函数y=Asin（ωx+φ）的图像问题有三种类型：描点画图（五点法）、图像变换法（平移、伸缩、对称）及图像应用，特别是图像的平移与伸缩变换，是高考常见的题型。由于三角函数的性质蕴含在其图像中，我们在学习时须充分运用数形结合的思想，正确地读图、识图、析图、用图，把图像和性质结合起来，并会灵活运用。
　　一、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意义
　　当函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T=叫作振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==叫作振动的频率；ωx+φ叫作相位，当x=0时的相位φ叫作初相。
　　例1 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图像如右图所示，则函数f（x）的解析式为 。
　　解析 由图像知f（x）的最小正周期为
　　T=2-=π，故ω=2；
　　又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。
　　因为x=时，2sin（2x+φ）=2，
　　即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。
　　所以f（x）=2sin2x+。
　　点评 由函数图像确定函数解析式的关键是要善于从图像中观察得到一些有用的数据，如图像经过的点、最值等。一般来说，对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由图像的最高点的纵坐标或最低点纵坐标的绝对值来确定；ω可通过函数的周期T=来确定；φ可以用代入法来确定，即把一个点（最好选取图像的最高点或最低点）的坐标代入函数解析式求解而得。
　　二、三角函数的图像变换
　　例2 将函数y=sin2x-图像上的点P，t向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图像上，则（ ）。
　　A.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 B.t=，s的最小值为
　　C.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 D.t=，s的最小值为
　　解析 因为点P，t在函数y=sin2x-的图像上，
　　所以t=sin=；
　　因为P′-s，位于函数y=sin2x的图像上，
　　所以=sin2-s=cos2s，
　　所以s的最小值为。故选A。
　　点评 一般来说，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0）的图像，可以将正弦曲线y=sinx上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度（得y=sin（x+φ）的图像），再把所得各点的横坐标变为原来的得到；也可以将正弦曲线y=sinx上所有的点的横坐标变为原来的（得y=sinωx的图像），再把所得各点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度得到。特别注意：必须分清是先相位变换后周期变换，还是先周期变换后相位变换。
　　三、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调性
　　例3 函数f（x）=sin-x，则函数f（x）的单调递增区间为 。
　　解析 变形得f（x）=-sinx-。
　　函数f（x）=sin-x单调递增，则函数g（x）=sinx-单调递减，
　　所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。
　　所以函数f（x）=sin-x的单调递增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）。
　　点评 此类问题属易错题。正确解法是借助诱导公式转化后求解，或利用复合函数的单调性规律求解。
　　四、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的对称性
　　例4 我们把函数f（x）的图像与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N）。
　　（1）f（x）=sin3x在0，上的面积为 。
　　（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积为 。
　　解析 （1）因为函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N），
　　所以f（x）=sin3x在0，上的面积为。
　　又f（x）=sin3x关于点，0对称，
　　所以f（x）=sin3x在，上的面积等于它在0，上的面积。
　　故f（x）=sin3x在0，上的面积为。
　　（2）f（x）=sin（3x-π）+1的图像如右图所示。
　　根据对称性可知每一个阴影区域的面积都相等，都等于y=sin3x在0，上的面积为，
　　所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积等于1个阴影区域与矩形ABCD的面积之和，即+π（区域④补形到区域③中）。
　　点评 本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型创新题。我们要知道：函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的对称轴为x=，对称中心为，b。
　　五、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性
　　例5 求函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）的奇偶性。
　　解析 令f（-x）=f（x），则sin（-x-θ）=sin（x-θ），
　　此时-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），
　　亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），
　　所以当θ=kπ+（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；
　　同理，当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数。
　　综上，当θ=kπ-（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数； 　　当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数；
　　当θ≠kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是非奇非偶函数。
　　点评 f（x）是偶函数？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函数？圳f（-x）=-f（x）。探讨含有参数的函数的奇偶性可以利用该性质。
　　六、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性
　　例6 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）。若f（x）在区间，上具有单调性，且f=f=-f，则f（x）的最小正周期为 。
　　解析 结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像特征可知，
　　因为f=f，所以x=，
　　即x=为f（x）图像的对称轴。
　　因为f=-f，所以，0，
　　即，0为f（x）图像的对称中心。
　　又f（x）在区间，上具有单调性，
　　所以，0是与对称轴x=相邻的对称中心，
　　所以最小正周期为4-=π。
　　点评 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T=，正确地读图、识图、析图、用图是研究函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质的基础。
　　七、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最值
　　例7 已知函数f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）满足0≤x　　解析 因为对任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2，
　　欲使m取最小值，应尽可能多地让x（i=1，2，…，m）取最值点。
　　因为0≤x　　|f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12，
　　所以按照下图所示取值即可满足条件。
　　所以m的最小值为8。
　　点评 一般来说，函数f（x）=asinx+b的值域为[-|a|+b，|a|+b]，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值为-A+b，最大值为A+b。