盾之处。课外纠错可以通过作业面批，纠错本订正回收再批的方式，另外要注意纠错工作是持久战，随时提防。试卷上的错误，在统计的基础上应针对学生的错误进行分析，要多问“为什么学生会在这道题（这类问题）上出错？”针对普遍问题与个体问题进行认真备课、反思，讲评时避免“就题论题”的做法；要透过题中的表面现象，抓住问题的本质特征进行开放式讲解，使学生的知识得到拓展、加深，形成系统，弥补教师先前教学过程中可能出现过的失误、不足。
学生的错误解法与创新解法一样是教师的一笔宝贵的教学资源，常出现在平时的练习、作业本、试卷中，教师应要求学生把错题用红笔订正在试卷上，并把典型错题收集在“错题本”中，做好答错原因的分析，并注明正确解答，以促进学生自己反思，完善认知，学会思考。待到复习时，学生即可避免重复机械练习，提高复习效率。教师也要备有一个“易错题记录本”，主要由四个部分组成：①典型错误解法；②分析错误原因；③改进相关内容的教学预设；④反思教学过程，同时建立诊治题库。这对课堂教学可以起到事半功倍的效果。
对于学生的错误，不仅要积极预防，更要及时纠正，但无论教师平时怎样防范与纠正，学生在认识和运用上总还会出现这样或那样的失误，这是学习过程中常见的，不足为奇，并不可怕，关键是对于学生的错误，教师如何看待，如何利用。错误是有价值的，是一种可以利用的教学资源，让我们利用这个教学资源多反思，在反思中改善教学过程，在反思中自主发展。
参考文献：
［1］教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001，7.
［2］鱼霞.反思型教师的成长机制探新.教育科学出版社，2007，6.
［3］景盛.错误——一种可以利用的教学资源.小学数学教师，2004（7.8月合刊）.
［4］申继亮.教学反思与行动研究.北京师范大学出版社，2006，5.
［5］谢绍义.略论数学纠错的教学原则.数学通报，2003.1.
［6］顾香才.从学生的解题错误透视教师的教学失误.中小学数学，2006，4.