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摘 要：函数是近现代数学科学的基石，是中学数学的核心内容。作为纽带，函数把中学数学中的代数各部分知识有效联系在一起，同时也为解析几何学习所需的数形结合思想奠定了基础。
关键词：函数；抽象；思维；策略
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）13-070-1
一、高中生陷入函数学习困境的原因
1.函数知识体系的复杂。函数概念包含两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数又包含：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。同时函数还涉及到很多的子概念，如映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。这些构成了函数的复杂知识体系。
2.“变量”概念的复杂性和辩证性。“变量”是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关联，但在数学中对时、空是没有界定的。另外，数学中的“变量”是变化的、不确定的，而数学中的变量则包括常量，是确定的。由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=3中，Y的值不会随X的变化而变化，它不是函数”。函数概念中变量的意义具有一般性，它可以是数、点、有形之物，甚至也可以是无形的。在教学实践中，教师往往没有把“变量概念的理解”作为教学难点，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词，而没有关注学生是否真正理解了变量的内涵。如果不能够理解好变量的概念，必会影响学生对函数概念的理解。
3.函数的表征形式丰富多样。函数主要的七种表征类型有：①解析式；②图像式；③表格式；④集合箭图式；⑤函数机器式；⑥序偶式；⑦通俗语言式。这七种类型还有很多变式，在解题过程中，要求学生在这几种类型间能灵活地转换，需要把抽象思维和形象思维结合起来，这对高中生而言，无疑是一种思维上的挑战。
4.函数符号的抽象性。函数概念的符号化是函数学习的难点，y=f(x)表示了一种即是广义的又是特殊的对应关系。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数。这种含义，学生仅从字母表面是很难理解的。另外，学生也很难通过“x”或者“y”在头脑中形成定义域，值域的概念。“f”的抽象性和隐蔽性，对学生的思维能力提出了新的高水平的要求，这也大大增加了函数学习的难度。
5.学生的思维发展。初中生以形式逻辑思维水平为主；刚进入高中学习的学生，思维刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象思考，但仍然无法上升到辩证思维阶段。这是认知发展的阶段性客观特点，这一特点限制了学生对于抽象的函数概念的理解和把握，导致在学习函数时，对函数对应变化的相依关系无法理解，进而成为高中函数学习的软肋。
二、促进函数学习的几点策略
1.着眼大局，注重早期渗透。像函数这种的核心概念，它的学习需要学生对一些相关内容有初步的认知和理解，比如：数学符号、变量的认识、变量的认识、变量间的制约关系等。因此在教学中，虽然不属于函数教学的内容，但教师应着眼于整个数学课程，有意识地逐步渗透给学生一些关于函数的视角和想法。比如：引导学生比较二元一次方程的区别。设计系列问题引导学生思考，获得变量的认识。
2.循序渐进，注意适时适度。教学中应避免急于求成，否则不仅不能帮助学生理解函数符号，反而会干扰学生起初建立起的初步认识。应着眼于整个数学课程，逐层深入，甚至于还需要循环递进。函数知识体系虽复杂，但是它们之间环环相扣，有很强的逻辑联系，例如函数单调性，函数奇偶性都是有助于函数结构属性的认识的。函数学习的早期尤其要注意循序渐进，使学生把函数的基础知识掌握好。若妄图“一口吃成个胖子”，就会像一座基石不稳的大厦，面临倒塌的危险。
3.促进概念的理解。首先，好的问题解决过程，能有效地促进学生对概念的理解，数学的学习很大程度上是在做题的过程中得以完成的。在讲解解题过程的时候，要注意渗透到函数概念的理解，淡化解题程序，这不仅有助于学生弄懂函数的基本概念，更有助于学生形成函数概念与问题解决策略之间的关联。其次，是知识网络图的建立。通过建立数学概念的知识网络图，便于学生在旧的概念基础上接受新的概念，形成新旧知识的整合，不仅有利于记忆，也利于知识的应用。
4.强调函数各种表现形式间的转化。学生通过函数表示的学习，已经知道了函数有多种表现形式，但并不意味着他们能够顺利实现各种形式之间的有效联系，快速的转化。一提到函数，在学生头脑中更多的反映出的是解析式，而不是同时反映出多种表现形式，能够从中选择最适合的形式解决问题。在研究具体函数时，教师要注意训练学生使用多种形式表现同一个函数，并鼓励学生讨论哪一种表现形式最利于问题的解决，尤其是在日常联系中，教师要注意培养学生数形结合的思想。
5.在相关内容中，提升对函数的认识，升华对函数的理解。函数的教学不能仅停留于函数这一章，而应着眼于整个数学课程，去落实函数的理解。比如：在“一元二次不等式求解”教学中，可以树立函数的观点去看待不等式求解，掌握函数与不等式的联系，明确函数图象相对于x轴的位置与不等式解集的关系；在解析几何学习中，理清函数解析式与曲线方程、函数图象与方程的曲线的联系与区别；在涉及“范围、最值”的数学问题求解中，树立函数的思想，寻找未知量与已知量的依赖关系，建立它们的函数关系，通过函数求值域或最值解决。这样即通过函数知识有效联系了高中数学的内容，也活跃了学生解决问题的思维。
关键词：函数；抽象；思维；策略
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）13-070-1
一、高中生陷入函数学习困境的原因
1.函数知识体系的复杂。函数概念包含两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数又包含：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。同时函数还涉及到很多的子概念，如映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。这些构成了函数的复杂知识体系。
2.“变量”概念的复杂性和辩证性。“变量”是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关联，但在数学中对时、空是没有界定的。另外，数学中的“变量”是变化的、不确定的，而数学中的变量则包括常量，是确定的。由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=3中，Y的值不会随X的变化而变化，它不是函数”。函数概念中变量的意义具有一般性，它可以是数、点、有形之物，甚至也可以是无形的。在教学实践中，教师往往没有把“变量概念的理解”作为教学难点，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词，而没有关注学生是否真正理解了变量的内涵。如果不能够理解好变量的概念，必会影响学生对函数概念的理解。
3.函数的表征形式丰富多样。函数主要的七种表征类型有：①解析式；②图像式；③表格式；④集合箭图式；⑤函数机器式；⑥序偶式；⑦通俗语言式。这七种类型还有很多变式，在解题过程中，要求学生在这几种类型间能灵活地转换，需要把抽象思维和形象思维结合起来，这对高中生而言，无疑是一种思维上的挑战。
4.函数符号的抽象性。函数概念的符号化是函数学习的难点，y=f(x)表示了一种即是广义的又是特殊的对应关系。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数。这种含义，学生仅从字母表面是很难理解的。另外，学生也很难通过“x”或者“y”在头脑中形成定义域，值域的概念。“f”的抽象性和隐蔽性，对学生的思维能力提出了新的高水平的要求，这也大大增加了函数学习的难度。
5.学生的思维发展。初中生以形式逻辑思维水平为主；刚进入高中学习的学生，思维刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象思考，但仍然无法上升到辩证思维阶段。这是认知发展的阶段性客观特点，这一特点限制了学生对于抽象的函数概念的理解和把握，导致在学习函数时，对函数对应变化的相依关系无法理解，进而成为高中函数学习的软肋。
二、促进函数学习的几点策略
1.着眼大局，注重早期渗透。像函数这种的核心概念，它的学习需要学生对一些相关内容有初步的认知和理解，比如：数学符号、变量的认识、变量的认识、变量间的制约关系等。因此在教学中，虽然不属于函数教学的内容，但教师应着眼于整个数学课程，有意识地逐步渗透给学生一些关于函数的视角和想法。比如：引导学生比较二元一次方程的区别。设计系列问题引导学生思考，获得变量的认识。
2.循序渐进，注意适时适度。教学中应避免急于求成，否则不仅不能帮助学生理解函数符号，反而会干扰学生起初建立起的初步认识。应着眼于整个数学课程，逐层深入，甚至于还需要循环递进。函数知识体系虽复杂，但是它们之间环环相扣，有很强的逻辑联系，例如函数单调性，函数奇偶性都是有助于函数结构属性的认识的。函数学习的早期尤其要注意循序渐进，使学生把函数的基础知识掌握好。若妄图“一口吃成个胖子”，就会像一座基石不稳的大厦，面临倒塌的危险。
3.促进概念的理解。首先，好的问题解决过程，能有效地促进学生对概念的理解，数学的学习很大程度上是在做题的过程中得以完成的。在讲解解题过程的时候，要注意渗透到函数概念的理解，淡化解题程序，这不仅有助于学生弄懂函数的基本概念，更有助于学生形成函数概念与问题解决策略之间的关联。其次，是知识网络图的建立。通过建立数学概念的知识网络图，便于学生在旧的概念基础上接受新的概念，形成新旧知识的整合，不仅有利于记忆，也利于知识的应用。
4.强调函数各种表现形式间的转化。学生通过函数表示的学习，已经知道了函数有多种表现形式，但并不意味着他们能够顺利实现各种形式之间的有效联系，快速的转化。一提到函数，在学生头脑中更多的反映出的是解析式，而不是同时反映出多种表现形式，能够从中选择最适合的形式解决问题。在研究具体函数时，教师要注意训练学生使用多种形式表现同一个函数，并鼓励学生讨论哪一种表现形式最利于问题的解决，尤其是在日常联系中，教师要注意培养学生数形结合的思想。
5.在相关内容中，提升对函数的认识，升华对函数的理解。函数的教学不能仅停留于函数这一章，而应着眼于整个数学课程，去落实函数的理解。比如：在“一元二次不等式求解”教学中，可以树立函数的观点去看待不等式求解，掌握函数与不等式的联系，明确函数图象相对于x轴的位置与不等式解集的关系；在解析几何学习中，理清函数解析式与曲线方程、函数图象与方程的曲线的联系与区别；在涉及“范围、最值”的数学问题求解中，树立函数的思想，寻找未知量与已知量的依赖关系，建立它们的函数关系，通过函数求值域或最值解决。这样即通过函数知识有效联系了高中数学的内容，也活跃了学生解决问题的思维。