论文部分内容阅读
摘 要： 作者根据多年的教学实践经验，就教学方法与讲课技巧进行探讨并谈谈体会，旨在为高等代数教学提供新的方法与思路。
关键词： 高等代数 代数思想方法 教学过程
高等代数作为数学专业的一门重要基础课，其主要内容为代数的基本知识与基本理论，目的是培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力。学生在数学系的基础课程中，对高等代数的学习是比较困难的。其原因一方面在于这门课本身很抽象，另一方面是这门课在大一开设，而学生的学习习惯、思维方式还是中学期间固有的方式，所以面对高等代数内容的高度抽象性，学生在学习方法、思维方式上存在诸多不适应，因此教学方法与技巧是很重要的。教师应努力钻研教法，注重数学思想、数学方法的渗透，引导学生尽快适应高等代数的学习，逐步培养他们的抽象思维及逻辑推理能力。
一、介绍代数学的基本思想，优化教学效果，达到教学目的。
在高等代数教学中，注重介绍代数学的基本思想方法。数学方法有技巧性的数学方法，有逻辑性的数学方法，还有宏观性的数学方法，本文主要讨论的是这种宏观性的方法。这种方法是影响代数学发展的全局性方法，主要包括公理化方法、结构化方法等，简单介绍如下：公理化方法：高等代数从数、多项式、矩阵、几何向量、函数等具体的数学对象中，抽象出它们关于各自加法和数乘共同满足的八条运算律，把八条运算律作为公理给出线性空间的定义，从而线性空间这一概念就不是一个任何具体形式的数学对象，而是满足八条公理的抽象的代数系统，再由线性空间的定义以八条公理为唯一的依据，推出线性空间的其他性质和定理，由于公理系统是一个逻辑演绎系统，因此对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有其重要意义。线性空间是学生遇到的第一个公理化的定义，在这之后，高等代数中的线性变换、欧氏空间、双线性变换等概念都是用公理化的方法引进的。结构化方法：结构思想方法是在集合论的基础上从数学的整个全局出发，把数学看成一个大系统，在当代数学思想理论的指导下，利用现代形式的公理方法，对整个数学依其结构的特征做了重新整理，从宏观上使其系统化和条理化。由此可见，结构思想方法的提出，把公理化方法推向更高的阶段，从而为数学方法论揭开了新的一页，高等代数在线性空间“欧氏空间”等章节中都用到结构化方法。所谓高等代数中的结构化方法是，依据代数系统的公理、研究系统中元素之间的关系、系统的生成方法、系统和子系统的关系、系统的分类等。例如：在线性空间一章中，除了从公理出发研究加法与数乘的运算性质外，还借助由加法和数乘两种运算确定的线性相关性研究向量之间的关系，向量组之间的关系，线性空间的生成，基和维数；研究子空间及其交、并、和与直和，最后引入同构映射，介绍向量空间的比较办法和按维数分类办法。
二、对课程作适当调整，强化教学效果。
近世代数作为高等代数的后继课是由历史演变形成的，不是由课程的难易程度决定的，事实上，高等代数中许多内容并不比近世代数容易，比如，群、环、域是抽象的代数体系，线性空间也是抽象的代数体系，而且它是特殊的模；从授课内容上看，近世代数只讲到一些群、环、域的基本概念、基本性质、子体系、商体系，而高等代数中讲到线性空间时所研究的内容深入得多，比如线性空间的分解、线性变换的标准形等理论。而从方法论的角度看，任何数学知识中都包含一定的数学方法，在获得知识的同时，必然会接触数学方法。从学生认识的角度看，认识规律为从易到难，从简到繁。综合上述理由，设想对高代的课程安排，可进行适当调整，把近世代数中讲到的基本概念和群、环、域的基本知识安排在线性空间、线性变换等内容的前面，用公理化思想方法进行统一的组织安排，系统地介绍代数学的基本思想方法，然后用统一的代数学思想方法讲授高等代数中的线性空间等抽象的代数系统，才能真正理解高等代数中的线性空间等抽象的内容。
三、补充典型例题，提倡一题多解。
基本概念的理解、吃透、基本理论的掌握及应用都可通过做题实现。为此，教师可选择一些有代表性的，典型的综合试题作为例题介绍给学生，最好是一题多解。每道数学题总含有一些数学概念，解题过程就是深入理解有关基本概念和基本定理，运用一些基本方法，从已知推向未知的过程。因此，讲解时应注意讲清解题的思路、想法、把自己的分析过程也一并讲给学生听。解题之后，再有意识地对例题进行剖析，如这个题包含哪些概念，运用哪些基本定理或公式，有没有其他解法，应注意哪些问题。这样做不但能加深对原题的印象，对巩固概念、定理和基本方法也是很有帮助的。一题多解，还可使学生从不同角度认识一个问题，对学生开阔思路，掌握更多解题技巧，逐步提高解题能力等都有好处。这种方式如果在一个单元结束后进行，则效果更为显著。
四、教学中应加强代数思想方法的渗透与培养。
高等代数内容中体现了很多数学思想方法。如利用等价关系进行分类的思想方法，同构的观点和方法，化标准形的方法，构造性证明，以及存在性证明的思想方法。这些数学思想方法要在教学中有意识地加以渗透，提醒学生注意整理、比较，做到潜移默化，使学生逐步理解这些思想方法并会加以应用。如利用等价关系进行分类的思想方法在高等代数中反复出现，矩阵在初等变换下的等价关系，在合同变化下的合同关系，在相似变化下的相似关系都是等价关系。利用合同关系还可对复数域及实数域上的二次型进行分类。又如同构的观点和方法，它是代数学中一种重要的思想方法。在高等代数中多次出现，一般数域p上的n维向量空间v与p同构，从而把一般n维向量空间向量间的线性关系问题转化为讨论p中n维向量的线性关系。这种抓住特例推广到一般的方法，以及把复杂问题转化为简单问题的方法是代数以致整个数学的基本思想和方法之一。数域p上n维向量空间V的所有线性变换所成集合L（V）与p上全体n阶矩阵所成集合M（P）在给定基之下是同构的，这样线性变换与矩阵就可看做是同一事物的两种表现形式，在相关的讨论中二者可相互替代。
五、充分利用高等代数的特点，培养学生的数学能力。
传授知识与培养能力都是教学的目的。通过高等代数的学习，应培养学生如下的能力：计算能力、阅读教材能力、表达能力及抽象思维与逻辑思维能力。任何课程，都是以知识为载体，能力的获得与提高都是通过知识的获得实现的。但知识的传授并不等同于能力的培养，教师在讲课时的示范分析十分重要，如讲授定理时，教材上的定理证明不会写出为什么如此考虑之类的分析，那么教师就应有意识地剖析定理的内涵及外延。从已知条件、结论等方面做出具体分析，讲清证明思路，思考过程，让学生体会证明方法的核心思想，引导学生得到完整的论述和证明，以此培养学生的逻辑思维能力。总之，能力的培养不是一朝一夕的，只有在整个教学过程中一点一滴，循序渐进，才能水到渠成。
参考文献：
[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999（第4版）.
[2]曹锡皞.高等代数的教学与能力培养[J].数学通报，1993（9）：37-38.
[3]谭玉明.运用MM教育方式改进（高等代数）教学方法[J].滁州学院学报，2009，11（3）.
关键词： 高等代数 代数思想方法 教学过程
高等代数作为数学专业的一门重要基础课，其主要内容为代数的基本知识与基本理论，目的是培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力。学生在数学系的基础课程中，对高等代数的学习是比较困难的。其原因一方面在于这门课本身很抽象，另一方面是这门课在大一开设，而学生的学习习惯、思维方式还是中学期间固有的方式，所以面对高等代数内容的高度抽象性，学生在学习方法、思维方式上存在诸多不适应，因此教学方法与技巧是很重要的。教师应努力钻研教法，注重数学思想、数学方法的渗透，引导学生尽快适应高等代数的学习，逐步培养他们的抽象思维及逻辑推理能力。
一、介绍代数学的基本思想，优化教学效果，达到教学目的。
在高等代数教学中，注重介绍代数学的基本思想方法。数学方法有技巧性的数学方法，有逻辑性的数学方法，还有宏观性的数学方法，本文主要讨论的是这种宏观性的方法。这种方法是影响代数学发展的全局性方法，主要包括公理化方法、结构化方法等，简单介绍如下：公理化方法：高等代数从数、多项式、矩阵、几何向量、函数等具体的数学对象中，抽象出它们关于各自加法和数乘共同满足的八条运算律，把八条运算律作为公理给出线性空间的定义，从而线性空间这一概念就不是一个任何具体形式的数学对象，而是满足八条公理的抽象的代数系统，再由线性空间的定义以八条公理为唯一的依据，推出线性空间的其他性质和定理，由于公理系统是一个逻辑演绎系统，因此对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有其重要意义。线性空间是学生遇到的第一个公理化的定义，在这之后，高等代数中的线性变换、欧氏空间、双线性变换等概念都是用公理化的方法引进的。结构化方法：结构思想方法是在集合论的基础上从数学的整个全局出发，把数学看成一个大系统，在当代数学思想理论的指导下，利用现代形式的公理方法，对整个数学依其结构的特征做了重新整理，从宏观上使其系统化和条理化。由此可见，结构思想方法的提出，把公理化方法推向更高的阶段，从而为数学方法论揭开了新的一页，高等代数在线性空间“欧氏空间”等章节中都用到结构化方法。所谓高等代数中的结构化方法是，依据代数系统的公理、研究系统中元素之间的关系、系统的生成方法、系统和子系统的关系、系统的分类等。例如：在线性空间一章中，除了从公理出发研究加法与数乘的运算性质外，还借助由加法和数乘两种运算确定的线性相关性研究向量之间的关系，向量组之间的关系，线性空间的生成，基和维数；研究子空间及其交、并、和与直和，最后引入同构映射，介绍向量空间的比较办法和按维数分类办法。
二、对课程作适当调整，强化教学效果。
近世代数作为高等代数的后继课是由历史演变形成的，不是由课程的难易程度决定的，事实上，高等代数中许多内容并不比近世代数容易，比如，群、环、域是抽象的代数体系，线性空间也是抽象的代数体系，而且它是特殊的模；从授课内容上看，近世代数只讲到一些群、环、域的基本概念、基本性质、子体系、商体系，而高等代数中讲到线性空间时所研究的内容深入得多，比如线性空间的分解、线性变换的标准形等理论。而从方法论的角度看，任何数学知识中都包含一定的数学方法，在获得知识的同时，必然会接触数学方法。从学生认识的角度看，认识规律为从易到难，从简到繁。综合上述理由，设想对高代的课程安排，可进行适当调整，把近世代数中讲到的基本概念和群、环、域的基本知识安排在线性空间、线性变换等内容的前面，用公理化思想方法进行统一的组织安排，系统地介绍代数学的基本思想方法，然后用统一的代数学思想方法讲授高等代数中的线性空间等抽象的代数系统，才能真正理解高等代数中的线性空间等抽象的内容。
三、补充典型例题，提倡一题多解。
基本概念的理解、吃透、基本理论的掌握及应用都可通过做题实现。为此，教师可选择一些有代表性的，典型的综合试题作为例题介绍给学生，最好是一题多解。每道数学题总含有一些数学概念，解题过程就是深入理解有关基本概念和基本定理，运用一些基本方法，从已知推向未知的过程。因此，讲解时应注意讲清解题的思路、想法、把自己的分析过程也一并讲给学生听。解题之后，再有意识地对例题进行剖析，如这个题包含哪些概念，运用哪些基本定理或公式，有没有其他解法，应注意哪些问题。这样做不但能加深对原题的印象，对巩固概念、定理和基本方法也是很有帮助的。一题多解，还可使学生从不同角度认识一个问题，对学生开阔思路，掌握更多解题技巧，逐步提高解题能力等都有好处。这种方式如果在一个单元结束后进行，则效果更为显著。
四、教学中应加强代数思想方法的渗透与培养。
高等代数内容中体现了很多数学思想方法。如利用等价关系进行分类的思想方法，同构的观点和方法，化标准形的方法，构造性证明，以及存在性证明的思想方法。这些数学思想方法要在教学中有意识地加以渗透，提醒学生注意整理、比较，做到潜移默化，使学生逐步理解这些思想方法并会加以应用。如利用等价关系进行分类的思想方法在高等代数中反复出现，矩阵在初等变换下的等价关系，在合同变化下的合同关系，在相似变化下的相似关系都是等价关系。利用合同关系还可对复数域及实数域上的二次型进行分类。又如同构的观点和方法，它是代数学中一种重要的思想方法。在高等代数中多次出现，一般数域p上的n维向量空间v与p同构，从而把一般n维向量空间向量间的线性关系问题转化为讨论p中n维向量的线性关系。这种抓住特例推广到一般的方法，以及把复杂问题转化为简单问题的方法是代数以致整个数学的基本思想和方法之一。数域p上n维向量空间V的所有线性变换所成集合L（V）与p上全体n阶矩阵所成集合M（P）在给定基之下是同构的，这样线性变换与矩阵就可看做是同一事物的两种表现形式，在相关的讨论中二者可相互替代。
五、充分利用高等代数的特点，培养学生的数学能力。
传授知识与培养能力都是教学的目的。通过高等代数的学习，应培养学生如下的能力：计算能力、阅读教材能力、表达能力及抽象思维与逻辑思维能力。任何课程，都是以知识为载体，能力的获得与提高都是通过知识的获得实现的。但知识的传授并不等同于能力的培养，教师在讲课时的示范分析十分重要，如讲授定理时，教材上的定理证明不会写出为什么如此考虑之类的分析，那么教师就应有意识地剖析定理的内涵及外延。从已知条件、结论等方面做出具体分析，讲清证明思路，思考过程，让学生体会证明方法的核心思想，引导学生得到完整的论述和证明，以此培养学生的逻辑思维能力。总之，能力的培养不是一朝一夕的，只有在整个教学过程中一点一滴，循序渐进，才能水到渠成。
参考文献：
[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999（第4版）.
[2]曹锡皞.高等代数的教学与能力培养[J].数学通报，1993（9）：37-38.
[3]谭玉明.运用MM教育方式改进（高等代数）教学方法[J].滁州学院学报，2009，11（3）.