在初中平面几何的学习中，我们知道“两组对边分别相等，或者两组对角分别相等的四边形是平行四边形”. 类似的，我们经常也会碰到这样一道判断题：“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗”? 我们知道，这是一道假命题. 为什么呢?通过研究发现，这样的四边形不一定是平行四边形. 试讨论如下.
　　具体地，该命题可转化为以下这样一个问题：
　　已知：线段a，角α.
　　求作四边形，使该四边形满足一组对边相等为a，一组对角相等为α的条件.
　　我们再以具体的图形实例来研究：
　　如图1，令线段BA=a，∠OBA=α，取线段OB(可变)为适当长，设OB=b. 在平面内构造四边形OPAB，使该四边形满足OP=a，∠OPA=α.
　　分析 1.要构造四边形OPAB，现在已经知道O、A、B三个顶点，只要求作另外一个顶点P的位置即可.
　　2.在平面内，要满足四边形对角、对边分别相等，所以，P点和B点一定位于直线OA的两侧，且P点不能在BO或BA直线上(否则，O、P、A、B四点组成的图形是三角形).
　　3.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角、对边分别相等. 所以，如果在OA的另一侧找到一点P0，作出平行四边形OP0AB，则该四边形一定满足条件. 只要过O点作直线L1、过A点作直线L2分别平行于直线BA和BO，直线L1 、L2的相交点即为 P0点.
　　现在的问题是：是否还存在另外的点(设为Pn，可能有n个)，构成的四边形OPnAB，也满足OPn=BA= a，∠OPnA=∠OBA=α呢?当然，Pn点和P0点一定要位于直线OA的同一侧，且Pn点也不能在BO、AB直线上.
　　4.以平行四边形OP0AB为参照图形. 若存在另外的点Pn构成的四边形OPnAB满足以上条件，则可得以下结论：①因为OPn= OP0=a，所以点Pn一定在以O为圆心，a为半径的⊙O上. ②因为∠OPnA=∠OP0A=α，且Pn点和P0点在直线OA的同一侧，根据四点共圆的判定性质，推知：点Pn 一定在过O、P0、A三点的⊙On(设该圆为⊙On)上.
　　作法 1.顺次作出平行四边形OP0AB；
　　2.以O为圆心，OP0为半径作出⊙O；
　　3.过O、P0、A三点作⊙On，⊙On交⊙O于点P0和Pn(假设有两个交点——不包括A点，且Pn点不在BO或BA直线上).
　　则：构成的四边形OP0AB和OPnAB为所求作的四边形(图2所示).
　　证明 略.
　　由以上可知：Pn点和P0点既在⊙On上，又在⊙O 上. 因为，两个不同的圆相交，其交点最多只有两个，所以满足条件的四边形最多也只有两个.
　　根据图形可知，在这样的两个四边形中，显然，四边形OP0AB是平行四边形. 而四边形OPnAB虽然满足一组对边相等为a、一组对角相等为α的条件，很明显，它不是平行四边形. 所以，“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一道假命题.
　　若OB再取适当长时(b的取值与a、α之间有关系)，一定有只能作出一种四边形的情况，且该四边形一定为平行四边形，因此，在特定的条件下，该命题可成立.
　　那么，两圆相交，在什么特定情况下，该命题可成立呢?通过作法讨论可知：此时，两圆相交的交点其中一点固定为P0点，另一点必须在特殊位置上，即在BO直线上，或在BA直线上(这两种情况，O、Pn、A、B四点组成的图形不是四边形而是等腰三角形)，或另一点就是A点，或两圆相内切于点P0. 证明略.
　　请有兴趣的同学自己作作看，并思考b应满足什么特定的条件(即b与a、α之间的关系，此时，另一点Pn的特殊位置满足以上四种情况之一)?这种四边形一定是平行四边形?
　　
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