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在解某些物理题的过程中，时常会遇到有关多少次、多少人、多少个等整数n的确定问题，现以下列例题来说明物理结果中整数n数值的确定类型和方法.
一、n为不确定的数值
例1如图1所示，实线为一列简谐横波在某时刻t的波形，虚线为时刻（t+Δt）的波形，波沿x轴传播且Δt=0.2s，求该波的波速多大？
解析由图1所示，该波波长
λ=4m.因为波沿x轴传播，而且具
有传播方向的双向性及振动的周期性，
所以应对它进行如下讨论：
若波沿x轴正方向传播，它在Δt时间内通过的距
离
Δx1=（n+34）λ=（4n+3）m，（n=0，1，2，…）
∴波速υ右=xt=（20n+15）m/s， （n=0，1，2，…）
若波沿x轴负方向传播，它在Δt时间内通过的距离
Δx2=（n+14）λ= （4n+1）m， （n=0，1，2，…）
∴波速υ左=xt=（20n+5）m/s， （n=0，1，2，…）
即该波波速的大小为（20n+15）m/s或（20n+5）m/s，其中n=0，1，2，….
由此可知：对于无条件限制且具有周期性的题目，所求结果中的n是整数且为不确定值.
二、n有确定的数值
在解题结果含有n且n为确定整数中，其结果中的整数为一个或几个，即解题结果有唯一解和多解两种情况：
1.n有唯一值
例2如图2所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的14光滑圆弧轨道，两轨道恰好相切，质量为M的小木块静止在O点，一质量为m（m=M9）的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内不穿出，木块恰好滑到圆弧的最高点C处（子弹、小木块均可看成质点）.求：当第n颗子弹射入小木块后，小木块沿
圆弧上升的最大高度为R4，则n值是多少？
图2解析对M、m，由动量守恒得：
mv0=（M+m）v1①
从B→C，由机械能守恒得：
12（M+m）v21=（M+m）gR
②
当小木块返回到O点时，它与开始时的动量大小相等、方向相反.由动量守恒得：当第2、4、6、…n（n为偶数）颗子弹射入小木块后，小木块的速度均为零，即在O点，小木块上升的高度为零，故只有第奇数颗子弹射入小木块后，小木块上升的高度不为零，由动量和能量守恒：
mv0=（M+nm）vn③
12（M+nm）v2n=（M+nm）gR4④
由题：m=M9⑤
由①～⑤解得：n=11，即n的值为11.
例3如图3所示，在光滑的水平面上，停放着一物块和载人小车，人与小车的质量为M，物块的质量为m，且M
∶m=16∶1，当人相对地以v0沿水平方向把物块向右推出，物块与墙壁相碰后又以同样的速率（相对地面）返回，若物块与墙发生正碰且碰时无能量损失，求该人经过多少次推物块后，再也推不到物块了？
解析
对M、m，选水平向右的方向为正，由动量守恒得：
推第一次，0=mv0-Mv1′①
推第二次，-mv0-Mv1′=mv0-Mv2′②
推第三次，-mv0-Mv2′=mv0-Mv3′
③
……
推第n次，-mv0-Mvn-1′=mv0-Mvn′
上述各式相加得：vn′=（2n-1）mv0M④
人推不到物块时满足vn′≥v0⑤
M∶m=16∶1⑥
由上式解得：n≥8.5，再根据题意可得出n=9，即该人经过9次推物块后，就会再也推不到物块了.
例4如图4所示，质量M=10 kg，上表面光滑足够长的木板在水平拉力F=50 N的作用下，以v0=5 m/s初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块（可视为质点），其质量均为m=1 kg，将一铁块无初速地在木板的最右端，当木板运动了L=1 m时，又无初速地放在木板的最右端放上第二个铁块，只要木板运动L，就在其最右端无初速地放一铁块，求：
最终有几个铁块能留在木板上？（g=10 m/s2）
解析
对M，由于匀速运动，所以F=μMg①
当第一个铁块放上后，木板开始做匀减速直线运动，对木板，由动能定理得：
放第一个铁块，-μmgL=12Mv21-12Mv20
放第二个铁块，-μ×2mgL=12Mv22-12Mv21
放第三个铁块，-μ×3mgL=12Mv23-12Mv22，……
放第n个铁块，-μnmgL=12Mv2n-12Mv2n-1
上述各式相加得：
（1+2+3+4…+n）μmgL=12Mv20-12Mvn
②
木块停下，vn=0③
由①、②、③解得：n=6.6，而n为整数，究竟n等于6还是等于7呢？这就要根据题意来确定，由于木块在放上铁块后，分别做不同的匀减速直线运动，故木块的速度越来越小，最终停下，木块开始的动能全部转化内能，故若n=6，即木块上最多有6个铁块，木块克服摩擦力做的功小于木块开始的动能，这样，木块将不会停下；若n=7，即木块上最多有7个铁块，木块克服摩擦力做的功大于木块开始的动能，这样，木块将会停下，并且当第7个铁块放上后，木板并没有运动一个完整的L而停止，故符合题中要求的n应等于7.
例5如图5所示，滑块A的质量为m=
0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第一个小球及相邻两小球间距均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3、….（图中只画了三个小球），开始时，滑块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，若不考虑滑块与小球碰撞时损失的机械能，碰后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动，L1<2m，小球刚好不接触地面，求：滑块能与几个小球相碰？ 解析物体A沿水平面向右做匀减速直线运动，与第一个小球相碰，由动量守恒得，两物体交换速度，
即物体A停下，第一个小球获得了相碰时的速度（设v01）
开始做圆周运动，再与A物体以相同的速度相碰，此时两物体又交换速度，A物体就以此速度v0沿水平面向右做匀减速直线运动，再与第二个小球发生碰撞，依次类推，直到物体A最后停下.设在此过程中，物体A运动了s距离，对A物体，由动能定理：
-μmgs=0-12mv20①
与小球相碰的个数n=sL②
由①、②解得：n=12.5，根据题意，A物体与第12个小球发生碰撞时，A物体已运动了12 m，它还能向右运动0.5 m，而0.5 m小于2 m，故A物体不能与第13个小球相碰，因此，此题中的n应等于12.
由此可知：对于n有唯一数值的结果，如果n恰好为整数不需分析；对于结果含有n不是整数的等式或不等式，应根据题中的条件来分析确定出某一个确定的数值.
2.n多个值
例6 （1996年全国高考题），如图6所示，一根紧张的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方.一列简谐横波沿绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰好为零，且向下运动，经过1.00 s后，a点的位移为零且向下运动，而b点的位移恰达到负极大，则这列简谐波的波速可能为（）.
A.14 m/s
B.10 m/s
C.6 m/s
D.4.67 m/s
解析由于波向右传播，可根据题意及波的周期性，利用“去整取零”的方法，即在a、b间做出不到 一个波长的波形，如图7所示，再利用微小平移法，便可确定出符合题意是图6中的波形②，由波的周期性得：（ n+34）λ=14.0，（n=0，1，2，…）；由题意并结合图7知：（k+14）T = 1.00，（k=0，1，2，…），所以波速υ=λT=14（4n+1）4k+3m/s，由此可知：当n=k=0时，则υ=4.67 m/s；当n=k=1时，则υ=10 m/s；当n=k=2时，则υ=11.45 m/s，…，由此可得到正确选项为B、D.
由此可知：对于有条件限制且含有整数n或k的题目，应对所求含有通式的结果进行讨论，从而找出符合题中要求的整数.本题中符合题中要求的整数n或k，均只能为0和1这两个数值.
总之，对于我们所求解含有整数n的结果，不论题中有无条件限制，都应结合题中的条件来分析、讨论，这样，就可避免漏解或多解等现象，从而最终保证所求结果的完整性和准确性.
（收稿日期：2015-03-26）
一、n为不确定的数值
例1如图1所示，实线为一列简谐横波在某时刻t的波形，虚线为时刻（t+Δt）的波形，波沿x轴传播且Δt=0.2s，求该波的波速多大？
解析由图1所示，该波波长
λ=4m.因为波沿x轴传播，而且具
有传播方向的双向性及振动的周期性，
所以应对它进行如下讨论：
若波沿x轴正方向传播，它在Δt时间内通过的距
离
Δx1=（n+34）λ=（4n+3）m，（n=0，1，2，…）
∴波速υ右=xt=（20n+15）m/s， （n=0，1，2，…）
若波沿x轴负方向传播，它在Δt时间内通过的距离
Δx2=（n+14）λ= （4n+1）m， （n=0，1，2，…）
∴波速υ左=xt=（20n+5）m/s， （n=0，1，2，…）
即该波波速的大小为（20n+15）m/s或（20n+5）m/s，其中n=0，1，2，….
由此可知：对于无条件限制且具有周期性的题目，所求结果中的n是整数且为不确定值.
二、n有确定的数值
在解题结果含有n且n为确定整数中，其结果中的整数为一个或几个，即解题结果有唯一解和多解两种情况：
1.n有唯一值
例2如图2所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的14光滑圆弧轨道，两轨道恰好相切，质量为M的小木块静止在O点，一质量为m（m=M9）的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内不穿出，木块恰好滑到圆弧的最高点C处（子弹、小木块均可看成质点）.求：当第n颗子弹射入小木块后，小木块沿
圆弧上升的最大高度为R4，则n值是多少？
图2解析对M、m，由动量守恒得：
mv0=（M+m）v1①
从B→C，由机械能守恒得：
12（M+m）v21=（M+m）gR
②
当小木块返回到O点时，它与开始时的动量大小相等、方向相反.由动量守恒得：当第2、4、6、…n（n为偶数）颗子弹射入小木块后，小木块的速度均为零，即在O点，小木块上升的高度为零，故只有第奇数颗子弹射入小木块后，小木块上升的高度不为零，由动量和能量守恒：
mv0=（M+nm）vn③
12（M+nm）v2n=（M+nm）gR4④
由题：m=M9⑤
由①～⑤解得：n=11，即n的值为11.
例3如图3所示，在光滑的水平面上，停放着一物块和载人小车，人与小车的质量为M，物块的质量为m，且M
∶m=16∶1，当人相对地以v0沿水平方向把物块向右推出，物块与墙壁相碰后又以同样的速率（相对地面）返回，若物块与墙发生正碰且碰时无能量损失，求该人经过多少次推物块后，再也推不到物块了？
解析
对M、m，选水平向右的方向为正，由动量守恒得：
推第一次，0=mv0-Mv1′①
推第二次，-mv0-Mv1′=mv0-Mv2′②
推第三次，-mv0-Mv2′=mv0-Mv3′
③
……
推第n次，-mv0-Mvn-1′=mv0-Mvn′
上述各式相加得：vn′=（2n-1）mv0M④
人推不到物块时满足vn′≥v0⑤
M∶m=16∶1⑥
由上式解得：n≥8.5，再根据题意可得出n=9，即该人经过9次推物块后，就会再也推不到物块了.
例4如图4所示，质量M=10 kg，上表面光滑足够长的木板在水平拉力F=50 N的作用下，以v0=5 m/s初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块（可视为质点），其质量均为m=1 kg，将一铁块无初速地在木板的最右端，当木板运动了L=1 m时，又无初速地放在木板的最右端放上第二个铁块，只要木板运动L，就在其最右端无初速地放一铁块，求：
最终有几个铁块能留在木板上？（g=10 m/s2）
解析
对M，由于匀速运动，所以F=μMg①
当第一个铁块放上后，木板开始做匀减速直线运动，对木板，由动能定理得：
放第一个铁块，-μmgL=12Mv21-12Mv20
放第二个铁块，-μ×2mgL=12Mv22-12Mv21
放第三个铁块，-μ×3mgL=12Mv23-12Mv22，……
放第n个铁块，-μnmgL=12Mv2n-12Mv2n-1
上述各式相加得：
（1+2+3+4…+n）μmgL=12Mv20-12Mvn
②
木块停下，vn=0③
由①、②、③解得：n=6.6，而n为整数，究竟n等于6还是等于7呢？这就要根据题意来确定，由于木块在放上铁块后，分别做不同的匀减速直线运动，故木块的速度越来越小，最终停下，木块开始的动能全部转化内能，故若n=6，即木块上最多有6个铁块，木块克服摩擦力做的功小于木块开始的动能，这样，木块将不会停下；若n=7，即木块上最多有7个铁块，木块克服摩擦力做的功大于木块开始的动能，这样，木块将会停下，并且当第7个铁块放上后，木板并没有运动一个完整的L而停止，故符合题中要求的n应等于7.
例5如图5所示，滑块A的质量为m=
0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第一个小球及相邻两小球间距均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3、….（图中只画了三个小球），开始时，滑块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，若不考虑滑块与小球碰撞时损失的机械能，碰后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动，L1<2m，小球刚好不接触地面，求：滑块能与几个小球相碰？ 解析物体A沿水平面向右做匀减速直线运动，与第一个小球相碰，由动量守恒得，两物体交换速度，
即物体A停下，第一个小球获得了相碰时的速度（设v01）
开始做圆周运动，再与A物体以相同的速度相碰，此时两物体又交换速度，A物体就以此速度v0沿水平面向右做匀减速直线运动，再与第二个小球发生碰撞，依次类推，直到物体A最后停下.设在此过程中，物体A运动了s距离，对A物体，由动能定理：
-μmgs=0-12mv20①
与小球相碰的个数n=sL②
由①、②解得：n=12.5，根据题意，A物体与第12个小球发生碰撞时，A物体已运动了12 m，它还能向右运动0.5 m，而0.5 m小于2 m，故A物体不能与第13个小球相碰，因此，此题中的n应等于12.
由此可知：对于n有唯一数值的结果，如果n恰好为整数不需分析；对于结果含有n不是整数的等式或不等式，应根据题中的条件来分析确定出某一个确定的数值.
2.n多个值
例6 （1996年全国高考题），如图6所示，一根紧张的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方.一列简谐横波沿绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰好为零，且向下运动，经过1.00 s后，a点的位移为零且向下运动，而b点的位移恰达到负极大，则这列简谐波的波速可能为（）.
A.14 m/s
B.10 m/s
C.6 m/s
D.4.67 m/s
解析由于波向右传播，可根据题意及波的周期性，利用“去整取零”的方法，即在a、b间做出不到 一个波长的波形，如图7所示，再利用微小平移法，便可确定出符合题意是图6中的波形②，由波的周期性得：（ n+34）λ=14.0，（n=0，1，2，…）；由题意并结合图7知：（k+14）T = 1.00，（k=0，1，2，…），所以波速υ=λT=14（4n+1）4k+3m/s，由此可知：当n=k=0时，则υ=4.67 m/s；当n=k=1时，则υ=10 m/s；当n=k=2时，则υ=11.45 m/s，…，由此可得到正确选项为B、D.
由此可知：对于有条件限制且含有整数n或k的题目，应对所求含有通式的结果进行讨论，从而找出符合题中要求的整数.本题中符合题中要求的整数n或k，均只能为0和1这两个数值.
总之，对于我们所求解含有整数n的结果，不论题中有无条件限制，都应结合题中的条件来分析、讨论，这样，就可避免漏解或多解等现象，从而最终保证所求结果的完整性和准确性.
（收稿日期：2015-03-26）