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《打电话》一课是人教版《数学》五年级下册“综合与实践”板块的内容。这一内容包含的信息量大、承载的数学思想多、思维含量丰富。这些让教师教学时常茫然无措，课堂上容易出现思维无法深入，探究隔靴搔痒等状况，最后往往草草收兵。如何突破重重迷雾，让本课所承载的课程目标落地生根？笔者以优化思想为指引，对教材进行了审慎的分析，并加以创造性地使用。
一、情境创设“避虚就实”
教材上的情境设置为：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
这样的情境创设有什么问题呢？
1.“紧急演出”不够急。通知15人，最少需要4分钟，最多需要15分钟。演出是否已经紧急到需要节省这11分钟？对于演出而言，这样的“紧急”，在现实中基本不存在。也就是说，这里节省时间的必要性只是人为设置的，学生是否认可？
2.信息保真需思考。要节省时间，需要接到通知的学生接着通知下一个学生。但即使是五年级的学生，也很难做到将听到的信息完整、准确地进行转述。“如果我少说了，或者说错了怎么办？”学生往往会产生这样的疑虑。这种疑虑会直接对探究产生不利影响。
3.通知方式可选择？在当下的信息社会，人们之间的联系方式已经有多种，例如QQ、微信、邮件等等。特别是作为合唱队，一般地都有了自己的“群”，来实现通联。既然事情已经很紧急，为何还要“如果用打电话的方式”？这样的表述，是否会导致课堂上学生展开对通知方式的讨论？
4.人数众多是必需？情境中，需要通知15人。实际上，如通知的人数减少为7人，更为合适。因为凡是通知15人的方案设计中学生会遇到的困难，设计通知7人的方案过程中同样会遇到。然而通知15人的方案设计或者演示操作需要更多时间。
综合这些思考，在教学中，笔者重新设计了教学情境：
师：上个星期天，学校里有事情需要通知一些老师到学校里来完成。校长说，你和刘老师打电话通知他们到学校来。每人通知7位老师，通知一位老师需要1分钟。我和刘老师拿起电话准备通知。这时刘老师说，我们来比赛吧，谁用的时间少，谁就获胜。从刚才老师的介绍当中，你知道了哪些信息呀？
这样的情境创设尽量避免了非数学因素的干扰：直接提出打电话通知，规避学生对通知方式（邮件、短信、广播）的讨论；借助学生对教师传递信息可靠性的信任，规避学生对信息传递中的保真度的怀疑；同时借助比赛的形式，引导学生感受节省时间的必要性。
二、数学表达简洁规范
“打电话”对于学生来说并不陌生。如何让自己的想法别人一听就懂，如何让设计的方案所有的学生都能一看就明，这需要教师对学生的语言表达与图示表达进行引导。
1.“逐一打”，价值何在？
五年级的学生，对打电话有着丰富的生活经验。逐一打，与生活中的打电话并无二致，这种方案无疑是最费时间的。可以说，当本课的情境出示完毕，学生在脑海中就能将这种打电话的方案淘汰掉。既然如此，这种方案还需要教学吗？笔者认为，逐一打的教学是非常必要的。当然，教学的侧重点应放在引导学生进行语言交流、图示表达以及时间计算上。
【教学片断1】“逐一打”——建立表达范式
师：我想，打电话还不容易吗？很简单的事呀。我第1分钟打给第1位老师，第2分钟打给第2位老师……第7分钟？（同步动画图示）这不就行了吗？哪位同学有话说？
生：你用的时间太长了。这样打电话，您一定会输给刘老师。
师：这样打电话一共需要几分钟？
……
如此，通过教师示范，潜移默化地引导学生建立“第×分钟，由×打给×”这样的语言表达范式。同时，通过动画呈现，将这种打电话的过程用图示表达出来（可以将教材中的图稍作修改。例如用编号表示需要通知的人，用连线表示“谁打给谁”，用线上标的数字表示通知的时间是第几分钟）。由于打电话的过程经过规范的语言表达与图示表达，时间的计算也就变得简单。
2.整理方案，规范图示。
教材中呈现的最节省时间的打电话方案如下图。
在这幅图中，用不同颜色的圆片表示不同时间通知的队员，用线上的数表示第几分钟。但是在教学中，这样呈现，还是不够优化。例如被通知的队员没有编号，在交流时语言不好描述“由×通知×”。再如同一分钟接到通知的队员虽然用相同的颜色标示出来了，但是在图中的位置却“错落有致”，不利于学生观察。如改为下图，不仅保留教材原图中以不同的颜色区分不同时间通知的对象，以连线表示通知的过程，以数字表示通知的时间等，还将同一分钟接到通知的队员并列排在一起，让学生一目了然地观察同一分钟接到通知的人数，这样在教学中能更好地提高教学效率。
三、方案优化紧扣标准
学生在经历“逐一打”之后，自然会想到“分组打”。但是如何分组呢？15人分组，情况繁多。即使将通知的人数减少为7人，分组的情况还是很多。
教材通过一个学生之口，提示思考“是不是分的组越多用的时间越少”。那么是否有必要研究每一种分组并比较所需时间的多少，然后探寻节省时间的路径呢？笔者认为，这恰恰走入了教学的误区。一是因为课堂时间终究有限，如此探索，时间不够用；二来众多分组情况逐一比较，眼花缭乱之下，并不利于学生对节省时间规律的探索。本课教学需要引导学生设计方案，然后對方案进行修改优化，最后找到最优方案。因此，优化思想才是本课教学的“暗线”，对优化标准的探索、完善、反思与应用才是教学的重心。
【教学片断2】“同时打”——开启优化之门
学生同桌合作设计打电话方案。完成后，教师引导学生展开交流。
师：请你解释一下是怎样打电话的？按照他的方案，需要几分钟完成通知？刚才明明需要7分钟，现在只要5分鐘，还有2分钟哪去了？ 生：因为在第2分钟的时候，您在打电话给②号，①号在打给④号。还有您在打给③号的时候，②号也在打给⑤号。
师：也就是说我和其他老师在同时打电话。同时打电话就能够怎么样？
生：节省时间。
本环节，通过提问“还有2分钟哪去了”引导学生思考时间节省下来的原因，得出“同时打可以节省时间”的规律。
【教学片断3】“不空闲”——反思优化进程
师：同时打电话就能节省时间，这个方案挺好的，只要5分钟。那我们就用这个方案吧！
生：我认为只需要4分钟就能完成。在第3分钟的时候，还有①号老师可以同时打电话。（修改方案如下图。）
师：又省下时间来啦，为什么又节省了1分钟？
生：因为多了①号老师同时打。
师：同时打，不空闲，时间就用得很少。
生：我还有意见。我觉得应该只用3分钟。因为第3分钟的时候， ④号可以给⑦号。
师：他讲的你们明白吗？只用了3分钟，为什么又少了1分钟？
生：因为在第3分钟的时候，有4位老师在同时打电话。
这一环节中，学生借助“同时打”，将方案从5分钟优化为4分钟。借助“不空闲”，将方案又从4分钟优化成3分钟，完整地展现了优化的过程与思维发展的进程。这样的课堂生成让我听到了思维拔节的声音，兴奋、开心。
【教学片断4】“有空闲”——升华优化认识
师：如果要通知8位老师，那需要几分钟？就加了1位老师，要多整整1分钟吗？
生1：因为其他老师都在打电话，都没閑着。
生2：因为他们都没有空闲了。现在7位老师都打完了，还剩下1位老师，所以还要用1分钟。
生3：通知一位老师要1分钟，（指着8号卡片）所以这1分钟少不了，哪怕只多了1位老师。
师：那谁给他打呢？这个时候有几位老师闲着？
生4：8位老师都可以。有7位老师闲着，闲着也没办法。
这一环节的教学，借助增加一位老师，制造了认知冲突。学生从中认识到，在最后一分钟，即使“有空闲”，也是最省时间的方案，形成对“不空闲”这一标准的全面认识；同时初步体会到在一个时间段内，能通知的人数是一个“区间数”。
（作者单位：安徽省太湖县新城第二小學）
一、情境创设“避虚就实”
教材上的情境设置为：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
这样的情境创设有什么问题呢？
1.“紧急演出”不够急。通知15人，最少需要4分钟，最多需要15分钟。演出是否已经紧急到需要节省这11分钟？对于演出而言，这样的“紧急”，在现实中基本不存在。也就是说，这里节省时间的必要性只是人为设置的，学生是否认可？
2.信息保真需思考。要节省时间，需要接到通知的学生接着通知下一个学生。但即使是五年级的学生，也很难做到将听到的信息完整、准确地进行转述。“如果我少说了，或者说错了怎么办？”学生往往会产生这样的疑虑。这种疑虑会直接对探究产生不利影响。
3.通知方式可选择？在当下的信息社会，人们之间的联系方式已经有多种，例如QQ、微信、邮件等等。特别是作为合唱队，一般地都有了自己的“群”，来实现通联。既然事情已经很紧急，为何还要“如果用打电话的方式”？这样的表述，是否会导致课堂上学生展开对通知方式的讨论？
4.人数众多是必需？情境中，需要通知15人。实际上，如通知的人数减少为7人，更为合适。因为凡是通知15人的方案设计中学生会遇到的困难，设计通知7人的方案过程中同样会遇到。然而通知15人的方案设计或者演示操作需要更多时间。
综合这些思考，在教学中，笔者重新设计了教学情境：
师：上个星期天，学校里有事情需要通知一些老师到学校里来完成。校长说，你和刘老师打电话通知他们到学校来。每人通知7位老师，通知一位老师需要1分钟。我和刘老师拿起电话准备通知。这时刘老师说，我们来比赛吧，谁用的时间少，谁就获胜。从刚才老师的介绍当中，你知道了哪些信息呀？
这样的情境创设尽量避免了非数学因素的干扰：直接提出打电话通知，规避学生对通知方式（邮件、短信、广播）的讨论；借助学生对教师传递信息可靠性的信任，规避学生对信息传递中的保真度的怀疑；同时借助比赛的形式，引导学生感受节省时间的必要性。
二、数学表达简洁规范
“打电话”对于学生来说并不陌生。如何让自己的想法别人一听就懂，如何让设计的方案所有的学生都能一看就明，这需要教师对学生的语言表达与图示表达进行引导。
1.“逐一打”，价值何在？
五年级的学生，对打电话有着丰富的生活经验。逐一打，与生活中的打电话并无二致，这种方案无疑是最费时间的。可以说，当本课的情境出示完毕，学生在脑海中就能将这种打电话的方案淘汰掉。既然如此，这种方案还需要教学吗？笔者认为，逐一打的教学是非常必要的。当然，教学的侧重点应放在引导学生进行语言交流、图示表达以及时间计算上。
【教学片断1】“逐一打”——建立表达范式
师：我想，打电话还不容易吗？很简单的事呀。我第1分钟打给第1位老师，第2分钟打给第2位老师……第7分钟？（同步动画图示）这不就行了吗？哪位同学有话说？
生：你用的时间太长了。这样打电话，您一定会输给刘老师。
师：这样打电话一共需要几分钟？
……
如此，通过教师示范，潜移默化地引导学生建立“第×分钟，由×打给×”这样的语言表达范式。同时，通过动画呈现，将这种打电话的过程用图示表达出来（可以将教材中的图稍作修改。例如用编号表示需要通知的人，用连线表示“谁打给谁”，用线上标的数字表示通知的时间是第几分钟）。由于打电话的过程经过规范的语言表达与图示表达，时间的计算也就变得简单。
2.整理方案，规范图示。
教材中呈现的最节省时间的打电话方案如下图。
在这幅图中，用不同颜色的圆片表示不同时间通知的队员，用线上的数表示第几分钟。但是在教学中，这样呈现，还是不够优化。例如被通知的队员没有编号，在交流时语言不好描述“由×通知×”。再如同一分钟接到通知的队员虽然用相同的颜色标示出来了，但是在图中的位置却“错落有致”，不利于学生观察。如改为下图，不仅保留教材原图中以不同的颜色区分不同时间通知的对象，以连线表示通知的过程，以数字表示通知的时间等，还将同一分钟接到通知的队员并列排在一起，让学生一目了然地观察同一分钟接到通知的人数，这样在教学中能更好地提高教学效率。
三、方案优化紧扣标准
学生在经历“逐一打”之后，自然会想到“分组打”。但是如何分组呢？15人分组，情况繁多。即使将通知的人数减少为7人，分组的情况还是很多。
教材通过一个学生之口，提示思考“是不是分的组越多用的时间越少”。那么是否有必要研究每一种分组并比较所需时间的多少，然后探寻节省时间的路径呢？笔者认为，这恰恰走入了教学的误区。一是因为课堂时间终究有限，如此探索，时间不够用；二来众多分组情况逐一比较，眼花缭乱之下，并不利于学生对节省时间规律的探索。本课教学需要引导学生设计方案，然后對方案进行修改优化，最后找到最优方案。因此，优化思想才是本课教学的“暗线”，对优化标准的探索、完善、反思与应用才是教学的重心。
【教学片断2】“同时打”——开启优化之门
学生同桌合作设计打电话方案。完成后，教师引导学生展开交流。
师：请你解释一下是怎样打电话的？按照他的方案，需要几分钟完成通知？刚才明明需要7分钟，现在只要5分鐘，还有2分钟哪去了？ 生：因为在第2分钟的时候，您在打电话给②号，①号在打给④号。还有您在打给③号的时候，②号也在打给⑤号。
师：也就是说我和其他老师在同时打电话。同时打电话就能够怎么样？
生：节省时间。
本环节，通过提问“还有2分钟哪去了”引导学生思考时间节省下来的原因，得出“同时打可以节省时间”的规律。
【教学片断3】“不空闲”——反思优化进程
师：同时打电话就能节省时间，这个方案挺好的，只要5分钟。那我们就用这个方案吧！
生：我认为只需要4分钟就能完成。在第3分钟的时候，还有①号老师可以同时打电话。（修改方案如下图。）
师：又省下时间来啦，为什么又节省了1分钟？
生：因为多了①号老师同时打。
师：同时打，不空闲，时间就用得很少。
生：我还有意见。我觉得应该只用3分钟。因为第3分钟的时候， ④号可以给⑦号。
师：他讲的你们明白吗？只用了3分钟，为什么又少了1分钟？
生：因为在第3分钟的时候，有4位老师在同时打电话。
这一环节中，学生借助“同时打”，将方案从5分钟优化为4分钟。借助“不空闲”，将方案又从4分钟优化成3分钟，完整地展现了优化的过程与思维发展的进程。这样的课堂生成让我听到了思维拔节的声音，兴奋、开心。
【教学片断4】“有空闲”——升华优化认识
师：如果要通知8位老师，那需要几分钟？就加了1位老师，要多整整1分钟吗？
生1：因为其他老师都在打电话，都没閑着。
生2：因为他们都没有空闲了。现在7位老师都打完了，还剩下1位老师，所以还要用1分钟。
生3：通知一位老师要1分钟，（指着8号卡片）所以这1分钟少不了，哪怕只多了1位老师。
师：那谁给他打呢？这个时候有几位老师闲着？
生4：8位老师都可以。有7位老师闲着，闲着也没办法。
这一环节的教学，借助增加一位老师，制造了认知冲突。学生从中认识到，在最后一分钟，即使“有空闲”，也是最省时间的方案，形成对“不空闲”这一标准的全面认识；同时初步体会到在一个时间段内，能通知的人数是一个“区间数”。
（作者单位：安徽省太湖县新城第二小學）