洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为。
　　数。”学生原有知识根深蒂固，而这种并不完善的知识结构带来的理解错位没有能够消除是导致这位学生出错的根本原因。
　　这次意外的发现让我产生了在平时的教学中让学生自己“说错”的想法，这是教师与学生交流的一种方式，让学生“说”对题目的理解，“说”自己的尝试过程，“说”自己的困惑与障碍，“说”自己的思维程序，通过这种交流，教师可以了解到学生出错的真正原因，帮助学生从根本上去除学习中形成的错误认知信息，重新建立新的认知结构，实现学习的一次飞跃。
　　二、因势利导，顺应错误
　　案例2：某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)。
　　○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
　　若将上面一组圆进行若干次复制得到一系列圆，那么前2005个圆中有________个空心圆。
　　错解：把一个空心圆和后面的实心圆看成一组，如下图：
　　○●●∥○●●●∥○●●●●∥○●●●●●∥○●●●●●●∥○…
　　每组圆的个数分别为3，4，5，6，…，则第ｎ组有（ｎ＋2）个圆，且每组中都只有一个空心圆。ｎ组共有第2005个圆在第61组，所以所以前2005个圆中共有61个空心圆。
　　听完这个同学的陈述过程，我真是惊叹，惊叹这位学生的思维是如此的深刻，过程是如此的深刻，过程是如此的清晰，回答是如此的完整。在这一同学回答的过程中，不时有其他几个同学点头赞许，有一些同学的思路如此完备的过程，答案却是错误的，问题在哪里呢？其实问题出在对题意的理解上，题目中“复制”两个字是解题的关键，错解是没有注意到“复制”二字，而当成是求按此规律排列的2005个圆中有多少个空心圆。
　　三、反思错误，提炼方法
　　案例3：已知矩形ABCD中，AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP,△APD,△CDP两两相似，则a,b之间的关系一定满足（）。
　　这道试题学生的得分率很低，考后与学生交流，多数学生不知道该如何入手来找寻a与b之间的关系。有部分学生想把相似作条件，得到比例式，但是BP和PC两边却不该如何表示（他们想用a、b的关系式来表示）。也有少数学生想到了建立方程的模型，设BP=x，则CP=a-x，然后由比例式得方程：x2-ax+b2=0,往下又不知该如何处理了。顺着这部分学生的思路，我和学生一起分析得到了方法一：
　　如图1，当∠APD＝90°时，△ABP，△APD，△CDP两两相似，此时设BP＝x，则CP＝a-x,∵△ABP∽△PCD,∴ax+b2=0必须有实根，∴△＝a2-4b2=(a+2b)(a-2b)≥0 ,∴a≥2b。
　　学生按照方法一进行了订正，但是这么多学生的建模思想如此薄弱，引起了我的重视，这道试题还可以建立几何模型来解。我决定引导学生进行订正之后的反思。有学生想到了如下方法：
　　如图2，当∠APD＝90°时，△ABP，△APD，△CDP两两相似，因为∠APD＝90°，所以点P在以AD为直径的⊙O上，而点P又要在BC上，则点P为⊙O与BC的公共点。所以，要使得BC上至少存在一点P，使△ABP，△APD，△CDP通过两种方法的分析比较，学生对建模思想有了初步的认识。
　　总有一些错误似乎已成了顽固性病症，久纠难改，令教师头疼。究其原因，其实是学生在被动态下“机械模仿”，缺失了自身体验、反思、感悟的过程，没有掌握有效的学习策略而形成的。因此，教师要善于引导学生通过对错误的反思，形成错误与正确思维的碰撞，促进学生对数学思想方法的领悟。 责任编辑杨博