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[摘 要]数学抽象是高中数学核心素养的六大组成部分之一.数学抽象核心素养培养是高中数学教学的核心.在课堂教学中，为了让学生实质性地参与数学抽象的每一个过程，可以采用问题导引、逐层深入的方法.
[关键词]问题；数学抽象；核心素养；案例
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02000903
一、对高中数学核心素养下的数学抽象的认识
高中数学核心素养包括六个方面，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体.
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.一切数学对象都是抽象思维的产物.高中数学核心素养视角下数学抽象主要表现为：（1）获得数学概念与规则；（2）提出数学命题与模型；（3）形成数学
思想
与方法；（4）认识数学结构与体系.
数学抽象包括四个方面：
1.同向思维的数学抽象.即思维在原来方向上的继续，它主要包括弱抽象和类比联想等方法.
2.逆向思维的数学抽象.指与原先思维相反方向上的思考与研究，它往往能发现原命题中的前提是否为相应结论的充要条件，可以加深学生对有关概念的本质特性的认识，从而促进概念的精确化.它主要包括强抽象、精确化与完备化的思维方法.
3.悖向思维的数学抽象.即背离原来的认识并在直接对立的层面上探索新的发展可能性.它虽然与已建立的认识直接相对立，但并不意味着直接的矛盾，而只是表明新的研究是与已有的认识相冲突.能否自觉地应用悖向思维，即能否自觉地冲破旧有思想的束缚，对于一些重要的发现往往具有决定性的意义.
4.审美直觉的数学抽象.“数学发明即是选择”（庞加莱语），而正是审美直觉起着这种特殊的“选择”作用.因此，可以“美的追求”作为数学中自觉的创造性活动的指导性原则，而形成通常所说的“数学中的美学方法”，它主要包括四个原则：简单性、统一性、对称性和奇异性.
二、案例研究
1.寻求来源，问题初探，获得概念与规则
【例1】 [《普通高中课程标准实验教科书人教A版数学》（以下简称“教材”，必修2，第144页，复习参考题B组第5题]已知圆C：（x-1）2 （y-2）2=25，
直线l：（2m 1）x （m 1）y-7m-4=0.求证：直线l恒过定点.
[设计意图]通过教材上的习题，引导学生分析、理解“恒”的含义.把原直线l：
（2m 1）x （m 1）y-7m-4=0
转化为m（2x y-7） （x y-4）=0后，为什么方程组
2x y-7=0x y-4=0
恒成立？显然，直线l恒过定点是相对于实数m的变化而言的，即无论m的值怎样改变，等式m（2x y-7） （x y-4）=0恒成立，所以
2x y-7=0x y-4=0
，即直线l恒过定点（3，1）.让学生亲自参与知识（恒成立）的形成过程.
【例2】 通过上述例题，你认为可以怎样判定一条直线是否过一定点？怎样求出这个定点的坐标？
[设计意图]引导学生归纳出解题的通法.这是从特殊到一般的弱抽象过程，体现同向思维的数学抽象过程.这对学生数学抽象思维能力的提高有着极其重要的作用.当然，学生还可以根据直线方程的点斜式方程求其定点.
【例3】 已知点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M.试根据下列条件分别求点M的轨迹方程.
（1）（选修2-1，第41页例3）直线AM与BM的斜率之积为-49；
（2）（选修2-1，第55页探究）直线AM与BM的斜率之积为49；
（3）（选修2-1，第80页复习参考题A组第10题）点A、B分别为△ABC的两个顶点且AC与BC的斜率之积为m（m≠0），试探求顶点C的轨迹方程.
[设计意图]通过对相似问题的求解，形成对一类问题的求解方法及结果的类比研究.通过对从特殊到一般问题[例3第（3）问]的求解，再次强化弱抽象这种正向数学抽象在数学解题中的应用，从而促使学生数学核心素养的提高.
【例4】 已知点A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M.试根据下列条件分别求点M的轨迹方程.
（1）（選修2-1，第42页练习第4题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的商为2.
（2）（选修2-1，第74页B组第3题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为2.
（3）（选修2-1，第81页B组第5题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的和为2.
[设计意图]通过运用例3形成的求解方法，再解决相似问题，体现类比这种数学抽象方法的应用.
【例5】 通过例3和例4，你有什么感悟？
[设计意图]一个开放性的问题，让学生可以从条件“已知两直线的斜率的和（或差、积和商）为常数”的应用、求轨迹方程的五步法、轨迹的完备性等多角度思考和总结，既可以形成对解决这类问题的通法，又对数学审美直觉的简单性、统一性有了直观的感知，进而提高学生数学审美直觉的数学抽象思维能力.
2.一题多解，思维发散，提出命题与模型
【例6】 （2017年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆C：
x2a2 y2b2=1
（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1.证明：l过定点.
[设计意图]通过类比例3、4的通法，把点A、B的坐标代入
kP2A kP2B=-1
中得到
k=-m 12
，再类比例1的方法，代回到直线的方程中得
y=-m 12x m
，即
m（x-2） （x 2y）=0
或
y 1=-m 12（x-2）
，从而得直线过定点（2，-1）.
这种方法是在例1至例5的基础上的灵活应用.让数学思维经历了从特殊到一般的弱抽象，再从一般到特殊的强抽象过程.这种数学抽象方法的循环运用，给学生以极大的数学思维层面的深层次享受.
【例7】 分組合作探究：请你用不同的方法求解例6第（2）问.
[设计意图]一题多解.既探寻知识之间的联系又训练学生对通性通法的理解与运用能力.
通过合作探究，学生得出以下解题方法.
解法一：根据直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，设其中一条直线的斜率为k，则另一条直线的斜率为-1-k，从而根据两直线的点斜式方程分别与椭圆方程联立求解得A、B两点的坐标，再写出直线AB的方程，最后运用例2总结的方法得解.
这种解法在解析几何也常用，其关键是减少解题过程中的待定系数（由原来的k，m减少到只有k）.
解法二：特殊值法.即根据位置找到直线可能过的定点为（2，-1）后，再证明过此定点的直线l一定符合题意，从而得解.
特殊值法在解选择题时常用，但把它用来求解这类恒成立问题却往往非常实用.它实际上是一种逆向的思维方法，可提高学生的逆向思维能力.
解法三：参数法.根据椭圆的参数方程，设它们的坐标为
A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）
.代入条件kP2A kP2B=-1中得到参数α、β的关系式，再代入直线l的方程中，仍然由例2的方法得解.
【例8】 例6（2）改为（前面所有条件不变）：设直线l不经过点P（0，-1）且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1，证明：l过定点.
[设计意图]采用例6完全相同的解题方法，可以求解得此时直线过定点（-2，-1）.一题多变是命题的基本策略之一.此问题中把点由（0，1）变为其关于x轴的对称点P（0，-1）后，得出对称的结论：原命题中定点（2，-1）与本问题中定点（-2，-1）也关于y轴对称.引导学生对已形成的通法进行巩固，实际上是强、弱抽象方法的再次运用，这种对问题的改变，是培养学生数学思维方法与能力的最好方法.
【例9】 把例6中第（2）问改为：若直线P2A与直线P2B的斜率的和为非零实常数p（其他条件不变），还能证明直线l过定点吗？若能，请求出定点的坐标.
[设计意图]仍然通过与例6完全相同的解法，求证出直线l过定点（-2p，-p）.把常数-1用常数p表示后，增加了运算难度，强化了通法的应用，培养了学生的弱抽象能力及运算能力.
三、对核心素养视角下数学抽象能力培养的思考
1.强化逆向思维训练
逆向思考是数学发现（或发明）最有力的方法之一.如果一个问题的解答陷入毫无希望的状况时，试着把这个问题颠倒过来，把问题作为论据，把论据作为问题，往往会收到意想不到的效果.
教育承载着培养创新人才的重任.但创新人才需要创造性思维，而创造性思维的一个重要成分就是逆向思维.高中数学内容中有非常多的逆向思维的实例.比如，逆运算（对数与指数等）、逆命题、函数与反函数、微分与积分、立体几何的性质与判定等.只要教师在数学课堂中经常提示逆向的本质，就不但能让学生把新知识合理地建构在原有的知识体系上，达到温故而知新的效果，还能让学生不断地认识逆向思维的过程和方法，把数学课堂变成培养学生核心素养的天堂.逆向思维的训练，既能提高学生一题多解、一题多变的解题能力，又能训练学生的批判性思维能力和创造性思维能力.因此，逆向思维的训练过程就是核心素养的养成过程.
2.转变数学知识观
素养不是知识，但知识的积累是素养形成的必要而不充分条件.数学知识不是被储存的一堆事实，而是数学的思维方式.伴随知识社会的到来，知识的价值正与日俱增.在信息时代，要让知识的学习过程成为素养的形成过程，关键是要使数学知识的形成过程成为课堂教学的对象和可利用的资源，让知识成为教学探究活动的“副产品”.即知识是过程，而非产品.上述例题的解决过程即是题型及其通法的教学过程，也是学生数学抽象思维能力的培养过程，即数学核心素养的形成过程.
（1）在数学概念课中培养数学抽象能力
重视“双基”教学是我国数学教育的优良传统.数学核心素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动中逐步形成的.从数学抽象的四个表现来看，数学概念又是最基本的.概念是思维的单元和细胞，概念组成命题，命题形成判断，数学
思想
与方法是数学知识在更高层次的抽象和概括.重视概念教学，提升概念教学水平，其中最重要的是抓数学概念形成的教学，要选取学生熟悉的典型实例，提供丰富的生活背景材料，创设恰当的情境，让学生经历完整的数学概念的形成过程.
（2）在复习课、方法总结中提升数学抽象能力
通法的总结归纳与形成既是从特殊到一般的弱抽象，也是数学审美直觉中的统一性、简单性与对称性的直接体现；根据题型的通法解决问题又是从一般到特殊的强抽象.因此，复习课、方法总结课是非常重要的数学抽象素养的培养课型.
3.转变数学方法观，倡导深度学习与协作学习
一切知识，只有成为学生探究与实践的对象时，其学习过程才有可能成为素养发展的过程.因此，转变数学知识的学习方式是素养发展的前提.为此，一要倡导深度学习，让数学知识学习成为批判性思维和数学问题解决的过程；二要倡导协作学习，让知识学习成为交往与协作，即集体创造知识的过程.在此过程中，学生的数学抽象能力和其自主发展、合作参与、创新实践等能力都能得到提高，从而让数学知识的学习过程真正成为学生数学核心素养的培养过程.
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]问题；数学抽象；核心素养；案例
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02000903
一、对高中数学核心素养下的数学抽象的认识
高中数学核心素养包括六个方面，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体.
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.一切数学对象都是抽象思维的产物.高中数学核心素养视角下数学抽象主要表现为：（1）获得数学概念与规则；（2）提出数学命题与模型；（3）形成数学
思想
与方法；（4）认识数学结构与体系.
数学抽象包括四个方面：
1.同向思维的数学抽象.即思维在原来方向上的继续，它主要包括弱抽象和类比联想等方法.
2.逆向思维的数学抽象.指与原先思维相反方向上的思考与研究，它往往能发现原命题中的前提是否为相应结论的充要条件，可以加深学生对有关概念的本质特性的认识，从而促进概念的精确化.它主要包括强抽象、精确化与完备化的思维方法.
3.悖向思维的数学抽象.即背离原来的认识并在直接对立的层面上探索新的发展可能性.它虽然与已建立的认识直接相对立，但并不意味着直接的矛盾，而只是表明新的研究是与已有的认识相冲突.能否自觉地应用悖向思维，即能否自觉地冲破旧有思想的束缚，对于一些重要的发现往往具有决定性的意义.
4.审美直觉的数学抽象.“数学发明即是选择”（庞加莱语），而正是审美直觉起着这种特殊的“选择”作用.因此，可以“美的追求”作为数学中自觉的创造性活动的指导性原则，而形成通常所说的“数学中的美学方法”，它主要包括四个原则：简单性、统一性、对称性和奇异性.
二、案例研究
1.寻求来源，问题初探，获得概念与规则
【例1】 [《普通高中课程标准实验教科书人教A版数学》（以下简称“教材”，必修2，第144页，复习参考题B组第5题]已知圆C：（x-1）2 （y-2）2=25，
直线l：（2m 1）x （m 1）y-7m-4=0.求证：直线l恒过定点.
[设计意图]通过教材上的习题，引导学生分析、理解“恒”的含义.把原直线l：
（2m 1）x （m 1）y-7m-4=0
转化为m（2x y-7） （x y-4）=0后，为什么方程组
2x y-7=0x y-4=0
恒成立？显然，直线l恒过定点是相对于实数m的变化而言的，即无论m的值怎样改变，等式m（2x y-7） （x y-4）=0恒成立，所以
2x y-7=0x y-4=0
，即直线l恒过定点（3，1）.让学生亲自参与知识（恒成立）的形成过程.
【例2】 通过上述例题，你认为可以怎样判定一条直线是否过一定点？怎样求出这个定点的坐标？
[设计意图]引导学生归纳出解题的通法.这是从特殊到一般的弱抽象过程，体现同向思维的数学抽象过程.这对学生数学抽象思维能力的提高有着极其重要的作用.当然，学生还可以根据直线方程的点斜式方程求其定点.
【例3】 已知点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M.试根据下列条件分别求点M的轨迹方程.
（1）（选修2-1，第41页例3）直线AM与BM的斜率之积为-49；
（2）（选修2-1，第55页探究）直线AM与BM的斜率之积为49；
（3）（选修2-1，第80页复习参考题A组第10题）点A、B分别为△ABC的两个顶点且AC与BC的斜率之积为m（m≠0），试探求顶点C的轨迹方程.
[设计意图]通过对相似问题的求解，形成对一类问题的求解方法及结果的类比研究.通过对从特殊到一般问题[例3第（3）问]的求解，再次强化弱抽象这种正向数学抽象在数学解题中的应用，从而促使学生数学核心素养的提高.
【例4】 已知点A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M.试根据下列条件分别求点M的轨迹方程.
（1）（選修2-1，第42页练习第4题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的商为2.
（2）（选修2-1，第74页B组第3题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为2.
（3）（选修2-1，第81页B组第5题）直线AM的斜率与直线BM的斜率的和为2.
[设计意图]通过运用例3形成的求解方法，再解决相似问题，体现类比这种数学抽象方法的应用.
【例5】 通过例3和例4，你有什么感悟？
[设计意图]一个开放性的问题，让学生可以从条件“已知两直线的斜率的和（或差、积和商）为常数”的应用、求轨迹方程的五步法、轨迹的完备性等多角度思考和总结，既可以形成对解决这类问题的通法，又对数学审美直觉的简单性、统一性有了直观的感知，进而提高学生数学审美直觉的数学抽象思维能力.
2.一题多解，思维发散，提出命题与模型
【例6】 （2017年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆C：
x2a2 y2b2=1
（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1.证明：l过定点.
[设计意图]通过类比例3、4的通法，把点A、B的坐标代入
kP2A kP2B=-1
中得到
k=-m 12
，再类比例1的方法，代回到直线的方程中得
y=-m 12x m
，即
m（x-2） （x 2y）=0
或
y 1=-m 12（x-2）
，从而得直线过定点（2，-1）.
这种方法是在例1至例5的基础上的灵活应用.让数学思维经历了从特殊到一般的弱抽象，再从一般到特殊的强抽象过程.这种数学抽象方法的循环运用，给学生以极大的数学思维层面的深层次享受.
【例7】 分組合作探究：请你用不同的方法求解例6第（2）问.
[设计意图]一题多解.既探寻知识之间的联系又训练学生对通性通法的理解与运用能力.
通过合作探究，学生得出以下解题方法.
解法一：根据直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，设其中一条直线的斜率为k，则另一条直线的斜率为-1-k，从而根据两直线的点斜式方程分别与椭圆方程联立求解得A、B两点的坐标，再写出直线AB的方程，最后运用例2总结的方法得解.
这种解法在解析几何也常用，其关键是减少解题过程中的待定系数（由原来的k，m减少到只有k）.
解法二：特殊值法.即根据位置找到直线可能过的定点为（2，-1）后，再证明过此定点的直线l一定符合题意，从而得解.
特殊值法在解选择题时常用，但把它用来求解这类恒成立问题却往往非常实用.它实际上是一种逆向的思维方法，可提高学生的逆向思维能力.
解法三：参数法.根据椭圆的参数方程，设它们的坐标为
A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）
.代入条件kP2A kP2B=-1中得到参数α、β的关系式，再代入直线l的方程中，仍然由例2的方法得解.
【例8】 例6（2）改为（前面所有条件不变）：设直线l不经过点P（0，-1）且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1，证明：l过定点.
[设计意图]采用例6完全相同的解题方法，可以求解得此时直线过定点（-2，-1）.一题多变是命题的基本策略之一.此问题中把点由（0，1）变为其关于x轴的对称点P（0，-1）后，得出对称的结论：原命题中定点（2，-1）与本问题中定点（-2，-1）也关于y轴对称.引导学生对已形成的通法进行巩固，实际上是强、弱抽象方法的再次运用，这种对问题的改变，是培养学生数学思维方法与能力的最好方法.
【例9】 把例6中第（2）问改为：若直线P2A与直线P2B的斜率的和为非零实常数p（其他条件不变），还能证明直线l过定点吗？若能，请求出定点的坐标.
[设计意图]仍然通过与例6完全相同的解法，求证出直线l过定点（-2p，-p）.把常数-1用常数p表示后，增加了运算难度，强化了通法的应用，培养了学生的弱抽象能力及运算能力.
三、对核心素养视角下数学抽象能力培养的思考
1.强化逆向思维训练
逆向思考是数学发现（或发明）最有力的方法之一.如果一个问题的解答陷入毫无希望的状况时，试着把这个问题颠倒过来，把问题作为论据，把论据作为问题，往往会收到意想不到的效果.
教育承载着培养创新人才的重任.但创新人才需要创造性思维，而创造性思维的一个重要成分就是逆向思维.高中数学内容中有非常多的逆向思维的实例.比如，逆运算（对数与指数等）、逆命题、函数与反函数、微分与积分、立体几何的性质与判定等.只要教师在数学课堂中经常提示逆向的本质，就不但能让学生把新知识合理地建构在原有的知识体系上，达到温故而知新的效果，还能让学生不断地认识逆向思维的过程和方法，把数学课堂变成培养学生核心素养的天堂.逆向思维的训练，既能提高学生一题多解、一题多变的解题能力，又能训练学生的批判性思维能力和创造性思维能力.因此，逆向思维的训练过程就是核心素养的养成过程.
2.转变数学知识观
素养不是知识，但知识的积累是素养形成的必要而不充分条件.数学知识不是被储存的一堆事实，而是数学的思维方式.伴随知识社会的到来，知识的价值正与日俱增.在信息时代，要让知识的学习过程成为素养的形成过程，关键是要使数学知识的形成过程成为课堂教学的对象和可利用的资源，让知识成为教学探究活动的“副产品”.即知识是过程，而非产品.上述例题的解决过程即是题型及其通法的教学过程，也是学生数学抽象思维能力的培养过程，即数学核心素养的形成过程.
（1）在数学概念课中培养数学抽象能力
重视“双基”教学是我国数学教育的优良传统.数学核心素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动中逐步形成的.从数学抽象的四个表现来看，数学概念又是最基本的.概念是思维的单元和细胞，概念组成命题，命题形成判断，数学
思想
与方法是数学知识在更高层次的抽象和概括.重视概念教学，提升概念教学水平，其中最重要的是抓数学概念形成的教学，要选取学生熟悉的典型实例，提供丰富的生活背景材料，创设恰当的情境，让学生经历完整的数学概念的形成过程.
（2）在复习课、方法总结中提升数学抽象能力
通法的总结归纳与形成既是从特殊到一般的弱抽象，也是数学审美直觉中的统一性、简单性与对称性的直接体现；根据题型的通法解决问题又是从一般到特殊的强抽象.因此，复习课、方法总结课是非常重要的数学抽象素养的培养课型.
3.转变数学方法观，倡导深度学习与协作学习
一切知识，只有成为学生探究与实践的对象时，其学习过程才有可能成为素养发展的过程.因此，转变数学知识的学习方式是素养发展的前提.为此，一要倡导深度学习，让数学知识学习成为批判性思维和数学问题解决的过程；二要倡导协作学习，让知识学习成为交往与协作，即集体创造知识的过程.在此过程中，学生的数学抽象能力和其自主发展、合作参与、创新实践等能力都能得到提高，从而让数学知识的学习过程真正成为学生数学核心素养的培养过程.
（责任编辑 黄桂坚）