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摘要：用于大型考试的数学试题往往具有较强的原创性，在命制时需要利用集体的智慧对原始或新构命题（创意）进行反复论证打磨。以一次高三摸底考试函数与导数解答题压轴题的命制为例，谈命题的打磨。打磨试题的关键在于打磨试题的功能、美感和导向。
关键词：数学试题命制打磨功能美感导向
用于大型考试的数学试题往往具有较强的原创性，在命制时需要利用集体的智慧对原始或新构命题（创意）进行反复论证打磨。近年来，为了集中更多优秀命题人员的智慧，命制更加科学的试题，苏北四市（连云港、淮安、宿迁、徐州）常常联合命制高三模拟试题：一般地，先各市自行打磨出一份试卷；再四市汇总，共同打磨出一份试卷。
在高考数学试卷中，函数与导数解答题通常作为压轴题，具有很强的探索性。这类试题的命制尤其需要经过不断地研究打磨，才能既符合命题原则与考试要求，又考查得出学生应有的知识水平与综合能力。在2016年11月的苏北四市高三摸底考试中，本市命制的函数与导數解答题作为压轴题出现在试卷中。下面，就以本题的命制为例，谈谈命题的打磨。
一、题目与解答
题目设函数f（x）=ln x-ax2+ax，a为正实数。
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f1a≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值。
解答（1）（2）略；
（3） f′（x）=1x-2ax+a=-2ax2-ax-1x，x>0。令f′（x）>0，得a-a2+8a4a0，所以a-a2+8a4a<0，所以f（x）在0，a+a2+8a4a上单调增，在a+a2+8a4a，+∞上单调减，所以f（x）≤fa+a2+8a4a。
设x0=a+a2+8a4a。显然，f（1）=0。
当x0=1时，f（x）≤f（x0）=f（1）=0，f（x）有且只有x0这1个零点，符合题意。此时a+a2+8a4a=1，解得a=1。
当x0>1时，f（x0）>f（1）=0。此时a+a2+8a4a>1，即01，且a+a2+8a4a<1+94a=1a。由（2）知f1a<0。所以，f（x）在x0，1a上存在零点，则f（x）共有2个零点，不符合题意。
当x0<1时，f（x0）>f（1）=0。此时a+a2+8a4a<1，即a>1，则0<1a<1，且a+a2+8a4a>1+94a=1a。由（2）知f1a<0。同理，f（x）在1a，x0上存在零点，则f（x）共有2个零点，不符合题意。
综上，x0=1，a=1。
二、命题历程
本题的命制由笔者（W）与四位一线教师（A、B、C、D）参与打磨，打磨的重点在于作为压轴之问的第3问（不仅因为这一问的难度要求最高，而且因为这一问可能需要通过前两问作出必要的铺垫）。
（一）构造模型
首先，A教师设想构造一个对数函数与二次函数的和函数，考查图像的切线、函数的单调性以及零点。其理由是，这类函数求导后通常只需要研究二次函数，是学生较为熟悉的；而考查的内容则是导数的常规应用和重要考点。接着，A教师选择ln x和a（x-1）2作为基本函数。其理由是，两个函数图像都过定点（1，0），而且均不复杂，这样和函数的一个零点便是1，在一定程度上降低了讨论的复杂度。于是，A教师得到初稿——
初稿设函数f（x）=ln x+a（x-1）2。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出单调区间；
（3）讨论函数f（x）的零点个数。
（二）打磨试题
B二次的形式太过明显，会使学生很容易发现定点的情况。此外，如果直接对f（x）求导，二次的形式又给人以复合函数求导的感觉，这对文科生是不作要求的。
W二次的形式倒没什么，其本来的意图就是让学生发现定点的情况。摸底考试的原则是让学生考出信心，考出成就感。只是复合函数的形式最好不要出现。
A可以把二次的形式打开，即f（x）=ln x+ax2-2ax+1。当然，对于这样的二次三项式，学生也很容易想到配方的。
C1、2、1这样的系数对于学生来说太熟悉了，可以把常数项去掉，把一次项系数变得平常些，即改成f（x）=ln x+ax2-ax。
D（出示图1）利用几何画板作图可以看到，这个函数的零点可能不大容易讨论。当a大到一定程度时，f（x）的两个极值都在（0，1）内。从图像上看，极大值始终是小于0的。但是，要证明它，可能不太容易。
A求导得f′（x）=2ax2-ax+1x，x>0。当a>8时，f′（x）在（0，1）内有两个零点，f（x）的极大值点取在左边，设极大值点为x0，那么极大值为f（x0）=ln x0+ax20-ax0。利用方程2ax20-ax0+1=0消元，有a=1x0-2x20>8，所以f（x0）=ln x0+x20-x0x0-2x20=ln x0+x0-11-2x0，0 W导数零点求不出，学生就怵了。利用导数方程消元不是学生的强项。不过，作为压轴题倒也可以，起码能够起到引导学生提升的作用。如果作为一问，还得加上条件“a>8”，这太突兀了。那么，能不能限定f（x）只有一个零点，求a的取值范围？
（大家合作得到如下第1稿。）
第1稿设函数f（x）=ln x+ax2-ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有唯一零点，求a的取值范围。
B就是说还是把它作为讨论的一种情况。考虑到第2问还要讨论f（x）的单调性，过程就太复杂了，答卷上可能都写不下。
D能不能只讨论f（x）有两个零点的情况？1已经是一个零点了。从图像上可以看出，当-1 （大家合作得到如下第2稿。）
第2稿设函数f（x）=ln x+ax2-ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围。
Cf（x）恰有两个零点，就是要f′（x）只有一个正零点。这样f（x）的图像就是先增后减的，所以只要极大值大于0即可。但是，fa-a2-8a4a>0这个不等式不好解，还是需要消元解决。和前面a>8时的消元过程一样，可得g（x）=ln x+x-11-2x在14，1上单调减，在（1，+∞）上单调增。而且g（1）=0，所以只要极大值点不是1，极大值都是大于0的。
B这么说是不需要讨论了。而且学生如果不会解极大值大于0的不等式，不会消元，就不能得分。
W那就让f（x）只有一个零点，求负实数a的值。学生容易得到a的值，也容易“会而不全”。不过，一般都是指定正实数a，所以最好再改一下函数解析式。
（大家合作得到如下第3稿。）
第3稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有唯一零点，求正实数a的值。
至此，围绕压轴问的打磨基本完成，题目的主体也基本搭建好。
（三）打磨解答
Af′（x）=-2ax2+ax+1x，x>0。设f（x）有极大值f（x0），则-2ax20+ax0+1=0。因为f（1）=0，所以f（x）的唯一零点就是1，那么极大值f（x0）必然为0，其实就是x0=1。这样的话，代入-2ax20+ax0+1=0，即-2a+a+1=0，就能解出a=1。这就太简单了。
W这只是找到了“f（x）有唯一零点”的一个充分条件，即如果极大值f（x0）=0，那么f（x）有唯一零点。但是，如果f（x）有唯一零点，那么极大值f（x0）也可能大于0。（出示图2）比如，另一段图像是以x轴为渐近线的。
B因为当x→0或x→+∞时，f（x）都是趋向于-∞的，所以可以利用零点的存在性定理判断：极大值大于0时，f（x）一定有两个零点。（出示图3）解决的思路应该是这样的。
D怎样寻找x1，是一个难点。f（x）的图像是动的，x1应该是与a有关的。
W近年来的江苏高考题都比较注重这类x1的寻找。这是学生的短板，但是确实需要训练。
B从图像的变化来看，当x0<1时，a>1，要找的x1<1；当x0>1时，a<1，要找的x2>1。x1、x2的大小与a的大小正好相反地变化，所以可以分别取x1=1a，x2=1a，那么f1a=ln1a-1a+1，可以证明只要a≠1，f1a<0恒成立。
W你因为有几何画板，所以看得清楚。学生怎么能够发现呢？
A可以考虑在第2问中给个提示。原来的第2问讨论单调性太复杂，可以改为证明不等式f1a<0？
（大家合作得到如下第4稿。）
x0≠1时x0<1时→可知f（x0）>0；
存在x1，使f（x1）<0→在（x1，x0）内有1个零点
x0>1时→可知f（x0）>0；
存在x2，使f（x2）<0→在（x0，x2）内有1个零点矛盾
第4稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求证：当0 （3）若函数f（x）有唯一零点，求正实数a的值。
A这样只是给出了x0>1时的x2。x0<1时的x1就留待学生去发现吧。
W给学生先铺个路，看学生能否细心留意。这样，第3问的解答可以参考今年的江苏高考题，先确定a的值，再用反证法证明。另外，第1问求出的切线方程不太简洁，出现了ln 2，不如改成“在点（1，f（1））处的”。
（大家合作得到如下第5稿。）
第5稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax，a为正实数。
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当0 （3）若函数f（x）有唯一零点，求a的值。
至此，针对前两问的修改也基本完成，一道题干简洁、设问精炼、考查函数与导数的核心问题、入手浅而又不失灵活性、考查从基础知识和基本方法到灵活的思维能力和严谨的推理论证的压轴题便基本完成。
后来在四市汇总时，笔者又将第2问中对a的范围限制去掉，从而铺了一条完整的路，让学生能顺着走下去。
三、命题体会
一道好题，应具有科学性、探究性、创新性，应关注学生的数学素养、学习过程、应用意识、思维的开放性和批判性。磨题是命题的重要环节，打磨试题的关键在于打磨试题的功能、美感和导向。
（一）打磨试题功能
高考模拟试题，首先要有考查基础知识、基本技能和基本思想方法的功能，以反映教与学的有效性；其次要能兼顾考查思维的灵活性，以达到较好的区分度。本题前两问考查導数的几何意义（求切线方程）和导数的应用（研究函数的单调性、最值）；而第3问中，参数引起函数图像的动态变化，关注动曲线过定点可以很好地反映思维的灵活性，不同的考生会有不同程度的思考。
（二）打磨试题美感
试题除了具有考查功能，还应注意美观。好的试题不会给人以烦冗压抑之感，而能让人赏心悦目地开启解题之旅，并随着每一问的引导，将思考逐步深入。本题初稿中，讨论f（x）单调性的问题是函数含参问题的常考类型，重点考查学生的分类讨论思想，但是因为讨论情况过多，书写过程复杂，占据篇幅过大，会影响考生做最后一问，于是改成了为最后一问铺路的证明不等式问题。而经过打磨，本题题意简洁，目标明确，方向清晰，是训练学生直觉猜测与严谨推理的好材料。
（三）打磨试题导向
命制高考模拟试题，还应考虑其对教与学的导向作用。每年高考过后，高考题的导向作用首先体现在下一届的模拟题中。各地的模拟卷多少都能看到高考题的影子，其初衷是引导日常的教与学具有高考意识。本题与2016年江苏高考第19题有着内在的联系：由基本初等函数的性质，可以判断出问题的结果；但是要严谨推理，却要颇费一番周折。在命题的过程中，就出现了“极大值为0”的错误判断，这是使用数形结合思想时常犯的一类错误，即用看到的“事实”掩盖实在的推理。本题意在引导师生研究高考命题，研究高考题的分析思路、解答过程、书写规范。
关键词：数学试题命制打磨功能美感导向
用于大型考试的数学试题往往具有较强的原创性，在命制时需要利用集体的智慧对原始或新构命题（创意）进行反复论证打磨。近年来，为了集中更多优秀命题人员的智慧，命制更加科学的试题，苏北四市（连云港、淮安、宿迁、徐州）常常联合命制高三模拟试题：一般地，先各市自行打磨出一份试卷；再四市汇总，共同打磨出一份试卷。
在高考数学试卷中，函数与导数解答题通常作为压轴题，具有很强的探索性。这类试题的命制尤其需要经过不断地研究打磨，才能既符合命题原则与考试要求，又考查得出学生应有的知识水平与综合能力。在2016年11月的苏北四市高三摸底考试中，本市命制的函数与导數解答题作为压轴题出现在试卷中。下面，就以本题的命制为例，谈谈命题的打磨。
一、题目与解答
题目设函数f（x）=ln x-ax2+ax，a为正实数。
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f1a≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值。
解答（1）（2）略；
（3） f′（x）=1x-2ax+a=-2ax2-ax-1x，x>0。令f′（x）>0，得a-a2+8a4a
设x0=a+a2+8a4a。显然，f（1）=0。
当x0=1时，f（x）≤f（x0）=f（1）=0，f（x）有且只有x0这1个零点，符合题意。此时a+a2+8a4a=1，解得a=1。
当x0>1时，f（x0）>f（1）=0。此时a+a2+8a4a>1，即0
当x0<1时，f（x0）>f（1）=0。此时a+a2+8a4a<1，即a>1，则0<1a<1，且a+a2+8a4a>1+94a=1a。由（2）知f1a<0。同理，f（x）在1a，x0上存在零点，则f（x）共有2个零点，不符合题意。
综上，x0=1，a=1。
二、命题历程
本题的命制由笔者（W）与四位一线教师（A、B、C、D）参与打磨，打磨的重点在于作为压轴之问的第3问（不仅因为这一问的难度要求最高，而且因为这一问可能需要通过前两问作出必要的铺垫）。
（一）构造模型
首先，A教师设想构造一个对数函数与二次函数的和函数，考查图像的切线、函数的单调性以及零点。其理由是，这类函数求导后通常只需要研究二次函数，是学生较为熟悉的；而考查的内容则是导数的常规应用和重要考点。接着，A教师选择ln x和a（x-1）2作为基本函数。其理由是，两个函数图像都过定点（1，0），而且均不复杂，这样和函数的一个零点便是1，在一定程度上降低了讨论的复杂度。于是，A教师得到初稿——
初稿设函数f（x）=ln x+a（x-1）2。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出单调区间；
（3）讨论函数f（x）的零点个数。
（二）打磨试题
B二次的形式太过明显，会使学生很容易发现定点的情况。此外，如果直接对f（x）求导，二次的形式又给人以复合函数求导的感觉，这对文科生是不作要求的。
W二次的形式倒没什么，其本来的意图就是让学生发现定点的情况。摸底考试的原则是让学生考出信心，考出成就感。只是复合函数的形式最好不要出现。
A可以把二次的形式打开，即f（x）=ln x+ax2-2ax+1。当然，对于这样的二次三项式，学生也很容易想到配方的。
C1、2、1这样的系数对于学生来说太熟悉了，可以把常数项去掉，把一次项系数变得平常些，即改成f（x）=ln x+ax2-ax。
D（出示图1）利用几何画板作图可以看到，这个函数的零点可能不大容易讨论。当a大到一定程度时，f（x）的两个极值都在（0，1）内。从图像上看，极大值始终是小于0的。但是，要证明它，可能不太容易。
A求导得f′（x）=2ax2-ax+1x，x>0。当a>8时，f′（x）在（0，1）内有两个零点，f（x）的极大值点取在左边，设极大值点为x0，那么极大值为f（x0）=ln x0+ax20-ax0。利用方程2ax20-ax0+1=0消元，有a=1x0-2x20>8，所以f（x0）=ln x0+x20-x0x0-2x20=ln x0+x0-11-2x0，0
第1稿设函数f（x）=ln x+ax2-ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有唯一零点，求a的取值范围。
B就是说还是把它作为讨论的一种情况。考虑到第2问还要讨论f（x）的单调性，过程就太复杂了，答卷上可能都写不下。
D能不能只讨论f（x）有两个零点的情况？1已经是一个零点了。从图像上可以看出，当-1
第2稿设函数f（x）=ln x+ax2-ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围。
Cf（x）恰有两个零点，就是要f′（x）只有一个正零点。这样f（x）的图像就是先增后减的，所以只要极大值大于0即可。但是，fa-a2-8a4a>0这个不等式不好解，还是需要消元解决。和前面a>8时的消元过程一样，可得g（x）=ln x+x-11-2x在14，1上单调减，在（1，+∞）上单调增。而且g（1）=0，所以只要极大值点不是1，极大值都是大于0的。
B这么说是不需要讨论了。而且学生如果不会解极大值大于0的不等式，不会消元，就不能得分。
W那就让f（x）只有一个零点，求负实数a的值。学生容易得到a的值，也容易“会而不全”。不过，一般都是指定正实数a，所以最好再改一下函数解析式。
（大家合作得到如下第3稿。）
第3稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有唯一零点，求正实数a的值。
至此，围绕压轴问的打磨基本完成，题目的主体也基本搭建好。
（三）打磨解答
Af′（x）=-2ax2+ax+1x，x>0。设f（x）有极大值f（x0），则-2ax20+ax0+1=0。因为f（1）=0，所以f（x）的唯一零点就是1，那么极大值f（x0）必然为0，其实就是x0=1。这样的话，代入-2ax20+ax0+1=0，即-2a+a+1=0，就能解出a=1。这就太简单了。
W这只是找到了“f（x）有唯一零点”的一个充分条件，即如果极大值f（x0）=0，那么f（x）有唯一零点。但是，如果f（x）有唯一零点，那么极大值f（x0）也可能大于0。（出示图2）比如，另一段图像是以x轴为渐近线的。
B因为当x→0或x→+∞时，f（x）都是趋向于-∞的，所以可以利用零点的存在性定理判断：极大值大于0时，f（x）一定有两个零点。（出示图3）解决的思路应该是这样的。
D怎样寻找x1，是一个难点。f（x）的图像是动的，x1应该是与a有关的。
W近年来的江苏高考题都比较注重这类x1的寻找。这是学生的短板，但是确实需要训练。
B从图像的变化来看，当x0<1时，a>1，要找的x1<1；当x0>1时，a<1，要找的x2>1。x1、x2的大小与a的大小正好相反地变化，所以可以分别取x1=1a，x2=1a，那么f1a=ln1a-1a+1，可以证明只要a≠1，f1a<0恒成立。
W你因为有几何画板，所以看得清楚。学生怎么能够发现呢？
A可以考虑在第2问中给个提示。原来的第2问讨论单调性太复杂，可以改为证明不等式f1a<0？
（大家合作得到如下第4稿。）
x0≠1时x0<1时→可知f（x0）>0；
存在x1，使f（x1）<0→在（x1，x0）内有1个零点
x0>1时→可知f（x0）>0；
存在x2，使f（x2）<0→在（x0，x2）内有1个零点矛盾
第4稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax。
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求证：当0
A这样只是给出了x0>1时的x2。x0<1时的x1就留待学生去发现吧。
W给学生先铺个路，看学生能否细心留意。这样，第3问的解答可以参考今年的江苏高考题，先确定a的值，再用反证法证明。另外，第1问求出的切线方程不太简洁，出现了ln 2，不如改成“在点（1，f（1））处的”。
（大家合作得到如下第5稿。）
第5稿设函数f（x）=ln x-ax2+ax，a为正实数。
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当0
至此，针对前两问的修改也基本完成，一道题干简洁、设问精炼、考查函数与导数的核心问题、入手浅而又不失灵活性、考查从基础知识和基本方法到灵活的思维能力和严谨的推理论证的压轴题便基本完成。
后来在四市汇总时，笔者又将第2问中对a的范围限制去掉，从而铺了一条完整的路，让学生能顺着走下去。
三、命题体会
一道好题，应具有科学性、探究性、创新性，应关注学生的数学素养、学习过程、应用意识、思维的开放性和批判性。磨题是命题的重要环节，打磨试题的关键在于打磨试题的功能、美感和导向。
（一）打磨试题功能
高考模拟试题，首先要有考查基础知识、基本技能和基本思想方法的功能，以反映教与学的有效性；其次要能兼顾考查思维的灵活性，以达到较好的区分度。本题前两问考查導数的几何意义（求切线方程）和导数的应用（研究函数的单调性、最值）；而第3问中，参数引起函数图像的动态变化，关注动曲线过定点可以很好地反映思维的灵活性，不同的考生会有不同程度的思考。
（二）打磨试题美感
试题除了具有考查功能，还应注意美观。好的试题不会给人以烦冗压抑之感，而能让人赏心悦目地开启解题之旅，并随着每一问的引导，将思考逐步深入。本题初稿中，讨论f（x）单调性的问题是函数含参问题的常考类型，重点考查学生的分类讨论思想，但是因为讨论情况过多，书写过程复杂，占据篇幅过大，会影响考生做最后一问，于是改成了为最后一问铺路的证明不等式问题。而经过打磨，本题题意简洁，目标明确，方向清晰，是训练学生直觉猜测与严谨推理的好材料。
（三）打磨试题导向
命制高考模拟试题，还应考虑其对教与学的导向作用。每年高考过后，高考题的导向作用首先体现在下一届的模拟题中。各地的模拟卷多少都能看到高考题的影子，其初衷是引导日常的教与学具有高考意识。本题与2016年江苏高考第19题有着内在的联系：由基本初等函数的性质，可以判断出问题的结果；但是要严谨推理，却要颇费一番周折。在命题的过程中，就出现了“极大值为0”的错误判断，这是使用数形结合思想时常犯的一类错误，即用看到的“事实”掩盖实在的推理。本题意在引导师生研究高考命题，研究高考题的分析思路、解答过程、书写规范。