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纵观近几年高考试题，几何概型问题频频出现，这类问题新颖别致，构思精妙，极富思考性和挑战性. 几何概型的概率求解一般分三步：（1）判断试验是否为几何概型；（2）将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量（如长度、面积、体积或角度）；（3）应用几何概型的概率公式求概率. 下面结合实例分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.
与长度有关的几何概型
例1 在区间[0，5]上随机地选择一个数[p]，则方程[x2+2px+3p-2=0]有两个负根的概率为 .
解析 先根据方程有两个负根求得[p]的取值范围，然后利用几何概型的概率计算公式求出概率.
[∵方程x2+2px+3p-2=0]有两个负根[x1，x2，]
[∴Δ=4p2-43p-2≥0，x1+x2=-2p<0，x1x2=3p-2>0，]
又[0≤p≤5]，解得[23 故由几何概型的概率计算公式得，
[P=1-23+5-25-0=23.]
点拨 本题考查一元二次方程根的分布和几何概型. 根据一元二次方程根的分布情况建立不等式组求[p]的取值范围，考查了逻辑思维能力与运算求解能力. 将一元二次方程根的分布与概率相结合，体现了化归意识在解题中的应用.
例2 平面上画了一组彼此平行且相距[2a]的平行线. 把一枚半径[r 解析 设“硬币不与任一平行线相碰”为事件[A.]
如图，在两相邻平行线间画出与平行线间距为[r]的两平行虚线，则当硬币中心落在两虚线间时，与平行线不相碰.
故[PA=虚线间距离平行线间距离=2a-2r2a=a-ra.]
答案 [a-ra]
点拨 本题中把硬币不与平行线相碰转化为硬币中心到平行线的距离是关键，可方便地确定事件[A]的区域长度和所有可能结果的区域长度. 将概率问题转化为几何问题来计算是几何概型的精华所在.
与面积有关的几何概型
例3 如图，矩形[ABCD]中，点[A] 在[x]轴上，点[B]的坐标为[1，0，]且点[C]与点[D]在函数[fx=x+1，x≥0，-12x+1，x<0]的图象上. 若在矩形[ABCD]内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A. [16] B. [14] C. [38] D. [12]
解析 先求[C]点的坐标，再求[D]点与[A]点的坐标，进而求得矩形的面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型的概率计算公式求解即可.
因为[B点坐标为1，0， fx=x+1，x≥0，-12x+1，x<0，]
所以[C]点坐标为[1，2，][D]点坐标为[-2，2，A]点坐标为[-2，0.]
故矩形[ABCD]的面积为[3×2=6，]阴影部分的面积为[12×3×1=32.]
故由几何概型的概率计算公式得，
[P=S阴影S矩形ABCD=326=14.]
答案 B
点拨 本题主要考查几何概型、分段函数图象的识图与应用等基础知识，意在考查同学们的转化与化归能力、运算求解能力，同时考查数形结合思想、或然与必然思想.
例4 设复数[z=x-1+yix，y∈R]，若[z≤1]，则[y≥x]的概率为（ ）
A. [34+12π] B. [12+1π]
C. [12-1π] D. [14-12π]
解析 根据复数的模构造出基本事件和随机事件对应的几何图形，转化为面积的比值.
由题意得，[z=x-12+y2≤1，]即[x-12+y2≤1，]表示的是圆及其内部，如图所示.
当[z≤1]时，[y≥x]表示的是图中阴影部分，其面积为[S=14π×12-12×1×1=π-24.]
又圆的面积为[π×12=π]，根据几何概型的概率计算公式得所求概率[P=π-24π=14-12π.]
答案 D
点拨 本题主要考查复数的模、几何概型以及直线与圆的位置关系等. 通过将复数的模的关系式转化为圆面考查抽象概括能力，利用面积求几何概型的概率考查转化与化归思想、数形结合思想、运算求解能力及创新应用意识.
例5 在区间[0，1]上随机取两个数[x，y]，记[p1]为事件“[x+y≤12]”的概率，[p2]为事件“[xy≤12]”的概率，则（ ）
A. [p1 C. [12 解析 [x，y]构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足[x+y≤12]的区域如图（1）中阴影部分所示，所以[p1=12×12×121×1=18.] 满足[xy≤12]的区域如图（2）中阴影部分所示，所以[p2=S1+S21×1=12+S21>12]，所以[p1<12 答案 D
[（1）][（2）]
点拨 本题考查约束条件表示的平面区域及几何概型. 把问题抽象概括为几何概型问题求解，考查了转化与化归思想的应用. 在比较概率大小时，考查了数形结合思想的应用.
例6 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯. 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A. [14] B. [12] C. [34] D. [78] 解析 结合线性规划，利用几何概型求解. 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为[x，y，x，y]可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为[D=x，y0≤x≤4，0≤y≤4，]如图所示，这是个正方形区域.
事件[A]表示“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，所构成的区域为[d=][x，y0≤x≤4，0≤y≤4，x-y≤2，]即图中的阴影部分.
由几何概型的概率计算公式得，
[PA=SdSD=42-2×12×2×242=34.]
答案 C
点拨 本题考查简单的线性规划和几何概型的应用. 将实际问题转化为线性规划和几何概型问题求解，考查了转化与化归思想、创新应用意识.
与体积有关的几何概型
例7 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，H]分别是棱[A1B1，D1C1]上的点（点[E与B1]不重合），且[EH∥A1D1]，过[EH]的平面与棱[BB1，CC1]相交，交点分别为[F，G.]设[AB=2AA1=2a.]在长方体[ABCD-A1B1C1D1]内随机选取一点，记该点取自于几何体[A1ABFE-D1DCGH]内的概率为[P]，当点[E，F]分别在棱[A1B1，BB1]上运动且满足[EF=a]时，则[P]的最小值为（ ）
A.[1116] B.[34] C.[1316] D.[78]
解析 设[BC=b]，则长方体[ABCD-A1B1C1D1]的体积为[V=AB?AD?AA1=2a2b]，几何体[EB1F-HC1G]的体积为[V1=12EB1?B1F?B1C1=b2EB1?B1F.]
[∵EB21+B1F2=a2]，
[∴EB1?B1F≤EB21+B1F22=a22，]当且仅当[EB1=B1F][=22a]时等号成立，从而[V1≤a2b4.]
故[P=1-V1V≥1-a2b42a2b=78，]当且仅当[EB1=B1F=][22a]时等号成立.
所以[P]的最小值等于[78].
答案 D
点拨 本题由2010年福建省高考题改编而成，考查立体几何的有关知识、几何概型、基本不等式的应用等. 考查空间想象能力和“正难则反”的思想方法.
例8 已知正三棱锥[S-ABC]的底面边长为[a]，高为[h]，在正三棱锥内取点[M]，则点[M]到底面的距离小于[h2]的概率为 .
解析 如图，分别取[SA，SB，SC]的中点[A1，B1，C1]，分别连接[A1B1，B1C1，C1A1]，则当点[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之间时，点[M]到底面的距离小于[h2].
设[△ABC]的面积为[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比为[12]得，[△A1B1C1]的面积为[S4.]
由题意易知，区域[D]（三棱锥[S-ABC]）的体积为[13Sh，]
区域[d]（三棱台[A1B1C1-ABC]）的体积为[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]
记“点[M]到底面的距离小于[h2]”为事件[A]，根据几何概型的概率计算公式得，[PA=VdVD=78.]
答案 [78]
点拨 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件[A]的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积，再根据几何概型的概率计算公式计算即可.
与角度有关的几何概型
例9 在圆心角为[90°]的扇形中，以圆心[O]为起点作射线[OC]，则使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]的概率为 .
解析 如图所示，记事件[F]为“作射线[OC，]使[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]”，作射线[OD，OE，]使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°.]当[OC在∠DOE]内（包括[OD，OE]）时，使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]，故[PF=∠DOE∠AOB=30°90°=13.]
点拨 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段. 作射线[OD，OE]，使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°]是求解本题的关键.
与长度有关的几何概型
例1 在区间[0，5]上随机地选择一个数[p]，则方程[x2+2px+3p-2=0]有两个负根的概率为 .
解析 先根据方程有两个负根求得[p]的取值范围，然后利用几何概型的概率计算公式求出概率.
[∵方程x2+2px+3p-2=0]有两个负根[x1，x2，]
[∴Δ=4p2-43p-2≥0，x1+x2=-2p<0，x1x2=3p-2>0，]
又[0≤p≤5]，解得[23
[P=1-23+5-25-0=23.]
点拨 本题考查一元二次方程根的分布和几何概型. 根据一元二次方程根的分布情况建立不等式组求[p]的取值范围，考查了逻辑思维能力与运算求解能力. 将一元二次方程根的分布与概率相结合，体现了化归意识在解题中的应用.
例2 平面上画了一组彼此平行且相距[2a]的平行线. 把一枚半径[r
如图，在两相邻平行线间画出与平行线间距为[r]的两平行虚线，则当硬币中心落在两虚线间时，与平行线不相碰.
故[PA=虚线间距离平行线间距离=2a-2r2a=a-ra.]
答案 [a-ra]
点拨 本题中把硬币不与平行线相碰转化为硬币中心到平行线的距离是关键，可方便地确定事件[A]的区域长度和所有可能结果的区域长度. 将概率问题转化为几何问题来计算是几何概型的精华所在.
与面积有关的几何概型
例3 如图，矩形[ABCD]中，点[A] 在[x]轴上，点[B]的坐标为[1，0，]且点[C]与点[D]在函数[fx=x+1，x≥0，-12x+1，x<0]的图象上. 若在矩形[ABCD]内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A. [16] B. [14] C. [38] D. [12]
解析 先求[C]点的坐标，再求[D]点与[A]点的坐标，进而求得矩形的面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型的概率计算公式求解即可.
因为[B点坐标为1，0， fx=x+1，x≥0，-12x+1，x<0，]
所以[C]点坐标为[1，2，][D]点坐标为[-2，2，A]点坐标为[-2，0.]
故矩形[ABCD]的面积为[3×2=6，]阴影部分的面积为[12×3×1=32.]
故由几何概型的概率计算公式得，
[P=S阴影S矩形ABCD=326=14.]
答案 B
点拨 本题主要考查几何概型、分段函数图象的识图与应用等基础知识，意在考查同学们的转化与化归能力、运算求解能力，同时考查数形结合思想、或然与必然思想.
例4 设复数[z=x-1+yix，y∈R]，若[z≤1]，则[y≥x]的概率为（ ）
A. [34+12π] B. [12+1π]
C. [12-1π] D. [14-12π]
解析 根据复数的模构造出基本事件和随机事件对应的几何图形，转化为面积的比值.
由题意得，[z=x-12+y2≤1，]即[x-12+y2≤1，]表示的是圆及其内部，如图所示.
当[z≤1]时，[y≥x]表示的是图中阴影部分，其面积为[S=14π×12-12×1×1=π-24.]
又圆的面积为[π×12=π]，根据几何概型的概率计算公式得所求概率[P=π-24π=14-12π.]
答案 D
点拨 本题主要考查复数的模、几何概型以及直线与圆的位置关系等. 通过将复数的模的关系式转化为圆面考查抽象概括能力，利用面积求几何概型的概率考查转化与化归思想、数形结合思想、运算求解能力及创新应用意识.
例5 在区间[0，1]上随机取两个数[x，y]，记[p1]为事件“[x+y≤12]”的概率，[p2]为事件“[xy≤12]”的概率，则（ ）
A. [p1
[（1）][（2）]
点拨 本题考查约束条件表示的平面区域及几何概型. 把问题抽象概括为几何概型问题求解，考查了转化与化归思想的应用. 在比较概率大小时，考查了数形结合思想的应用.
例6 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯. 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A. [14] B. [12] C. [34] D. [78] 解析 结合线性规划，利用几何概型求解. 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为[x，y，x，y]可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为[D=x，y0≤x≤4，0≤y≤4，]如图所示，这是个正方形区域.
事件[A]表示“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，所构成的区域为[d=][x，y0≤x≤4，0≤y≤4，x-y≤2，]即图中的阴影部分.
由几何概型的概率计算公式得，
[PA=SdSD=42-2×12×2×242=34.]
答案 C
点拨 本题考查简单的线性规划和几何概型的应用. 将实际问题转化为线性规划和几何概型问题求解，考查了转化与化归思想、创新应用意识.
与体积有关的几何概型
例7 如图，在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，H]分别是棱[A1B1，D1C1]上的点（点[E与B1]不重合），且[EH∥A1D1]，过[EH]的平面与棱[BB1，CC1]相交，交点分别为[F，G.]设[AB=2AA1=2a.]在长方体[ABCD-A1B1C1D1]内随机选取一点，记该点取自于几何体[A1ABFE-D1DCGH]内的概率为[P]，当点[E，F]分别在棱[A1B1，BB1]上运动且满足[EF=a]时，则[P]的最小值为（ ）
A.[1116] B.[34] C.[1316] D.[78]
解析 设[BC=b]，则长方体[ABCD-A1B1C1D1]的体积为[V=AB?AD?AA1=2a2b]，几何体[EB1F-HC1G]的体积为[V1=12EB1?B1F?B1C1=b2EB1?B1F.]
[∵EB21+B1F2=a2]，
[∴EB1?B1F≤EB21+B1F22=a22，]当且仅当[EB1=B1F][=22a]时等号成立，从而[V1≤a2b4.]
故[P=1-V1V≥1-a2b42a2b=78，]当且仅当[EB1=B1F=][22a]时等号成立.
所以[P]的最小值等于[78].
答案 D
点拨 本题由2010年福建省高考题改编而成，考查立体几何的有关知识、几何概型、基本不等式的应用等. 考查空间想象能力和“正难则反”的思想方法.
例8 已知正三棱锥[S-ABC]的底面边长为[a]，高为[h]，在正三棱锥内取点[M]，则点[M]到底面的距离小于[h2]的概率为 .
解析 如图，分别取[SA，SB，SC]的中点[A1，B1，C1]，分别连接[A1B1，B1C1，C1A1]，则当点[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之间时，点[M]到底面的距离小于[h2].
设[△ABC]的面积为[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比为[12]得，[△A1B1C1]的面积为[S4.]
由题意易知，区域[D]（三棱锥[S-ABC]）的体积为[13Sh，]
区域[d]（三棱台[A1B1C1-ABC]）的体积为[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]
记“点[M]到底面的距离小于[h2]”为事件[A]，根据几何概型的概率计算公式得，[PA=VdVD=78.]
答案 [78]
点拨 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件[A]的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积，再根据几何概型的概率计算公式计算即可.
与角度有关的几何概型
例9 在圆心角为[90°]的扇形中，以圆心[O]为起点作射线[OC]，则使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]的概率为 .
解析 如图所示，记事件[F]为“作射线[OC，]使[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]”，作射线[OD，OE，]使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°.]当[OC在∠DOE]内（包括[OD，OE]）时，使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]，故[PF=∠DOE∠AOB=30°90°=13.]
点拨 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段. 作射线[OD，OE]，使得[∠AOD=30°，∠AOE=60°]是求解本题的关键.