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摘要：根据范希尔理论，小学生的几何思维主要处于水平1—水平3阶段。由此，可结合教材的分段螺旋上升式安排，做细、做实“图形的认识”教学。水平1阶段的教学可分为三个步骤：观察物体，聚焦图形;比较图形，提炼共性;符号表征，建立表象。水平2阶段的教学可分为三个步骤：分离特征;提纯本质;简略表征。水平3阶段的教学可分为两个步骤：建立图形关系;开展图形推理。
关键词：范希尔;几何思维;发展水平;图形的认识
教学，既应充分适应学生的实际发展水平，又应积极促进学生可能的发展。荷兰著名数学教育家范希尔夫妇将学生几何思维的发展划分为5个水平阶段（小学生主要处在水平1—水平3阶段），对几何教学有重要的指导价值。小学数学教师可以在这一理论的指导下，结合教材的分段螺旋上升式安排，做细、做实“图形的认识”教学，让学生感受到3个水平阶段学习之间的联系与区别，从而更好地促进学生几何思维的发展。下面，对此谈谈笔者的认识和做法。
一、水平1阶段的教学：基于直观，建立图形表象
水平1阶段是指直观（也被翻译为“视觉”）阶段。小学低年段的学生通常处于这一阶段，他们能依赖具体实物、凭借感知从整体上识别图形、仿画图形，能使用标准或不标准的名称命名图形，但不能清楚地认识图形的特征和性质，无法使用特征或性质分析图形，也无法对图形做概括性论述。正如范希尔所说，学生“能识别图形看起来像什么物体”，“知道它是什么图形，但无法解释为什么”。
因此，直观阶段的教学目标是建立图形表象，形成图形名称。教学过程通常是观察熟悉物体，感知到物体上的图形相像，将相像的图形画出来归为一类，用一个标准图形概括，形成表象并命名。学生将形成的表象以及相应的名称储存在头脑中，作为识别图形的主要依据。此后，学生经相关情境的刺激能灵活地调取与运用，为进一步学习图形的特征等打下基础。不难发现，在直观阶段，学生虽然主要通过观察获得的视觉信息认识图形，但是也要经过内部思维的加工，将多种图形抽象为一种标准图形，经历从特殊到一般的数学抽象过程。具体的教学可以分为如下三个步骤：
（一）观察物体，聚焦图形
实际物体是符合直观阶段学生认知水平的基础学习素材。教学时，要注意从学生常见的物体开始，引导学生观察物体，根据物体仿画图形，去除无关的属性，只保留形的特点，完成感性抽象。例如“认识平行四边形”的教学，生活中有很多包含平行四边形的物体，如挂衣架、竹篱笆、楼梯扶手等，两把相同的三角尺也可以拼成平行四边形，观察这些物体能帮助学生积累丰富的感性经验。感性经验需要上升为理性认识，所以，接着要安排学生仿画或描摹图形。画的过程就是学生在内部思维中舍弃其他属性，聚焦图形特征的过程。
（二）比较图形，提炼共性
图形表象是许多同类图形形状的概括，需要在丰富的感性认识基础上形成。这一环节，教师要引入大量同类与不同类的图形供学生比较与提炼，上一环节画出的图形可以用作学生继续学习的素材。仍以“认识平行四边形”的教学为例，可以引入学生已经认识的图形，如长方形、正方形、三角形、圆等，与平行四边形一起呈现，从而彼此加强对比，突出平行四边形的形状特征。在此基础上，可以组织分一分的活动，驱动学生发现具有相同特征的图形，将这些图形归类整理，再从中突出平行四边形一类。当然，在分一分的活动中，学生提炼的共性特征只是观察获得的视觉形象，学生不必准确概括图形特征，教学时需要注意点到为止。
（三）符号表征，建立表象
数学抽象的主要过程包括一般化与符号化。一般化是从大量图形中提炼共性，概括成一类;符号化是将概括成的一类图形用简洁的语言或符号表示。还以“认识平行四边形”的教学为例，将多个平行四边形分为一类后，教师可以顺势呈现一个标准的平行四边形，指出这个图形能表示这些图形，并命名为平行四边形。这样，学生就完成了直观阶段平行四边形一般化与符号化的过程，建立了图形表象。利用标准的平行四边形概括形态各异的平行四边形，可以帮助学生建立典型的图形表象。建立表象后，教师需要安排学生在常见的物品上找到平行四边形，这是头脑里的图形表象的具体化。这样的安排一方面能够评价学生初步形成的平行四边形表象是否正确，另一方面能让学生继续感知图形，进一步加强表象。
二、水平2阶段的教学：通过分析，认识图形特征
水平2阶段是指描述与分析（也被翻译为“分析”）阶段。小学中年段的学生通常处于这一阶段，他们能确定图形的特征，依据图形的特征识别图形，或利用这些特征解决简单的问题。也就是说，能通过看、量、折、比等实践活动经验地建立图形的特征，同时利用自然语言将这些特征描述出来。但是，他们无法建立这些特征之间的联系，不能清楚地指明两类图形之间的关系。
因此，描述与分析阶段的教学目标是理解“特征”的含义，从边和角的视角建构图形特征，学会利用图形特征辨认图形。教学过程通常是提供多个图形例证，开展操作活动，将图形分解成多个特征（分离特征），然后发现多个图形都具备某些特征，意识到要将这些特征提炼出来（提纯本质），作为这类图形的特征固定下来，并根据特征给出这类图形的定义（简略表征）。
（一）分离特征
一种图形往往是多个特征（属性）的复合体。认识图形时，学生需要将图形的多个特征分解，意识到各种特征的存在。在教学中，教师可以设计看、量、折等操作活动，引导学生探索图形的特征，但是，分类活动更有利于学生主动分离图形特征。因为各种图形罗列在一起时，不同学生基于个体经验，会关注图形的不同特征，从而根据特征作出分类，产生多种分类方法。而且分類过程是学生主动进行的，关注特征成为学生的内在需求。例如“认识平行四边形”的教学，可以呈现三角形、四边形、平行四边形、梯形让学生分一分，学生可能根据边数、角的个数、有几组平行线等特征分。交流时，可以在肯定学生想法的基础上，聚焦根据有几组平行线分的情况，引导学生体会这种分法的合理性。如果没有学生想到这一分法，教师则可以自行呈现，让学生理解道理，这也能激起学生的思考。 （二）提纯本质
分离的多个特征中只有个别是学生需要关注的。提纯阶段就是从多种特征中聚焦需要关注的特征，舍弃其他特征，从而获得图形的本质特征。仍以“认识平行四边形”的教学为例，在分离特征阶段，学生已经知道根据有几组平行线的情况，可以将上述图形分为三类：没有平行线、只有一组平行线和有两组平行线。接着，可以引导学生观察有两组平行线的一类图形，发现它们都是平行四边形。然后，可以提问：其他平行四边形也有两组平行线吗？自己画几个不同的平行四边形，看一看、找一找，利用直尺、三角尺等工具，驗证每组对边是否互相平行。学生需要基于大量的直观图形，积累充足的感性经验，才能抽象概括出图形的特征。上述活动便是基于这样一种认识。当学生确认画出的平行四边形都有两组平行线后，教师可以揭示结论：平行四边形的特征是对边平行。
（三）简略表征
抽象出图形的特征后，便可以进一步概括图形的定义。还以“认识平行四边形”的教学为例，可以让学生试着用一句话说一说什么是平行四边形，学生势必根据得到的特征介绍平行四边形，这样的表达是一种描述性定义。当学生在交流中达成共识后，教师可以呈现教材中的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
学生形成图形的定义后，水平2基本达成。但是，有效的教学还需引导学生“回头看”，在新旧知识的比较中深化认识，聚焦图形特征，体会图形特征的价值。例如“认识平行四边形”的教学，可以提问：二年级学过了平行四边形，这节课为什么还要学？学完这节课，你有什么新的收获？平行四边形有什么特征呢？学习平行四边形的特征有什么用？……让学生在反思中发现：二年级只是从外观上认识平行四边形，本节课则深入地认识平行四边形的特征;根据特征，我们可以辨认其他的平行四边形……
三、水平3阶段的教学：抓住关联，展开图形推理
水平3阶段是指抽象与关联（也被翻译为“非形式化演绎”）阶段。小学高年段的学生通常处于这一阶段，他们能建立图形内部或图形与图形的特征或性质之间的联系，能使用定义、定理等进行自然语言上的演绎推理，通过非形式化推理将图形分类，如认识到长方形可以被看成“具有某些附加性质的平行四边形”;但是，还没有形成条理清晰的概念系统，尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法，也不能组织起一系列命题来证明观察到的命题。
因此，抽象与关联阶段的主要教学目标是根据头脑中建构的图形特征或性质建立已学图形之间的联系，以及进行逻辑推理来解决问题。教学中，要注意“淡化形式”，允许学生使用自然语言甚至趣味化的儿童语言帮助自己理解关系与进行推理。具体的教学可以分为如下两个步骤：
（一）建立图形关系
小学阶段，学生会学习各种三角形与四边形，图形之间在特征与性质上，既有相似，也有不同，学生容易混淆。所以，学习多种图形后，教师应该重视图形之间的比较，从特征入手挖掘各个图形的联系与区别，借助韦恩图生动形象地展示图形关系，促进学生在认知结构中将学过的图形连线、结网、组块。建立联系的最佳时机是图形单元的复习课，因为经过一个单元的学习，学生已经非常熟悉图形的特征与性质，便于在内部思维中灵活调用与分析，教学效率更高。
以《三角形、平行四边形和梯形》单元复习课为例。学生学过了长方形、正方形、平行四边形、梯形4种四边形，为了帮助学生建构图形联系，同时考虑到推理过程的复杂性与枯燥性，笔者设计了小跨度的、有趣味的两个活动，驱动学生主动关联图形。第一个活动（内容如下页图1所示），学生需要理解大圈中“装”的都是平行四边形，长方形具有平行四边形的特点，是一种特殊的平行四边形，所以也能进去，里面小圈中“住”的都是长方形。有了这个活动的示范，学生就能自主进行第二个活动（内容如图2所示）。实践发现，学生不难利用内外圈图整理图形的两两关系。但是，学生也会出现错误，而多数错误是因为图形特征或性质认识不完善或遗忘所致。比如，学生较少关注长方形（正方形）对边平行的特点，从而难以建立其与平行四边形之间的关系。这类问题反映出完善学生对图形特征与性质的认识的重要性。完成上述活动后，便可以引导学生建立多个图形之间的关联（如图3）。
（二）开展图形推理
学生的推理能力是逐步发展的。抽象与分析阶段是图形教学中培养学生推理能力的起点，教师要着重引导学生根据图形的特征与性质解决问题，用说理的方式驱动学生明晰推理过程，熟悉数学思考的方式，形成推理意识。
例如，教师可以出示问题：三角形中最小的角是50°，按角分这是一个（）三角形。这个问题涉及的图形知识是三角形内角和为180°，三角形按角分可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在此基础上引导学生推理：如果是直角三角形，则第三个角为180°-90°-50°=40°，40°<50°，50°不是最小的角，与题意不符;如果是钝角三角形，则钝角最小为91°（学生更理解用整数举例），此时第三个角是180°-91°-50°=39°，39°<50°，50°也不是最小的角，与题意不符;最后符合要求的只能是锐角三角形。当然，学生的表达可能缺乏条理性，甚至具有跳跃性，会省略关键条件。对此，教师应该适时追问，帮助学生厘清“因为”与“所以”。数学学习中广泛存在类似的问题，教师要捕捉契机，开展图形推理，有意识地培养学生的说理能力。这样，学生的几何思维才能稳固地发展到水平3。
总之，学生的几何思维并非自然发展的，需要教学活动的有效推进。对此，教师需要理解范希尔理论的含义与特点，准确分析学生的思维起点，判断教学的目标水平，设计针对性教学，引领学生几何思维水平的进阶。
参考文献：
[1] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践——小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3] 曾友良，贠朝栋.范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示[J].当代教育理论与实践，2017（5）.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“小学数学高段教学实施数学抽象研究”（编号：Cb/2020/02/63）的阶段性研究成果。
关键词：范希尔;几何思维;发展水平;图形的认识
教学，既应充分适应学生的实际发展水平，又应积极促进学生可能的发展。荷兰著名数学教育家范希尔夫妇将学生几何思维的发展划分为5个水平阶段（小学生主要处在水平1—水平3阶段），对几何教学有重要的指导价值。小学数学教师可以在这一理论的指导下，结合教材的分段螺旋上升式安排，做细、做实“图形的认识”教学，让学生感受到3个水平阶段学习之间的联系与区别，从而更好地促进学生几何思维的发展。下面，对此谈谈笔者的认识和做法。
一、水平1阶段的教学：基于直观，建立图形表象
水平1阶段是指直观（也被翻译为“视觉”）阶段。小学低年段的学生通常处于这一阶段，他们能依赖具体实物、凭借感知从整体上识别图形、仿画图形，能使用标准或不标准的名称命名图形，但不能清楚地认识图形的特征和性质，无法使用特征或性质分析图形，也无法对图形做概括性论述。正如范希尔所说，学生“能识别图形看起来像什么物体”，“知道它是什么图形，但无法解释为什么”。
因此，直观阶段的教学目标是建立图形表象，形成图形名称。教学过程通常是观察熟悉物体，感知到物体上的图形相像，将相像的图形画出来归为一类，用一个标准图形概括，形成表象并命名。学生将形成的表象以及相应的名称储存在头脑中，作为识别图形的主要依据。此后，学生经相关情境的刺激能灵活地调取与运用，为进一步学习图形的特征等打下基础。不难发现，在直观阶段，学生虽然主要通过观察获得的视觉信息认识图形，但是也要经过内部思维的加工，将多种图形抽象为一种标准图形，经历从特殊到一般的数学抽象过程。具体的教学可以分为如下三个步骤：
（一）观察物体，聚焦图形
实际物体是符合直观阶段学生认知水平的基础学习素材。教学时，要注意从学生常见的物体开始，引导学生观察物体，根据物体仿画图形，去除无关的属性，只保留形的特点，完成感性抽象。例如“认识平行四边形”的教学，生活中有很多包含平行四边形的物体，如挂衣架、竹篱笆、楼梯扶手等，两把相同的三角尺也可以拼成平行四边形，观察这些物体能帮助学生积累丰富的感性经验。感性经验需要上升为理性认识，所以，接着要安排学生仿画或描摹图形。画的过程就是学生在内部思维中舍弃其他属性，聚焦图形特征的过程。
（二）比较图形，提炼共性
图形表象是许多同类图形形状的概括，需要在丰富的感性认识基础上形成。这一环节，教师要引入大量同类与不同类的图形供学生比较与提炼，上一环节画出的图形可以用作学生继续学习的素材。仍以“认识平行四边形”的教学为例，可以引入学生已经认识的图形，如长方形、正方形、三角形、圆等，与平行四边形一起呈现，从而彼此加强对比，突出平行四边形的形状特征。在此基础上，可以组织分一分的活动，驱动学生发现具有相同特征的图形，将这些图形归类整理，再从中突出平行四边形一类。当然，在分一分的活动中，学生提炼的共性特征只是观察获得的视觉形象，学生不必准确概括图形特征，教学时需要注意点到为止。
（三）符号表征，建立表象
数学抽象的主要过程包括一般化与符号化。一般化是从大量图形中提炼共性，概括成一类;符号化是将概括成的一类图形用简洁的语言或符号表示。还以“认识平行四边形”的教学为例，将多个平行四边形分为一类后，教师可以顺势呈现一个标准的平行四边形，指出这个图形能表示这些图形，并命名为平行四边形。这样，学生就完成了直观阶段平行四边形一般化与符号化的过程，建立了图形表象。利用标准的平行四边形概括形态各异的平行四边形，可以帮助学生建立典型的图形表象。建立表象后，教师需要安排学生在常见的物品上找到平行四边形，这是头脑里的图形表象的具体化。这样的安排一方面能够评价学生初步形成的平行四边形表象是否正确，另一方面能让学生继续感知图形，进一步加强表象。
二、水平2阶段的教学：通过分析，认识图形特征
水平2阶段是指描述与分析（也被翻译为“分析”）阶段。小学中年段的学生通常处于这一阶段，他们能确定图形的特征，依据图形的特征识别图形，或利用这些特征解决简单的问题。也就是说，能通过看、量、折、比等实践活动经验地建立图形的特征，同时利用自然语言将这些特征描述出来。但是，他们无法建立这些特征之间的联系，不能清楚地指明两类图形之间的关系。
因此，描述与分析阶段的教学目标是理解“特征”的含义，从边和角的视角建构图形特征，学会利用图形特征辨认图形。教学过程通常是提供多个图形例证，开展操作活动，将图形分解成多个特征（分离特征），然后发现多个图形都具备某些特征，意识到要将这些特征提炼出来（提纯本质），作为这类图形的特征固定下来，并根据特征给出这类图形的定义（简略表征）。
（一）分离特征
一种图形往往是多个特征（属性）的复合体。认识图形时，学生需要将图形的多个特征分解，意识到各种特征的存在。在教学中，教师可以设计看、量、折等操作活动，引导学生探索图形的特征，但是，分类活动更有利于学生主动分离图形特征。因为各种图形罗列在一起时，不同学生基于个体经验，会关注图形的不同特征，从而根据特征作出分类，产生多种分类方法。而且分類过程是学生主动进行的，关注特征成为学生的内在需求。例如“认识平行四边形”的教学，可以呈现三角形、四边形、平行四边形、梯形让学生分一分，学生可能根据边数、角的个数、有几组平行线等特征分。交流时，可以在肯定学生想法的基础上，聚焦根据有几组平行线分的情况，引导学生体会这种分法的合理性。如果没有学生想到这一分法，教师则可以自行呈现，让学生理解道理，这也能激起学生的思考。 （二）提纯本质
分离的多个特征中只有个别是学生需要关注的。提纯阶段就是从多种特征中聚焦需要关注的特征，舍弃其他特征，从而获得图形的本质特征。仍以“认识平行四边形”的教学为例，在分离特征阶段，学生已经知道根据有几组平行线的情况，可以将上述图形分为三类：没有平行线、只有一组平行线和有两组平行线。接着，可以引导学生观察有两组平行线的一类图形，发现它们都是平行四边形。然后，可以提问：其他平行四边形也有两组平行线吗？自己画几个不同的平行四边形，看一看、找一找，利用直尺、三角尺等工具，驗证每组对边是否互相平行。学生需要基于大量的直观图形，积累充足的感性经验，才能抽象概括出图形的特征。上述活动便是基于这样一种认识。当学生确认画出的平行四边形都有两组平行线后，教师可以揭示结论：平行四边形的特征是对边平行。
（三）简略表征
抽象出图形的特征后，便可以进一步概括图形的定义。还以“认识平行四边形”的教学为例，可以让学生试着用一句话说一说什么是平行四边形，学生势必根据得到的特征介绍平行四边形，这样的表达是一种描述性定义。当学生在交流中达成共识后，教师可以呈现教材中的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
学生形成图形的定义后，水平2基本达成。但是，有效的教学还需引导学生“回头看”，在新旧知识的比较中深化认识，聚焦图形特征，体会图形特征的价值。例如“认识平行四边形”的教学，可以提问：二年级学过了平行四边形，这节课为什么还要学？学完这节课，你有什么新的收获？平行四边形有什么特征呢？学习平行四边形的特征有什么用？……让学生在反思中发现：二年级只是从外观上认识平行四边形，本节课则深入地认识平行四边形的特征;根据特征，我们可以辨认其他的平行四边形……
三、水平3阶段的教学：抓住关联，展开图形推理
水平3阶段是指抽象与关联（也被翻译为“非形式化演绎”）阶段。小学高年段的学生通常处于这一阶段，他们能建立图形内部或图形与图形的特征或性质之间的联系，能使用定义、定理等进行自然语言上的演绎推理，通过非形式化推理将图形分类，如认识到长方形可以被看成“具有某些附加性质的平行四边形”;但是，还没有形成条理清晰的概念系统，尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法，也不能组织起一系列命题来证明观察到的命题。
因此，抽象与关联阶段的主要教学目标是根据头脑中建构的图形特征或性质建立已学图形之间的联系，以及进行逻辑推理来解决问题。教学中，要注意“淡化形式”，允许学生使用自然语言甚至趣味化的儿童语言帮助自己理解关系与进行推理。具体的教学可以分为如下两个步骤：
（一）建立图形关系
小学阶段，学生会学习各种三角形与四边形，图形之间在特征与性质上，既有相似，也有不同，学生容易混淆。所以，学习多种图形后，教师应该重视图形之间的比较，从特征入手挖掘各个图形的联系与区别，借助韦恩图生动形象地展示图形关系，促进学生在认知结构中将学过的图形连线、结网、组块。建立联系的最佳时机是图形单元的复习课，因为经过一个单元的学习，学生已经非常熟悉图形的特征与性质，便于在内部思维中灵活调用与分析，教学效率更高。
以《三角形、平行四边形和梯形》单元复习课为例。学生学过了长方形、正方形、平行四边形、梯形4种四边形，为了帮助学生建构图形联系，同时考虑到推理过程的复杂性与枯燥性，笔者设计了小跨度的、有趣味的两个活动，驱动学生主动关联图形。第一个活动（内容如下页图1所示），学生需要理解大圈中“装”的都是平行四边形，长方形具有平行四边形的特点，是一种特殊的平行四边形，所以也能进去，里面小圈中“住”的都是长方形。有了这个活动的示范，学生就能自主进行第二个活动（内容如图2所示）。实践发现，学生不难利用内外圈图整理图形的两两关系。但是，学生也会出现错误，而多数错误是因为图形特征或性质认识不完善或遗忘所致。比如，学生较少关注长方形（正方形）对边平行的特点，从而难以建立其与平行四边形之间的关系。这类问题反映出完善学生对图形特征与性质的认识的重要性。完成上述活动后，便可以引导学生建立多个图形之间的关联（如图3）。
（二）开展图形推理
学生的推理能力是逐步发展的。抽象与分析阶段是图形教学中培养学生推理能力的起点，教师要着重引导学生根据图形的特征与性质解决问题，用说理的方式驱动学生明晰推理过程，熟悉数学思考的方式，形成推理意识。
例如，教师可以出示问题：三角形中最小的角是50°，按角分这是一个（）三角形。这个问题涉及的图形知识是三角形内角和为180°，三角形按角分可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在此基础上引导学生推理：如果是直角三角形，则第三个角为180°-90°-50°=40°，40°<50°，50°不是最小的角，与题意不符;如果是钝角三角形，则钝角最小为91°（学生更理解用整数举例），此时第三个角是180°-91°-50°=39°，39°<50°，50°也不是最小的角，与题意不符;最后符合要求的只能是锐角三角形。当然，学生的表达可能缺乏条理性，甚至具有跳跃性，会省略关键条件。对此，教师应该适时追问，帮助学生厘清“因为”与“所以”。数学学习中广泛存在类似的问题，教师要捕捉契机，开展图形推理，有意识地培养学生的说理能力。这样，学生的几何思维才能稳固地发展到水平3。
总之，学生的几何思维并非自然发展的，需要教学活动的有效推进。对此，教师需要理解范希尔理论的含义与特点，准确分析学生的思维起点，判断教学的目标水平，设计针对性教学，引领学生几何思维水平的进阶。
参考文献：
[1] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践——小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.
[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3] 曾友良，贠朝栋.范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示[J].当代教育理论与实践，2017（5）.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“小学数学高段教学实施数学抽象研究”（编号：Cb/2020/02/63）的阶段性研究成果。