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摘 要:在全面实施素质教育的大背景下,对以往教学观念发起了挑战,“填鸭式教学”、“题海战术”只能是效率低下无赖的教学模式,还严重扼杀学生学习数学的积极性。本人在多年初中数学教学的基础上,结合本校学生学习数学的实际,提出了培养学生学习数学的思维途径和方法。
关键词:数学猜想猜想途径猜想方法
中图分类号:G62 文献标识码:Ａ 文章编号:1674-098X(2011)09(b)-0165-01
《初中数学课程标准》要求学生:能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据,给出证明或举出反例。猜想是数学的灵魂,合理的猜想是解决数学问题的开始,大胆的数学猜想也是解决数学问题的源泉,也是新时期数学教师侧重培养学生思维能力的一个方面,本人认为其中重要的一个环节就是数学猜想。
1 数学猜想的概念
1.1 什么是数学猜想
在数学中,任何一个定理,只要不是其他数学定理的直接推论,就可以经过猜想而建立起来。猜想有一定的事实依据,包含着以事实作为基础的可贵的想象成分。一个猜想越大胆,它所包含的想象成分就越多。
数学猜想就是依据某些已知事实和数学知识,对未知量及其关系所出的一种推断,是数学中的合情推理。波利亚指出:数学中有“论证推理和合情推理”两种推理,它们是思维的两种形式、两个方面,它们之间并不矛盾,在数学的发现和发明过程中起交互作用。在严格的推理之中,首要的事情是区别证明与推测,区别正确的论证与不正确的尝试;而在合情推理中,要区别理由较多的推测与理由较少的推测。所以说,数学猜想是合情的推理,而不是不合理的乱猜。
1.2 数学猜想实现途径
猜想大致可分为如下几种形式:①类比性猜想;②归纳性猜想;③对称性猜想;④仿造性猜想;⑤逆向性猜想。
实现猜想的途径,可以是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的,如类比的规律、归纳的规律等,并且要以数学知识和经验为支柱。在证明一个数学问题之前,应猜想这个问题的内容;在完全做出详细证明之前,应先得猜想证明的思路。
2 数学猜想的方法
2.1 直觉猜想
让学生观察实物模型和动手实验,根据观察、理解和分析,在已有的感性认识的基础上提出合理的猜想,这是直觉思维的重要机能之一,直觉猜想是创新思维的重要成份,人们是从突然的启发和非理性思考的预感中得到帮助的。。培养学生的直觉猜想,首先要教会学生掌握基本知识,特別是知识的结构,扩大知识视野,尽可能让学生利用已有的知识经验,凭直觉尝试解决问题。
2.2 类比猜想
类比猜想是根据两个事物之间类似或相同的特点,猜想出它们类似或相同的规律的一种数学思想方法。,课堂教学活动中应重视类比猜想。如根据分数的基本性质类比猜想分式的基本性质;由平行四边形的性质类比猜想矩形的性质,运用类比猜想的一般思路是:“观察——联想——类比——猜想,”在这一过程中联想是基础,类比是关键,猜想是飞跃。
2.3 归纳猜想
归纳猜想是数学中提示科学规律的重要方法之一,它由特殊到一般,把个别事物的特征上升到一类事物特征,再用一般特征去指导个别事物的特征。教学时要充分揭示结论的发展和得出过程,重视学生观察能力和归纳能力的培养。一般地,在教学过程中我们可采用“先退后进”的思想,通过特例,我们来研究该类事物的本质,从而归纳出问题的规律和性质。
2.4 演绎猜想
在我们平时解题过程中,如果一时不能明确解题方法,则可通过审题、观察,结合我们已有的知识和经验,提出一个临时性的猜想,然后以这个猜想为依据进行推理,这就是演泽猜想法,如果这个推理过程出现了错误,那么,就应重新提一个猜想,重新演泽,通过不断修正,不断探索,不断逼近正确结论,最后得到一个可靠的结论为止。
2.5 仿造猜想
仿造性猜想是指由于受到其它学科中有关客观事物、模型中方法的启示,依据它们对数学现象或问题之间的类似性,作出有关数学规律或方法的猜想。如从屋顶的三角形状猜想出三角形具有稳定性;由石块的抛物线的运动轨迹猜想二次抛物线的性质。另外,如教材中“想一想”、“做一做”可以很好地训练学生仿例猜想能力。
3 数学猜想的应用
首先,有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力。兴趣是学习的最好老师,调动学生的学习积极性是学好数学的基础和前提。
其次,有利于更为透彻地理解和掌握数学知识。数学课本中的很多定理和方法,绝大多数是由为数不多的特例,通过观察、归纳、猜想,最后才是给出证明。教师在讲授这些结论时,不要先把结论抛给学生,可同学生一起参与归纳猜想。反之,如果教师直接将这些结论抛给学生,学生就会感到很突然,而通过归纳猜想得出结论就显的很自然。
例如在讲解圆与圆的位置关系时,教师可以给大家演示两个圆由远到近的移动过程,让学生观察它们位置的变化,由此猜想出它们大概有几种位置,然后让大家讨论各自猜想的依据,他们很快就会得出:位置是由交点个数决定的,有利于更快捷地寻找解题思路。
最后,数学猜想是数学认识过程中不可缺少的一环节,是数学思维的基本要素,归纳和类比是两种主要表现形式。数学史上的许多重要成就都是借助于数学猜想获得的,各种数学新观念的产生,都或多或少有他们的作用。
牛顿曾说:没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。由此可见,猜想在人类发明创造中的地位非同一般,假如没有猜想,牛顿就不会发现万有引力;假如没有猜想爱因斯坦就不会发现相对论;假如没有猜想,陈景润就完成不了《哥达巴赫猜想》。正因为有了猜想,我们的思维才有了飞翔的翅膀;有了猜想,我们才有创新的空间和原动力。虽然,猜想是直观判断,但决不是盲目乱猜,它是在一定知识结构中提出,以扎实的基础知识为依据,教学时要注重猜想的情境,层次,使学生不仅把知识掌握牢固,而且能受到科学发现和方法教育,从而培养学生创新思维能力。
参考文献
[1] 张绍英.培养和激发学生数学学习兴趣的若干基本原则[J].中学数学杂志,2003,3.
[2] 徐泽玲.中学数学猜想教学探究[J].通化师范学院学报,2008(12).
[3] 陈仁杰.数学猜想能力培养的点滴体会[J].教学月刊:中学上旬版,2008(7).
[4] 张饴慈,李延林,王尚志.普通高中课程标准试验教科书·数学·选修2-2[M].北京师范大学出版社,2008.
[5] 波里亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,1984.
关键词:数学猜想猜想途径猜想方法
中图分类号:G62 文献标识码:Ａ 文章编号:1674-098X(2011)09(b)-0165-01
《初中数学课程标准》要求学生:能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据,给出证明或举出反例。猜想是数学的灵魂,合理的猜想是解决数学问题的开始,大胆的数学猜想也是解决数学问题的源泉,也是新时期数学教师侧重培养学生思维能力的一个方面,本人认为其中重要的一个环节就是数学猜想。
1 数学猜想的概念
1.1 什么是数学猜想
在数学中,任何一个定理,只要不是其他数学定理的直接推论,就可以经过猜想而建立起来。猜想有一定的事实依据,包含着以事实作为基础的可贵的想象成分。一个猜想越大胆,它所包含的想象成分就越多。
数学猜想就是依据某些已知事实和数学知识,对未知量及其关系所出的一种推断,是数学中的合情推理。波利亚指出:数学中有“论证推理和合情推理”两种推理,它们是思维的两种形式、两个方面,它们之间并不矛盾,在数学的发现和发明过程中起交互作用。在严格的推理之中,首要的事情是区别证明与推测,区别正确的论证与不正确的尝试;而在合情推理中,要区别理由较多的推测与理由较少的推测。所以说,数学猜想是合情的推理,而不是不合理的乱猜。
1.2 数学猜想实现途径
猜想大致可分为如下几种形式:①类比性猜想;②归纳性猜想;③对称性猜想;④仿造性猜想;⑤逆向性猜想。
实现猜想的途径,可以是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的,如类比的规律、归纳的规律等,并且要以数学知识和经验为支柱。在证明一个数学问题之前,应猜想这个问题的内容;在完全做出详细证明之前,应先得猜想证明的思路。
2 数学猜想的方法
2.1 直觉猜想
让学生观察实物模型和动手实验,根据观察、理解和分析,在已有的感性认识的基础上提出合理的猜想,这是直觉思维的重要机能之一,直觉猜想是创新思维的重要成份,人们是从突然的启发和非理性思考的预感中得到帮助的。。培养学生的直觉猜想,首先要教会学生掌握基本知识,特別是知识的结构,扩大知识视野,尽可能让学生利用已有的知识经验,凭直觉尝试解决问题。
2.2 类比猜想
类比猜想是根据两个事物之间类似或相同的特点,猜想出它们类似或相同的规律的一种数学思想方法。,课堂教学活动中应重视类比猜想。如根据分数的基本性质类比猜想分式的基本性质;由平行四边形的性质类比猜想矩形的性质,运用类比猜想的一般思路是:“观察——联想——类比——猜想,”在这一过程中联想是基础,类比是关键,猜想是飞跃。
2.3 归纳猜想
归纳猜想是数学中提示科学规律的重要方法之一,它由特殊到一般,把个别事物的特征上升到一类事物特征,再用一般特征去指导个别事物的特征。教学时要充分揭示结论的发展和得出过程,重视学生观察能力和归纳能力的培养。一般地,在教学过程中我们可采用“先退后进”的思想,通过特例,我们来研究该类事物的本质,从而归纳出问题的规律和性质。
2.4 演绎猜想
在我们平时解题过程中,如果一时不能明确解题方法,则可通过审题、观察,结合我们已有的知识和经验,提出一个临时性的猜想,然后以这个猜想为依据进行推理,这就是演泽猜想法,如果这个推理过程出现了错误,那么,就应重新提一个猜想,重新演泽,通过不断修正,不断探索,不断逼近正确结论,最后得到一个可靠的结论为止。
2.5 仿造猜想
仿造性猜想是指由于受到其它学科中有关客观事物、模型中方法的启示,依据它们对数学现象或问题之间的类似性,作出有关数学规律或方法的猜想。如从屋顶的三角形状猜想出三角形具有稳定性;由石块的抛物线的运动轨迹猜想二次抛物线的性质。另外,如教材中“想一想”、“做一做”可以很好地训练学生仿例猜想能力。
3 数学猜想的应用
首先,有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力。兴趣是学习的最好老师,调动学生的学习积极性是学好数学的基础和前提。
其次,有利于更为透彻地理解和掌握数学知识。数学课本中的很多定理和方法,绝大多数是由为数不多的特例,通过观察、归纳、猜想,最后才是给出证明。教师在讲授这些结论时,不要先把结论抛给学生,可同学生一起参与归纳猜想。反之,如果教师直接将这些结论抛给学生,学生就会感到很突然,而通过归纳猜想得出结论就显的很自然。
例如在讲解圆与圆的位置关系时,教师可以给大家演示两个圆由远到近的移动过程,让学生观察它们位置的变化,由此猜想出它们大概有几种位置,然后让大家讨论各自猜想的依据,他们很快就会得出:位置是由交点个数决定的,有利于更快捷地寻找解题思路。
最后,数学猜想是数学认识过程中不可缺少的一环节,是数学思维的基本要素,归纳和类比是两种主要表现形式。数学史上的许多重要成就都是借助于数学猜想获得的,各种数学新观念的产生,都或多或少有他们的作用。
牛顿曾说:没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。由此可见,猜想在人类发明创造中的地位非同一般,假如没有猜想,牛顿就不会发现万有引力;假如没有猜想爱因斯坦就不会发现相对论;假如没有猜想,陈景润就完成不了《哥达巴赫猜想》。正因为有了猜想,我们的思维才有了飞翔的翅膀;有了猜想,我们才有创新的空间和原动力。虽然,猜想是直观判断,但决不是盲目乱猜,它是在一定知识结构中提出,以扎实的基础知识为依据,教学时要注重猜想的情境,层次,使学生不仅把知识掌握牢固,而且能受到科学发现和方法教育,从而培养学生创新思维能力。
参考文献
[1] 张绍英.培养和激发学生数学学习兴趣的若干基本原则[J].中学数学杂志,2003,3.
[2] 徐泽玲.中学数学猜想教学探究[J].通化师范学院学报,2008(12).
[3] 陈仁杰.数学猜想能力培养的点滴体会[J].教学月刊:中学上旬版,2008(7).
[4] 张饴慈,李延林,王尚志.普通高中课程标准试验教科书·数学·选修2-2[M].北京师范大学出版社,2008.
[5] 波里亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,1984.