摘 要：高考命题对统计及统计案例的考查均以实际生活问题为背景，所以在考查基础知识的同时也考查数学应用意识.本文从抽样方法、频率分布直方图的应用、茎叶图的应用、样本的数字特征、相关关系的判断与线性回归方程、独立性检验这六个方面举例说明高考考点题型，供复习时参考.
　　关键词：统计;统计案例;高考考点;题型例析
　　中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0054-03
　　收稿日期：2020-09-05
　　作者简介：杜红全（1969.9-），男，甘肃省康县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
　　
　　统计及统计案例与现实生活联系紧密，是高中数学的一个重要内容，也是高考命题的一个重点.下面举例说明统计及统计案例高考考点题型，供参考.
　　 一、抽样方法
　　例1 （2019全国Ⅰ，文6）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（  ）.
　　A.8号学生   B.200号学生
　　C.616号学生  D.815号学生
　　解析 分段间隔k=1000100=10，又由46号学生被抽中知，所抽号码的个位数是6，结合选项知，616号学生被抽中.故选C.
　　点评 本题考查系统抽样方法，体现了数据分析、数学运算等核心素养;求解本题的关键是利用分段间隔10和46号学生被抽到判断出所抽号码的个位数是6;不难发现选出的号码所构成的数列是以10为公差的等差数列，因此也可以利用等差数列的有关知识来解答;在抽样方法中重点考查分层抽样方法的应用和系统抽样.
　　 二、频率分布直方图的应用例2 （2019全国Ⅲ，理17文17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：图1        图2
　　记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
　　（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值;
　　（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
　　解析 （1）由已知得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
　　（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
　　2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
　　乙离子残留百分比的平均值的估计值为
　　3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
　　点评 本题以频率分布直方图为背景，考查频率分布直方图中未知字母的求法及相关计算，考查了数据处理能力，体现了数学运算等核心素养;解决与频率分布直方图有关的问题，关键在于寻找出图中的数据之间的联系;利用频率分布直方图去估计总体是考查的重点，偶尔出现画频率分布直方图.
　　 三、茎叶图的应用
　　例3 （2014全国Ⅱ，文19）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：
　　（1）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数;
　　（2）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率;
　　（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
　　分析 （1）中位数就是将数据按从大到小或从小到大的顺序重新排列最中间的数或最中间两个数的平均数;（2）要求高于90的概率，就是要数出高于90的个数;（3）由所给的茎叶图来评价一组数据，主要看兩个指标，一个是中位数，另一个是标准差，其中从茎叶图来观察，数据越集中，其标准差越小，反之就越大.
　　解 （1）由所给的茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，因此样本中位数是75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，因此样本中位数是66+682=67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
　　（2）由所给的茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为550=0.1，850=0.16，所以该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
　　（3）由所给的茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市的市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.
　　点评 此题是文科的高考数学的统计题，求解此类题的关键是要熟练掌握统计学中的基本概念. 　　 四、样本的数字特征
　　例4（2019全国Ⅱ，文5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（  ）.
　　A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
　　解析 9个数据从低到高排列后，第5个数据为中位数，去掉第1个和最后1个数据后，中间的数据即中位数不变.故选A.
　　点评 本题考查的是数字特征，考查了数据处理能力;求解本题的关键是对中位数、平均数、方差、极差的本质的理解.
　　 五、相关关系的判断与线性回归方程
　　例5 （2016全国Ⅲ，理18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
　　（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;
　　（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
　　参考数据：7i=1yi=9.32，7i=1tiyi=40.17，7i=1（yi-y）2=0.55，
　　7≈2.646.
　　参考公式：相关系数r=7i=1（ti-t）（yi-y）
　　7i=1（ti-t）2
　　7i=1（yi-y）2
　　回归方程y∧=a∧+b∧t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
　　b∧=7i=1（ti-t）2（yi-y）27i=1（ti-t）2，a∧=y-b∧t.
　　分析 （1）利用所给的数据和公式，求出相关系数r即可判断出相关程度;（2）利用所给的数据及公式代入即可求出线性回归方程，再把2016年对应的t=9代入即可得出结论.
　　解 （1）由折线图中数据和附注中的参考数据得
　　t-=4，7i=1（ti-t-）2=28，7i=1（yi-y-）2=0.55， 7i=1（ti-t-）（yi-y-）=7i=1tiyi-t-7i=1yi
　　=40.17-4×9.32=2.89.所以r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
　　（2）由y-=9.327≈1.331及（1），得b∧=7i=1（ti-t-）（yi-y-）7i=1（ti-t-）2=2.8928≈0.103，a∧=y--b∧t-≈1.331-0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y∧=0.92+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程，得y∧=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.
　　点评 本题考查的线性相关与线性回归方程的求法与应用;回归方程的拟合的效果可以利用相关系数来判断，因此准确计算相关系数是关键，当r越趋近于1时，表明两变量的线性相关性越强;求解线性回归方程的关键是确定a∧，b∧.
　　 六、独立性检验
　　例6 （2019全国Ⅰ，文17）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
　　满意不满意男顾客40
　　10女顾客3020
　　（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.
　　（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
　　附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.
　　P（K2≥k）0.0500.0100.001
　　k3.8416.63510.828
　　分析 （1）利用题表可以直接算出相应的概率;
　　（2）将题表数据代入公式计算出K2的值，再與表中的k比较，即可作出相应的判断.
　　解 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
　　（2）K2=100×（40×20-30×10）250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
　　点评 本题考查概率的计算、独立性检验;求解独立性检验有关问题的关键是根据样本数据正确列出2×2列联表以及根据公式准确计算出K2的观测值k，若K2的值越大，则两分类变量有关的把握越大.
　　  参考文献：
　　[1]杜红全.追踪考题  晒晒考点——“复数”高考考点题型归类析与练[J].数理化解题研究，2020（01）：7-8.
　　[责任编辑：李 璟]