论文部分内容阅读
摘要：本文在分析估算“教学难”的基础上提出解决的四方面策略，让学生利用数学思想方法进行估计，让学生有经验、方法可循，让估算渗透数学学习的各个角落，成为学生学习的有力武器。因此在教学中培养估算技能的同时，要发展学生估算意识。
关键词：估算；教学策略；估算意识
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）10-0247-02
一、估算难之现状反思
1.开放性造成答案不确定。估算问题往往没有唯一确定的答案。如：沙坪小学有学生612人，全乡有这样的小学19所。全乡约有多少名小学生？估算时，可以把612看成600人；可以把19所大约地看成20所，也可以把612看成610，19看成20进行估算。不确定的数字更带来不同的解答策略，对习惯了单一答案的学生来说，带来了难度。
2.推理性造成过程复杂性。估算问题有时需要一定的标准进行推理。如：1亿粒米有多重？学生可以先通过测量发现100粒米是多重，然后通过计算推理1亿粒米的分量。标准的确立，需要学生动用多种测量工具，进行有理有据的估算。这个过程对解决问题能力薄弱的学生来说，有一定难度。
3.多样性造成策略选择难。数的省略，可以按照四舍五入的规则进行，但是解决估算问题没有一定的策略可循，更多是需要根据生活实际自己选取估算策略：如去尾法、四舍五入法、进一法等。于远离生活的学生来说，对这些越来越贴近生活实际的题，远不像整数的加减那样容易掌握。
4.多精算造成弱估算。对于小学生来说，精算占据了他们数学学习生活的方方面面。大量的精算题让学生计算快、准、易，而估算则因其较少的使用范围造成了学生越来越缺少估算意识，估算的需求更谈不上了。就估算本身来说，大多数估算用整十整百数进行简单估计，计算容易。所谓估算难，难在一个选择过程、选择答案的过程。如果我们把它视作一种体验，能锻炼思维、进行验算、培养数感、培养观察力和直觉思维的体验过程，而进一步弱化估算的实际结果，估算则不难。更进一步说，把估算提到与精算同样的地位上，估算也将同精算一样成为家常便饭，估算则不难。
二、解决估算教学难的根本策略
1.估算，让学生抛掉模型。大多时候，学生不采用估算，是因为精算能解决问题，在这种情况下，学生就想不起来用估算。因此，教师采用的教学原型是学生前面从来没有接触过的，学生不能使用已知的模型，则需借助数学思想方法解决问题。这样的估算对学生来说意义更为深远。如教学实例：（1）一个不规则图形，已知每格为1平方厘米，请估计这个图形的面积。（2）估计圆面积的大小。在上例中，学生已经无原型可依，这时估算可采用什么方法呢？教师可从引导学生复习圆面积的推导过程入手。此时圆面积介于大正方形于小正方形的面积之间，而这两个正方形的面积又是学生可以求得的：S大正方形=2r×2r=4r2；S小正方形=r×r÷2×4=2r2。由此可以估计得到圆面积介于2r2和4r2之间。
再看这道题，不规则图形的面积同样学生没有可以参照的标准，但是也可以模仿推导的过程得到一个大致的范围。我们可以把不规则图形外面套上一个“合身”的长方形，内切一个长方形。此时，我们完全可以看到这个图形的面积大约在什么范围以内了。为了使结果更精确些，此时不妨可以设问：“如果想让结果更精确些，该怎么办？”因为在三角形学习中学生有方格图中移多补少经验的支撑，学生可以用移多补少的方法去解决问题，也可以用微分的方法对每个小正方形再平均分成若干份，看看不规则图形实际占了这样的几个小格，得到面积是多少。这样的学习情境不同于学生常见的估算，学生无法用已知的面积公式来解决问题，但是可以通过一个区间的确定，来让学生体会估算。特别是通过再分小格的方法，可以进一步让学生体会极限的思想。
2.估算，让学生有迹可循。课程标准指出：“（让学生）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”；还要“不失时机地培养学生的估计意识”。学生的估计随意性较大，这时如果教师能提供一定的参照标准，则会让估算有迹可寻，进而实现估值能比较接近准确结果，为生产生活服务。教学片断：师：这叠纸请你预测下张数。生1：100张。生2：500张。生3：1万张。师：（拿出另一叠纸放在第一叠纸的边上）这叠纸有100张。生4：我估计另一叠在250张左右。师：为什么？生5：因为从厚度上看，大概是前一叠纸的2.5倍左右。生5：我用小拇指比照了一下，第一叠纸的厚度大概是一个指甲长，第二叠大概是三个指甲那么长，所以我估计是在300张左右。教师适时地参与，提供参照标准，此时学生的估值就不会那么盲目，完全跳出了乱猜的怪圈，变得有理有据，猜测的轨迹变得清晰，对学生的思维更具有指导意义。《面积单位》教学片断：师：老师这里有一张纸片，你能估计下这张纸片的大小吗？生1：大概50平方厘米吧。生2：大概80平方厘米吧。生3：大概72平方厘米。师：别人的估值都是整十数，为什么你的估值还有个尾数呢？生3：我是这样想的，我估计了下，这个长方形纸片长大概是9厘米，这样长边上可以放9个1平方厘米的正方形纸片；宽大概是8厘米，这样宽边上可以放8个1平方厘米的纸片。相当于每行9个，摆了8行，这个长方形纸片可以放72个1平方厘米的纸片。所以我估计这个纸片大概是72平方厘米。经常进行这样的估算练习，有助于在头脑中树立面积单位的表象，使学生形成对数、问题及结果的直觉素质。
3.估算，让学生有法可依。虽然估算方法多变且灵活，存在估算结果各异的情况，但是估算方法并非毫无规律。除了常见的四舍五入和凑整法外，较常用的还有以下几种：
（1）根据商的位数估算。例如：4305÷41=105，根据判断，商的最高位在百位上，应该是一个三位数，因此可判断如果商是“15”是错误的。
（2）数位估算法。学生需关注算式、图形或者解决问题中具体数据的特点，从数位上判断得出结论。①首位估算法。如2895÷5商最高位是“5”，不然结果就是错误的。②末位估算法。如34.8×5.7，积的末位应当是6，否则就错。另外还有位数估算法等。 （3）根据数量关系与意义估算。例如，一段路程，甲走完需要5小时，乙走完需要10小时。两人如果同时出发，相向而行，则几小时相遇？根据学生已有经验，相当于甲乙共同完成一件工作，因此可以估计相遇时间应在5小时以内，这就不难判断出自己的得数是否正确了。又如在计算合格率、命中率和出勤率等问题时，计算结果超过100%也肯定是错的。
当然，由于学生对知识的理解水平及思维方式不同，相同的题有不同的估算方法。教师要引导学生针对不同的情境，采用不同的估算方法，同时充分交流，使学生体会到估算的实际意义。
4.估算，是到处可见的风景。在计算教学中，如：5.13×4.9要引导学生观察出这两个数都比较接近5，则乘积约是25，如果计算的结果和25相差较大，比如2.5137就可以断定计算错了。《百分数解决问题》教学片断：教师出示：小云家十月份用水12吨，比上个月节约25%，小云家上个月用水多少吨？你能估计下小云家上个月用水情况吗？生1：我觉得比上个月节约，那么上个月肯定要多于12吨。生2：我认为大概在20吨左右，节约它的四分之一差不多是5吨，比较接近12吨。生3：那么应该比20吨还要小一点，因为照它这么算，还是比12吨多，18吨差不多。生4：综合他们的观点，应该在12吨到18吨之间。师：说得真棒！这样的估算教学让学生在跃跃欲试中培养了数感，强化了对于百分数意义的认知，为学生验算提供了有力的帮助。《多边形面积》教学片断：师：观察图，你估计上图的面积大概是多少平方厘米？生1：（比画出中间的正方形）我觉得应该比正方形面积大，也就是16平方厘米。生2：（连接半圆的中心四个点）我觉得比这个正方形面积也要大一点。但是……（挠挠头）我求不出它的面积。生3：我觉得可以在外面画一个正方形，应该比这个正方形面积小一点。（师帮助画出外面的正方形）生齐：对对，就是比这个正方形面积小一点。生4：我算出来了，这个大正方形面积是64平方厘米。生5：我估计应该是16平方厘米和64平方厘米的平均数。……学生在一次次视觉冲击中明白了这个图形的面积的取值范围，丰富了图形的表象，具有了初步的科学探究的雏形。
三、估算教学的价值体现
1.增加估算教学是计算教学的应用价值决定的，是教材改革的趋势。以估算促计算，加强估算值与精确值的对比。估算要用计算，估算也可以促进计算。在计算教学中，教师可以引导学生自觉地运用估算，把估算的结果与精确计算的结果适时进行对比分析。如计算“1.95 3.29”，可以要求学生先进行估算，得出两种估算结果；一种是1.9 3.2=5.1；另一种是2.0 3.3=5.3。并引导学生根据估算的结果，分析精确计算的结果取值大概是5.1～5.3之间，这样就为计算的准确性创造了条件。
2.增加估算教学是培养数学素养决定的，将估算和统计有机整合的最有效手段。新课标中，统计与概率是一块重要的内容。概率既是一种估算，也有关于“可能性”的估计。在统计教学时，当学生完成了数据的收集与整理，并完成统计表、条形统计图后，可以让学生估计预测现在与未来的情况等。请你估计下芸芸第六分钟跑多少米？
学生的估算可以依据芸芸的体力情况，可以根据芸芸成绩的平均数，让学生体会到芸芸的成绩既能估计，又有很大的随机性。
参考文献：
[1]教育部.数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011.
[2]王永锋.小学估算教学的观察与思考[J].小学教学研究，2011，（16）.
关键词：估算；教学策略；估算意识
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）10-0247-02
一、估算难之现状反思
1.开放性造成答案不确定。估算问题往往没有唯一确定的答案。如：沙坪小学有学生612人，全乡有这样的小学19所。全乡约有多少名小学生？估算时，可以把612看成600人；可以把19所大约地看成20所，也可以把612看成610，19看成20进行估算。不确定的数字更带来不同的解答策略，对习惯了单一答案的学生来说，带来了难度。
2.推理性造成过程复杂性。估算问题有时需要一定的标准进行推理。如：1亿粒米有多重？学生可以先通过测量发现100粒米是多重，然后通过计算推理1亿粒米的分量。标准的确立，需要学生动用多种测量工具，进行有理有据的估算。这个过程对解决问题能力薄弱的学生来说，有一定难度。
3.多样性造成策略选择难。数的省略，可以按照四舍五入的规则进行，但是解决估算问题没有一定的策略可循，更多是需要根据生活实际自己选取估算策略：如去尾法、四舍五入法、进一法等。于远离生活的学生来说，对这些越来越贴近生活实际的题，远不像整数的加减那样容易掌握。
4.多精算造成弱估算。对于小学生来说，精算占据了他们数学学习生活的方方面面。大量的精算题让学生计算快、准、易，而估算则因其较少的使用范围造成了学生越来越缺少估算意识，估算的需求更谈不上了。就估算本身来说，大多数估算用整十整百数进行简单估计，计算容易。所谓估算难，难在一个选择过程、选择答案的过程。如果我们把它视作一种体验，能锻炼思维、进行验算、培养数感、培养观察力和直觉思维的体验过程，而进一步弱化估算的实际结果，估算则不难。更进一步说，把估算提到与精算同样的地位上，估算也将同精算一样成为家常便饭，估算则不难。
二、解决估算教学难的根本策略
1.估算，让学生抛掉模型。大多时候，学生不采用估算，是因为精算能解决问题，在这种情况下，学生就想不起来用估算。因此，教师采用的教学原型是学生前面从来没有接触过的，学生不能使用已知的模型，则需借助数学思想方法解决问题。这样的估算对学生来说意义更为深远。如教学实例：（1）一个不规则图形，已知每格为1平方厘米，请估计这个图形的面积。（2）估计圆面积的大小。在上例中，学生已经无原型可依，这时估算可采用什么方法呢？教师可从引导学生复习圆面积的推导过程入手。此时圆面积介于大正方形于小正方形的面积之间，而这两个正方形的面积又是学生可以求得的：S大正方形=2r×2r=4r2；S小正方形=r×r÷2×4=2r2。由此可以估计得到圆面积介于2r2和4r2之间。
再看这道题，不规则图形的面积同样学生没有可以参照的标准，但是也可以模仿推导的过程得到一个大致的范围。我们可以把不规则图形外面套上一个“合身”的长方形，内切一个长方形。此时，我们完全可以看到这个图形的面积大约在什么范围以内了。为了使结果更精确些，此时不妨可以设问：“如果想让结果更精确些，该怎么办？”因为在三角形学习中学生有方格图中移多补少经验的支撑，学生可以用移多补少的方法去解决问题，也可以用微分的方法对每个小正方形再平均分成若干份，看看不规则图形实际占了这样的几个小格，得到面积是多少。这样的学习情境不同于学生常见的估算，学生无法用已知的面积公式来解决问题，但是可以通过一个区间的确定，来让学生体会估算。特别是通过再分小格的方法，可以进一步让学生体会极限的思想。
2.估算，让学生有迹可循。课程标准指出：“（让学生）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”；还要“不失时机地培养学生的估计意识”。学生的估计随意性较大，这时如果教师能提供一定的参照标准，则会让估算有迹可寻，进而实现估值能比较接近准确结果，为生产生活服务。教学片断：师：这叠纸请你预测下张数。生1：100张。生2：500张。生3：1万张。师：（拿出另一叠纸放在第一叠纸的边上）这叠纸有100张。生4：我估计另一叠在250张左右。师：为什么？生5：因为从厚度上看，大概是前一叠纸的2.5倍左右。生5：我用小拇指比照了一下，第一叠纸的厚度大概是一个指甲长，第二叠大概是三个指甲那么长，所以我估计是在300张左右。教师适时地参与，提供参照标准，此时学生的估值就不会那么盲目，完全跳出了乱猜的怪圈，变得有理有据，猜测的轨迹变得清晰，对学生的思维更具有指导意义。《面积单位》教学片断：师：老师这里有一张纸片，你能估计下这张纸片的大小吗？生1：大概50平方厘米吧。生2：大概80平方厘米吧。生3：大概72平方厘米。师：别人的估值都是整十数，为什么你的估值还有个尾数呢？生3：我是这样想的，我估计了下，这个长方形纸片长大概是9厘米，这样长边上可以放9个1平方厘米的正方形纸片；宽大概是8厘米，这样宽边上可以放8个1平方厘米的纸片。相当于每行9个，摆了8行，这个长方形纸片可以放72个1平方厘米的纸片。所以我估计这个纸片大概是72平方厘米。经常进行这样的估算练习，有助于在头脑中树立面积单位的表象，使学生形成对数、问题及结果的直觉素质。
3.估算，让学生有法可依。虽然估算方法多变且灵活，存在估算结果各异的情况，但是估算方法并非毫无规律。除了常见的四舍五入和凑整法外，较常用的还有以下几种：
（1）根据商的位数估算。例如：4305÷41=105，根据判断，商的最高位在百位上，应该是一个三位数，因此可判断如果商是“15”是错误的。
（2）数位估算法。学生需关注算式、图形或者解决问题中具体数据的特点，从数位上判断得出结论。①首位估算法。如2895÷5商最高位是“5”，不然结果就是错误的。②末位估算法。如34.8×5.7，积的末位应当是6，否则就错。另外还有位数估算法等。 （3）根据数量关系与意义估算。例如，一段路程，甲走完需要5小时，乙走完需要10小时。两人如果同时出发，相向而行，则几小时相遇？根据学生已有经验，相当于甲乙共同完成一件工作，因此可以估计相遇时间应在5小时以内，这就不难判断出自己的得数是否正确了。又如在计算合格率、命中率和出勤率等问题时，计算结果超过100%也肯定是错的。
当然，由于学生对知识的理解水平及思维方式不同，相同的题有不同的估算方法。教师要引导学生针对不同的情境，采用不同的估算方法，同时充分交流，使学生体会到估算的实际意义。
4.估算，是到处可见的风景。在计算教学中，如：5.13×4.9要引导学生观察出这两个数都比较接近5，则乘积约是25，如果计算的结果和25相差较大，比如2.5137就可以断定计算错了。《百分数解决问题》教学片断：教师出示：小云家十月份用水12吨，比上个月节约25%，小云家上个月用水多少吨？你能估计下小云家上个月用水情况吗？生1：我觉得比上个月节约，那么上个月肯定要多于12吨。生2：我认为大概在20吨左右，节约它的四分之一差不多是5吨，比较接近12吨。生3：那么应该比20吨还要小一点，因为照它这么算，还是比12吨多，18吨差不多。生4：综合他们的观点，应该在12吨到18吨之间。师：说得真棒！这样的估算教学让学生在跃跃欲试中培养了数感，强化了对于百分数意义的认知，为学生验算提供了有力的帮助。《多边形面积》教学片断：师：观察图，你估计上图的面积大概是多少平方厘米？生1：（比画出中间的正方形）我觉得应该比正方形面积大，也就是16平方厘米。生2：（连接半圆的中心四个点）我觉得比这个正方形面积也要大一点。但是……（挠挠头）我求不出它的面积。生3：我觉得可以在外面画一个正方形，应该比这个正方形面积小一点。（师帮助画出外面的正方形）生齐：对对，就是比这个正方形面积小一点。生4：我算出来了，这个大正方形面积是64平方厘米。生5：我估计应该是16平方厘米和64平方厘米的平均数。……学生在一次次视觉冲击中明白了这个图形的面积的取值范围，丰富了图形的表象，具有了初步的科学探究的雏形。
三、估算教学的价值体现
1.增加估算教学是计算教学的应用价值决定的，是教材改革的趋势。以估算促计算，加强估算值与精确值的对比。估算要用计算，估算也可以促进计算。在计算教学中，教师可以引导学生自觉地运用估算，把估算的结果与精确计算的结果适时进行对比分析。如计算“1.95 3.29”，可以要求学生先进行估算，得出两种估算结果；一种是1.9 3.2=5.1；另一种是2.0 3.3=5.3。并引导学生根据估算的结果，分析精确计算的结果取值大概是5.1～5.3之间，这样就为计算的准确性创造了条件。
2.增加估算教学是培养数学素养决定的，将估算和统计有机整合的最有效手段。新课标中，统计与概率是一块重要的内容。概率既是一种估算，也有关于“可能性”的估计。在统计教学时，当学生完成了数据的收集与整理，并完成统计表、条形统计图后，可以让学生估计预测现在与未来的情况等。请你估计下芸芸第六分钟跑多少米？
学生的估算可以依据芸芸的体力情况，可以根据芸芸成绩的平均数，让学生体会到芸芸的成绩既能估计，又有很大的随机性。
参考文献：
[1]教育部.数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011.
[2]王永锋.小学估算教学的观察与思考[J].小学教学研究，2011，（16）.