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摘 要： 微分中值定理和导数应用是微积分课程的重要组成部分和微分学的核心内容之一，同时它也是微积分课程教学的重点和难点问题.本文就如何做好这部分的教学做了研究与探讨.
关键词： 微分中值定理 导数应用 微积分课程教学
微分中值定理和导数应用在微积分课程中具有重要的地位与作用.微分中值定理是联系函数和导数的桥梁，它是导数应用的理论基础和前提.导数应用是导数作用的具体体现，是利用导数解决实际问题和最优化理论应用的基础.下面我就微分中值定理和导数应用的相关教学问题谈谈思考.
一、微分中值定理的教学思考
微分中值定理是这章的开头部分，其作用和地位显而易见.这部分教学主要讲清以下两个问题，第一个问题是要讲清为什么要讲这部分内容，也就是其重要性.从教材内容上看，前面我们已经讲解了导数及微分，让学生明白了导数及微分的重要性，但没有讲解究竟如何应用导数的问题，因此有必要进一步加强研究导数的应用，而微分中值定理是导数应用的理论支撑，它是后面研究函数的极限、单调性、凹凸性、最值等的基础.从微积分产生的历史来看，微积分的产生可以归结为四大问题，其中之一为函数的最值问题，而解决函数最值问题的理论前提和基础就是微分中值定理.第二个问题就是要讲清罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理这三个定理内容及相互间的联系.这三个定理在条件和结论上都有很大的相似性，它们之间有很密切的内在联系.为了方便叙述，我们简单地罗列一下内容.罗尔定理：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.拉格朗日定理：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.柯西中值定理：如果函数f（x）和F（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f′（ξ）/F′（ξ）.从条件上看，三个定理都有闭区间[a，b]上连续和开区间（a，b）内可导的共性条件.从结论上来看，它们都是通过导数联系函数增量与自变量的关系.那么条件和结论如何联系的呢？我们可以按照如下方式进行分析.罗尔定理条件（1）表明f（x）对应的曲线在闭区间[a，b]上是不间断的，条件（2）表明曲线在开区间（a，b）内光滑.条件（3）表明曲线在闭区间[a，b]上的平均变化率即[f（b）-f（a）]/（b-a）为0.结论表明f（x）对应的曲线在开区间（a，b）内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f（x）在闭区间[a，b]上的平均变化率为0.拉格朗日中值定理条件与罗尔定理条件（1）（2）一样，结论表明f（x）对应的曲线在开区间（a，b）内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f（x）在闭区间[a，b]上的平均变化率为[f（b）-f（a）]/（b-a）.柯西中值定理与拉格朗日中值定理类似，只不过要通过其中两个函数的关系看出参数方程的形式而已.从条件和结论可以看出三个定理的密切相关性，也可以从定理的证明看出它们之间的关系.在讲条件和结论关系时，要注意强调条件是结论成立的必要条件而非充分条件.
二、导数应用的教学思考
导数应用的内容丰富，在这里我们主要讲罗比达法则、函数的单调性、函数的极值及最值等方面.
1.关于罗比达法则教学方法方面.我们要强调极限未定式的类型判别和转换方法，同时强调该法则不是万能的和唯一的.极限未定式类型分为0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等类型，其中0/0和∞/∞为基本类型，可以直接使用罗比达法则求极限，而其他几种类型必须转换为基本类型才能使用.其中∞-∞和0·∞类型既可以转化为0/0型，又可以转化成∞/∞型，这样在计算极限时就要选择转化方向，其标准是通过求导后求极限变得更简单，易求出结果.最后三种类型属于幂指函数类型，该类型可以通过取对数或写出指数函数形式转化成基本类型.同时要强调的是用罗比达法则求极限的前提和条件，即使可以使用该法则求极限也不一定是最简单的，只有和其他方法如等价无穷小替换法、四则运算求极限方法结合起来才能更有效地解决求极限的问题.
2.关于函数的单调性的教学.函数的单调性是函数的基本形态之一，也是学生比较熟悉的概念.在教学时，第一步，我们可以从高中简单的例子着手，让学生回顾相关的内容.第二步，设置一些复杂的例子，这些例子难以用高中的方法来解决，从而引出本节课的主题——用导数研究函数单调性.第三步，通过观察函数单调性的图形特征，结合导数的几何意义，让学生猜出判断函数单调性的条件.第四步，通过单调性定义，联系拉格朗日中值定理，给出严格证明.最后通过例题讲解定理的应用，说明判断函数单调性关键在于判断函数导数的符号.同时强调，一阶导数大于零（或小于零）只是函数单调增加（或减少）的充分而非必要条件.
3.关于函数的极值和最值的教学.函数的极值和最值是导数应用的最重要部分，它是利用导数解决实际问题的具体训练，也是最优化理论的基础.在概念引入时可以设计从回顾单调性的定理或例题出发引出单调增加区间和单调减少区间的分界点，从而引出极值点的概念，进一步可以引进最值的概念.从引入的例子进一步分析函数在何时达到极值，从引入例子的图形很容易看出函数达到极值的条件，从而归纳出可导函数取得极值的必要和一阶充分条件.由一阶充分条件分析可以得出函数的二阶充分条件，要注意的是二阶充分条件是在驻点处的二阶导数符号不等于0就可保证函数的极值性.由求极值的方法立即可得出求最值的方法，从而为导数解决实际问题提供方法.但在实际问题中函数f（x）往往不是现成的，需要通过分析实际问题，得出函数关系，进而转化为最值问题，因此在课堂教学中要有意识地培养学生的数学建模意识，培养运用数学知识解决实际问题的能力.
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学：上册（6版）[M].北京：高等教学出版社.
[2]萧树铁.微积分：上册（1版）[M].北京：清华大学出版社.
关键词： 微分中值定理 导数应用 微积分课程教学
微分中值定理和导数应用在微积分课程中具有重要的地位与作用.微分中值定理是联系函数和导数的桥梁，它是导数应用的理论基础和前提.导数应用是导数作用的具体体现，是利用导数解决实际问题和最优化理论应用的基础.下面我就微分中值定理和导数应用的相关教学问题谈谈思考.
一、微分中值定理的教学思考
微分中值定理是这章的开头部分，其作用和地位显而易见.这部分教学主要讲清以下两个问题，第一个问题是要讲清为什么要讲这部分内容，也就是其重要性.从教材内容上看，前面我们已经讲解了导数及微分，让学生明白了导数及微分的重要性，但没有讲解究竟如何应用导数的问题，因此有必要进一步加强研究导数的应用，而微分中值定理是导数应用的理论支撑，它是后面研究函数的极限、单调性、凹凸性、最值等的基础.从微积分产生的历史来看，微积分的产生可以归结为四大问题，其中之一为函数的最值问题，而解决函数最值问题的理论前提和基础就是微分中值定理.第二个问题就是要讲清罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理这三个定理内容及相互间的联系.这三个定理在条件和结论上都有很大的相似性，它们之间有很密切的内在联系.为了方便叙述，我们简单地罗列一下内容.罗尔定理：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.拉格朗日定理：如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.柯西中值定理：如果函数f（x）和F（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，那么在（a，b）内至少有一点ξ∈（a，b），使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f′（ξ）/F′（ξ）.从条件上看，三个定理都有闭区间[a，b]上连续和开区间（a，b）内可导的共性条件.从结论上来看，它们都是通过导数联系函数增量与自变量的关系.那么条件和结论如何联系的呢？我们可以按照如下方式进行分析.罗尔定理条件（1）表明f（x）对应的曲线在闭区间[a，b]上是不间断的，条件（2）表明曲线在开区间（a，b）内光滑.条件（3）表明曲线在闭区间[a，b]上的平均变化率即[f（b）-f（a）]/（b-a）为0.结论表明f（x）对应的曲线在开区间（a，b）内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f（x）在闭区间[a，b]上的平均变化率为0.拉格朗日中值定理条件与罗尔定理条件（1）（2）一样，结论表明f（x）对应的曲线在开区间（a，b）内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f（x）在闭区间[a，b]上的平均变化率为[f（b）-f（a）]/（b-a）.柯西中值定理与拉格朗日中值定理类似，只不过要通过其中两个函数的关系看出参数方程的形式而已.从条件和结论可以看出三个定理的密切相关性，也可以从定理的证明看出它们之间的关系.在讲条件和结论关系时，要注意强调条件是结论成立的必要条件而非充分条件.
二、导数应用的教学思考
导数应用的内容丰富，在这里我们主要讲罗比达法则、函数的单调性、函数的极值及最值等方面.
1.关于罗比达法则教学方法方面.我们要强调极限未定式的类型判别和转换方法，同时强调该法则不是万能的和唯一的.极限未定式类型分为0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等类型，其中0/0和∞/∞为基本类型，可以直接使用罗比达法则求极限，而其他几种类型必须转换为基本类型才能使用.其中∞-∞和0·∞类型既可以转化为0/0型，又可以转化成∞/∞型，这样在计算极限时就要选择转化方向，其标准是通过求导后求极限变得更简单，易求出结果.最后三种类型属于幂指函数类型，该类型可以通过取对数或写出指数函数形式转化成基本类型.同时要强调的是用罗比达法则求极限的前提和条件，即使可以使用该法则求极限也不一定是最简单的，只有和其他方法如等价无穷小替换法、四则运算求极限方法结合起来才能更有效地解决求极限的问题.
2.关于函数的单调性的教学.函数的单调性是函数的基本形态之一，也是学生比较熟悉的概念.在教学时，第一步，我们可以从高中简单的例子着手，让学生回顾相关的内容.第二步，设置一些复杂的例子，这些例子难以用高中的方法来解决，从而引出本节课的主题——用导数研究函数单调性.第三步，通过观察函数单调性的图形特征，结合导数的几何意义，让学生猜出判断函数单调性的条件.第四步，通过单调性定义，联系拉格朗日中值定理，给出严格证明.最后通过例题讲解定理的应用，说明判断函数单调性关键在于判断函数导数的符号.同时强调，一阶导数大于零（或小于零）只是函数单调增加（或减少）的充分而非必要条件.
3.关于函数的极值和最值的教学.函数的极值和最值是导数应用的最重要部分，它是利用导数解决实际问题的具体训练，也是最优化理论的基础.在概念引入时可以设计从回顾单调性的定理或例题出发引出单调增加区间和单调减少区间的分界点，从而引出极值点的概念，进一步可以引进最值的概念.从引入的例子进一步分析函数在何时达到极值，从引入例子的图形很容易看出函数达到极值的条件，从而归纳出可导函数取得极值的必要和一阶充分条件.由一阶充分条件分析可以得出函数的二阶充分条件，要注意的是二阶充分条件是在驻点处的二阶导数符号不等于0就可保证函数的极值性.由求极值的方法立即可得出求最值的方法，从而为导数解决实际问题提供方法.但在实际问题中函数f（x）往往不是现成的，需要通过分析实际问题，得出函数关系，进而转化为最值问题，因此在课堂教学中要有意识地培养学生的数学建模意识，培养运用数学知识解决实际问题的能力.
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学：上册（6版）[M].北京：高等教学出版社.
[2]萧树铁.微积分：上册（1版）[M].北京：清华大学出版社.