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摘要：逢低买入是一种新型的在线动态价格机制。本文以B2B开放式逢低买入拍卖为研究对象，在买家数量确定且独立投标的条件下，将已有的针对两个价格水平下买家最优订货决策拓展到更复杂的多个价格水平的最优订货决策问题。本文提出的零售商投标决策定理，不仅满足了买家的实际需求，也提高了决策的实用性。
关键词：逢低买入 开放式拍卖 投标决策 多价格水平
Bidding Decision on Open Group-buying Online Auction with the Certain Number of the Bidders
Deng Guishi Bai Xiaohong
Abstract:Group-buying online auction (GBA) is a new kind of dynamic pricing mechanisms.This paper analyzes the bidder’s optimal decision with the case that each bidder bids independently based on the B2B open group-buying online auction with the certain number of the bidders.Compared to the bidding decision under two-price levels,in this paper,we propose bidder’s optimal bidding decision under multi-price levels which is more complicated and not only satisfies the bidders’ actual demands,but also improves practicability of the decision.
Keywords:Group-buying Open Auction Bidding Decision Multi-price level
【中图分类号】F830.591 【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2009)02-0088-03
1.引言
20世纪90年代以来，随着信息技术和网络技术不断完善发展，电子商务得到了广泛的应用，促使网上拍卖大放异彩，从而形成了许多新型动态定价方式，逢低买入拍卖就是其中一种。逢低买入是以整合买家集合购买力为特色的在线拍卖，这种定价方式基于同质多物品拍卖，其特点在于把买家看作一个整体，交易的最终成交价格取决于所有买家的购买量总和，购买总量越多，最终成交价格越低，拍卖结束后所有得标的买家都以相同的价格（即最终成交价格）采购产品，不存在对小订单买家的价格歧视，因而购买量较少的买家也可能享受原本只有大客户才能获得的优惠价格［1］。
逢低买入拍卖主要分为B2C和B2B两种，根据拍卖过程中买家投标信息是否公开，还可以分为密封式拍卖（Sealed Auction）和开放式拍卖（Open Auction）。逢低买入的商业应用历史不足十年，相关的学术研究也尚处于起步阶段。早期主要是Kahn［2］和Gottlieb［3］等定性分析逢低买入拍卖产生的原因，而后，Kauffman和Wang［4］通过实证方法发现了投标过程中的正参与外部效应、价格下降效应和结束效应。Chen［5］等通过动态博弈模型证明了买家存在简单易行的优超策略：真实地报出自己的估价。随着电子商务低谷期的到来，逢低买入也没能逃过厄运，许多采用逢低买入拍卖方式的网站相继倒闭或者转型，逢低买入的前景变得很模糊。在这种情况下，学术界开始聚焦于研究这一定价机制的应用效果，试图寻找适合其应用的条件。Kauffman和Wang［6］指出：由于逢低买入在实际应用中难以达到预期的需求整合的量，使得大量逢低买入网站难以经营下去；Anand和Aron［7］、Chen［8］等采用不同类型的模型得出类似的结论：在B2C环境中，一般情况下，逢低买入拍卖在收益水平上难以超过固定价格。但是，如果产品或者交易方具有一定的特点时，在B2C模式中，逢低买入拍卖也会优于固定价格。例如：当拍卖品的单位成本具有规模递减效应或卖家风险追求时，B2C逢低买入拍卖将优于固定价格机制。
目前对逢低买入拍卖的研究主要集中在B2C领域，对B2B模式的理论研究还比较欠缺，尚处于探索阶段。在对多家逢低买入拍卖网站比较分析的基础上，Kauffman和Wang（2002）指出：B2B可能成为逢低买入拍卖机制发展的主流。从实际运营效果来看，逢低买入拍卖在B2B领域的发展似乎也更好一些。Cook［9］认为：虽然通过逢低买入拍卖可以享受较低的价格，但是对于普通消费者而言，逢低买入拍卖比较复杂，难于理解。而在B2B领域，对于企业专业的采购人员而言，如果能够实现采购价格的下降，那么，理解并利用这一复杂的机制也是非常可能的。不过，到目前为止，对B2B环境中逢低买入拍卖的研究尚处于探索阶段，而且已有的研究也是针对两个价格水平的情况。本文以B2B开放式逢低买入拍卖为研究对象，在零售商数量确定的前提下，将两个价格水平下的零售商订货决策［10］推广到多个价格水平的情形，使结论适用于更一般的条件，从而能够更好地指导实际的管理决策。
2.模型描述
一个供应商（卖家）采用开放式逢低买入拍卖向k个小订单零售商（买家）销售产品，这些零售商按照他们到达的先后顺序记为零售商1，零售商2，…，零售商k，价格阶梯为W=(w1,w2,…,wm;l1,l2…,lm)，其中wj(j=1,2,…，m)为各阶段的批发价格且wj＞wj+1，lj（j=1,2,…,m）为各阶段批发价格下降的阈值：当零售商的投标数量总和小于lj+1且不低于lj时，最终成交批发价格为wj，lm+1=+∞。开放式拍卖的特点在于：拍卖过程中，零售商公开投标，每个零售商投标的时候都知道已经投标的其他买家的投标情况。
可见，零售商i(1≤i≤k)投标时只需要考虑当前的投标总量、价格阶梯W及在他之后的所有零售商投标总量即可。再假设零售商i在自己的独立市场上以零售价格pi销售商品，面临随机需求Di，Di为服从分布函数为Fi(•)的任意分布。在观察到供应商公布的价格阶梯之后，到达的零售商决定各自的投标策略。每个销售周期结束时，假设剩余产品的残值为0。
对于小订单零售商来说，由于采购量较小，在传统数量折扣机制下每个零售商很难独自满足价格折扣所要求达到的采购数量，从而只能承受较高的采购价格。而逢低买入拍卖则以所有零售商投标数量的总和作为价格折扣的阈值，因此，零售商有可能通过采购能力的动态整合来获得卖家制定的最低采购价格wm。不过，在这种价格机制下，每个零售商的采购价格不仅由自身的投标决定，也要受到其他零售商投标的影响。而且，根据开放式拍卖的特点，后到达的零售商可以观测到先到达零售商的投标信息。
在研究零售商订货决策之前，先定义如下的基本假设［10］：
（1）（效用偏好假设）逢低买入拍卖中，所有的交易方都是期望利润最大化者。
（2）（公共市场信息假设）每一个零售商市场的信息，包括零售价格、面临的随机需求的分布函数等都是公共信息。
（3）（投标数量偏好假设）如果两个投标策略给零售商带来相同的期望利润，那么，零售商倾向于选择投标数量更大的投标策略。这一假设的考虑在于，相同期望利润下，更多的产品数量意味着更高的顾客服务水平。
（4）（零售商随机需求分布概率密度函数连续性假设）任意零售商i面临的需求分布Fi(•)的概率密度函数fi(•)在［0，dmi］上严格正，这里dmi表示零售商i的最大可能需求。这一假设保证零售商i的期望利润πwjpi(qi)在qi上是凹函数，πwjpi(qi)表示当批发价格为wj，投标（订货）数量为qi，市场价格为pi时零售商i的期望利润（j=1,2,…，m）。
（5）（无共谋投标假设）每个零售商独立投标。
（6）（公共数量信息假设）参与投标的零售商数量是公共信息。
3.零售商投标决策
当供应商采用固定价格wj(j=1,2,…，m)时，任意一个零售商i(1≤i≤k)面临的都是经典报童模型中的情形，其期望利润为：
πwjpi(qi)=∫qi0pixdFi(x)+∫+∞qipiqidFi(x)-qiwj
零售商i的最优订货量为：qwjpi=F-1ipi-wjpi
从而，零售商i的最优期望利润为：
πwjpiqwjpi=∫qwjpi0pixdFi(x)
由假设4可知，需求分布Fi(•)是一个严格增函数，则qwjpi将随着wj的减小而严格增加。
零售商i到达时，在观察到价格阶梯W=(w1,w2,…，wm;l1,l2,…,lm)和前面i-1个零售商的投标总量Q及当前投标总量所能达到的成交价格wd的基础上（设前面i-1个零售商的总投标为Bu,i-1(wd,Q)），他投标为bu,i=(hi,qi)后，期望利润函数为：
πWpi(Bu,i-1,bu,i)=
∫qi0pixdFi(x)+∫+∞qipiqidFi(x)
-qi•min1≤j≤mHQ+∑kn=iqn-l′jwj,hi≥WG
0, hi＜WG(1)
其中，WG为最终的批发价格（成交价格），它由所有零售商的投标数量总和决定，WG=min1≤j≤mHQ+∑kn=iqn-ljwj,H(x)=1,x≥00,x＜0
由公式（1）可知，零售商i的期望利润受到其他零售商投标数量的影响。
由于零售商i到达时，他是在已知前面i-1个零售商的决策和总的投标人数之后，再决定自己的投标策略，因此，得到下面的引理：
引理1：当供应商采用逢低买入拍卖销售产品，且零售商i在零售商i-1之后到达（当前的价格折扣为wd）时，为了获得价格折扣wj，j=d+1，d+2,…,m,零售商i的投标数量上限值为qwji，其中
qwji满足：qwji＞qwjpi且πwjpiqwji=πwj-1piqwj-1pi，qwspi表示零售商i在固定价格ws，s=1,2,…,m下的最优订货量。
证明：根据报童模型的性质［11］，对于零售商i的任意投标数量qi，总有πwdpi(qi)＜πwd+1pi(qi)＜…＜πwmpi(qi)
如果零售商i的投标数量qi＞qwji，由于他的期望利润函数πwjpi(qi)在区间qwjpi,+∞是投标数量qi的减函数且qi＞qwji＞qwjpi，则
πwdpi(qi)＜…＜πwj-1pi(qi)＜πwjpi(qi)＜πwjpi(qiwj)=πwj-1pi(qwj-1pi)
可见，若零售商i的投标数量为qi＞qwji，即便成交价格是wj，他的利润也小于固定价格wj-1下的最优利润（πwj-1pi(qwj-1pi)），因此，零售商i的投标数量一定不会超过qwji，即零售商i为了获得价格折扣wj，那么他的投标数量上限值为qwji
定理1 （零售商投标决策） 当供应商采用逢低买入拍卖销售产品，并已知前面i-1个零售商的总投标为Bu,i-1(wd,Q)时，零售商i的最优投标决策为：
b*u,i=(wr,qwrpi),t=r
(wt,min{qwti}),t≥r+1（2）
其中qwrpi=maxd+1≤j≤m{qwjpi∶lj≤Q+∑ks=iqwjps＜lj+1}，t=maxr≤j≤m{j:lj≤Q+∑ks=iqwjs＜lj+1}，t、r分别为价格wt、wr对应的下标，qwtpi≤qwti≤qwti且Q+∑ks=i
qwts
=lt。
证明：（1）当t=r时，即lr≤Q+∑ks=iqwrps＜lr+1，lr＜Q+∑ks=iqwrS＜lr+1且Q+∑ks=iqwjS＜lj,j=r+1,r+2,…m。可见，零售商i在任意价格wj（wj＜wr）的投标数量上限值qwji与其他零售商投标数量的总和都低于lj。即零售商i可以达到的最低价格折扣为wr，而此时零售商i可以获得的最大利润为πwrpi(qwrpi)。因此，最终成交价格将是wr，零售商i的最优投标为b*u,i=(wr,qwrpi)
（2）当t≥r+1时，即零售商i可以达到的最低价格折扣为wt且有Q+∑ks=iqwtps＜lt≤Q+∑ks=iqwts,Q+∑ks=iqwjs＜lj,j=t+1,t+2,…,m
如果零售商i的投标数量qi＜min{qwti}，则零售商i投标后批发价格为wr,wr+1,…,wt-1＞wt中的某一个，可得到：πwrpi(qi)＜πwr+1pi(qi)＜…＜πwt-1pi(qi)≤
πwt-1pi(
qwt-1pi)=
πwtpi(qwti)≤
πwtpi(min{qwti})
因此，理性零售商的投标数量不会少于min{qwti}。虽然零售商i在选择投标数量时，可能有许多取值都满足
qwtpi≤qwti≤qwti且Q+∑ks=iqwts=lt的条件，但是由于在区间［qwtpi,+∞］上，πwtpi(qi)随着qi的增加而减少，所以零售商i会选择满足条件的一系列值中最小值（即min{qwti}）。从而，零售商i的最优投标数量为min{qwti}，最终的成交价格是wt，因此，零售商i的最优投标为b*u,i=(wt,min{qwti})
定理1说明：当供应商的价格阶梯阈值lr+1,…,lm设置过长时（∑ki=1qwji=Q+∑ks=iqwjs＜lj,j=r+1,r+2,…,m ），即零售商i可以获得的最低价格折扣为wr（此时t=r），因此，零售商i将采取固定价格wr下的最优投标数量qwrpi，使成交价格达到wr；当t≥r+1时，零售商i为了获得数量折扣（wt），投标数量需要超过qwtpi（qwtpi＜qwti）且不大于其投标上限qwti，由于零售商i的利润在区间［qwtpi,+∞)上是投标数量的减函数，因此，它的最优投标数量为min{qwti}，这一投标数量刚好使零售商i能获得价格折扣wt，即以价格wt成交。此时，零售商i的最优期望利润也要高于（至少等于）固定价格wt-1下的最优期望利润，并且对顾客的服务水平将得到提高。
算例：已知两个零售商参与投标，按照到达的先后顺序记为零售商1，零售商2，价格阶梯为W=(80,70,65,60;1,21,51,81)，他们在市场上零售价格分别为p1=100,p2=95，最大可能需求分别为dm1=80,dm2=60，面临的随机需求分别为服从［0，80］，［0，60］的均匀分布。
计算结果如表1所示，可见b*u,1=(65,28)，b*u,2=(65,23)，即在逢低买入拍卖下，相对于零售商1和2在固定价格时独立投标可以获得的价格70而言，只要价格下降阈值l3,l4不是过长，零售商1和2的利润和服务水平就会有改善的空间。
4.结论与展望
本文提出了零售商订货决策定理，通过对B2B逢低买入拍卖中买家（即零售商）数量确定情况下，多价格水平时第i个零售商(1≤i≤k)的订货决策的研究可以得出：当零售商需求为多单位产品时，在逢低买入拍卖中，为了获得更低的价格折扣，各个零售商的投标数量会超过他们在固定价格下的最优订货量，并且零售商的利润也得到提高，因此，零售商应该选择逢低买入的价格机制进行投标，并在到达时刻即参与投标。进一步研究工作将从两方面展开：一方面，采用实际数据验证定理结果；另一方面，可以将文中提出的假设条件放松，研究零售商在相关信息（市场价格、需求分布等）不完全的情况下应该采取的相应决策。
参考文献
［1］陈剑、陈熙龙、宋西平著.拍卖理论与网上拍卖［M］，北京：清华大学出版社，2005
［2］Kahn,G. Group buying and the Internet ［R］.Webehavior White Paper,http://www.webehavior.com/whitepapers.htm.2000
［3］Gottlieb,B.Does group-shopping work? The Economics of Mercata and Mobshop［R］.Available at www.slate.lycos.com/Features/groupshop/groupshop.asp.2001
［4］Kauffman,R J and B Wang.New buyers’ arrival under dynamic pricing market microstructure:The case of group-buying discounts on the Internet［J］.Journal of Management Information Systems.2001,18(2):157~188
［5］Chen,J,X L Chen and X P Song.Bidder’s strategy under group-buying auction on the Internet［J］.IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics Part A-Systems and Humans.2002,32(6):680~690
［6］Kauffman,R J and B Wang.Bid together,buy together:On the efficacy of group-buying business models in Internet-based selling［M］.Boca Raton,FL,CRC Press.2002
［7］Anand,K S and R Aron.Group buying on the Web:A comparison of price-discovery mechanisms［J］.Management Science.2003,49(11):1546~1562
［8］Chen,J,X L Chen and X P Song.A comparison of the group-buying auction and the fixed-pricing mechanism［J］.Decision Support Systems.2007,43(2):445~459
［9］Cook,J.Venture capital:Where Mercata led,consumers were unwilling to follow.Seattle Post-Intelligencer［R］.Available on the Internet at seattlep-i.nwsource.com/business/vc122.shtml.2001
［10］刘运辉、陈剑.基于逢低买入网上拍卖的定价与投标策略研究［D］，北京：清华大学经济管理学院，2007
［11］Porteus,E L.Foundations of Stochastic Inventory Theory［M］.Stanford,California,Stanford University Press.2002
关键词：逢低买入 开放式拍卖 投标决策 多价格水平
Bidding Decision on Open Group-buying Online Auction with the Certain Number of the Bidders
Deng Guishi Bai Xiaohong
Abstract:Group-buying online auction (GBA) is a new kind of dynamic pricing mechanisms.This paper analyzes the bidder’s optimal decision with the case that each bidder bids independently based on the B2B open group-buying online auction with the certain number of the bidders.Compared to the bidding decision under two-price levels,in this paper,we propose bidder’s optimal bidding decision under multi-price levels which is more complicated and not only satisfies the bidders’ actual demands,but also improves practicability of the decision.
Keywords:Group-buying Open Auction Bidding Decision Multi-price level
【中图分类号】F830.591 【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2009)02-0088-03
1.引言
20世纪90年代以来，随着信息技术和网络技术不断完善发展，电子商务得到了广泛的应用，促使网上拍卖大放异彩，从而形成了许多新型动态定价方式，逢低买入拍卖就是其中一种。逢低买入是以整合买家集合购买力为特色的在线拍卖，这种定价方式基于同质多物品拍卖，其特点在于把买家看作一个整体，交易的最终成交价格取决于所有买家的购买量总和，购买总量越多，最终成交价格越低，拍卖结束后所有得标的买家都以相同的价格（即最终成交价格）采购产品，不存在对小订单买家的价格歧视，因而购买量较少的买家也可能享受原本只有大客户才能获得的优惠价格［1］。
逢低买入拍卖主要分为B2C和B2B两种，根据拍卖过程中买家投标信息是否公开，还可以分为密封式拍卖（Sealed Auction）和开放式拍卖（Open Auction）。逢低买入的商业应用历史不足十年，相关的学术研究也尚处于起步阶段。早期主要是Kahn［2］和Gottlieb［3］等定性分析逢低买入拍卖产生的原因，而后，Kauffman和Wang［4］通过实证方法发现了投标过程中的正参与外部效应、价格下降效应和结束效应。Chen［5］等通过动态博弈模型证明了买家存在简单易行的优超策略：真实地报出自己的估价。随着电子商务低谷期的到来，逢低买入也没能逃过厄运，许多采用逢低买入拍卖方式的网站相继倒闭或者转型，逢低买入的前景变得很模糊。在这种情况下，学术界开始聚焦于研究这一定价机制的应用效果，试图寻找适合其应用的条件。Kauffman和Wang［6］指出：由于逢低买入在实际应用中难以达到预期的需求整合的量，使得大量逢低买入网站难以经营下去；Anand和Aron［7］、Chen［8］等采用不同类型的模型得出类似的结论：在B2C环境中，一般情况下，逢低买入拍卖在收益水平上难以超过固定价格。但是，如果产品或者交易方具有一定的特点时，在B2C模式中，逢低买入拍卖也会优于固定价格。例如：当拍卖品的单位成本具有规模递减效应或卖家风险追求时，B2C逢低买入拍卖将优于固定价格机制。
目前对逢低买入拍卖的研究主要集中在B2C领域，对B2B模式的理论研究还比较欠缺，尚处于探索阶段。在对多家逢低买入拍卖网站比较分析的基础上，Kauffman和Wang（2002）指出：B2B可能成为逢低买入拍卖机制发展的主流。从实际运营效果来看，逢低买入拍卖在B2B领域的发展似乎也更好一些。Cook［9］认为：虽然通过逢低买入拍卖可以享受较低的价格，但是对于普通消费者而言，逢低买入拍卖比较复杂，难于理解。而在B2B领域，对于企业专业的采购人员而言，如果能够实现采购价格的下降，那么，理解并利用这一复杂的机制也是非常可能的。不过，到目前为止，对B2B环境中逢低买入拍卖的研究尚处于探索阶段，而且已有的研究也是针对两个价格水平的情况。本文以B2B开放式逢低买入拍卖为研究对象，在零售商数量确定的前提下，将两个价格水平下的零售商订货决策［10］推广到多个价格水平的情形，使结论适用于更一般的条件，从而能够更好地指导实际的管理决策。
2.模型描述
一个供应商（卖家）采用开放式逢低买入拍卖向k个小订单零售商（买家）销售产品，这些零售商按照他们到达的先后顺序记为零售商1，零售商2，…，零售商k，价格阶梯为W=(w1,w2,…,wm;l1,l2…,lm)，其中wj(j=1,2,…，m)为各阶段的批发价格且wj＞wj+1，lj（j=1,2,…,m）为各阶段批发价格下降的阈值：当零售商的投标数量总和小于lj+1且不低于lj时，最终成交批发价格为wj，lm+1=+∞。开放式拍卖的特点在于：拍卖过程中，零售商公开投标，每个零售商投标的时候都知道已经投标的其他买家的投标情况。
可见，零售商i(1≤i≤k)投标时只需要考虑当前的投标总量、价格阶梯W及在他之后的所有零售商投标总量即可。再假设零售商i在自己的独立市场上以零售价格pi销售商品，面临随机需求Di，Di为服从分布函数为Fi(•)的任意分布。在观察到供应商公布的价格阶梯之后，到达的零售商决定各自的投标策略。每个销售周期结束时，假设剩余产品的残值为0。
对于小订单零售商来说，由于采购量较小，在传统数量折扣机制下每个零售商很难独自满足价格折扣所要求达到的采购数量，从而只能承受较高的采购价格。而逢低买入拍卖则以所有零售商投标数量的总和作为价格折扣的阈值，因此，零售商有可能通过采购能力的动态整合来获得卖家制定的最低采购价格wm。不过，在这种价格机制下，每个零售商的采购价格不仅由自身的投标决定，也要受到其他零售商投标的影响。而且，根据开放式拍卖的特点，后到达的零售商可以观测到先到达零售商的投标信息。
在研究零售商订货决策之前，先定义如下的基本假设［10］：
（1）（效用偏好假设）逢低买入拍卖中，所有的交易方都是期望利润最大化者。
（2）（公共市场信息假设）每一个零售商市场的信息，包括零售价格、面临的随机需求的分布函数等都是公共信息。
（3）（投标数量偏好假设）如果两个投标策略给零售商带来相同的期望利润，那么，零售商倾向于选择投标数量更大的投标策略。这一假设的考虑在于，相同期望利润下，更多的产品数量意味着更高的顾客服务水平。
（4）（零售商随机需求分布概率密度函数连续性假设）任意零售商i面临的需求分布Fi(•)的概率密度函数fi(•)在［0，dmi］上严格正，这里dmi表示零售商i的最大可能需求。这一假设保证零售商i的期望利润πwjpi(qi)在qi上是凹函数，πwjpi(qi)表示当批发价格为wj，投标（订货）数量为qi，市场价格为pi时零售商i的期望利润（j=1,2,…，m）。
（5）（无共谋投标假设）每个零售商独立投标。
（6）（公共数量信息假设）参与投标的零售商数量是公共信息。
3.零售商投标决策
当供应商采用固定价格wj(j=1,2,…，m)时，任意一个零售商i(1≤i≤k)面临的都是经典报童模型中的情形，其期望利润为：
πwjpi(qi)=∫qi0pixdFi(x)+∫+∞qipiqidFi(x)-qiwj
零售商i的最优订货量为：qwjpi=F-1ipi-wjpi
从而，零售商i的最优期望利润为：
πwjpiqwjpi=∫qwjpi0pixdFi(x)
由假设4可知，需求分布Fi(•)是一个严格增函数，则qwjpi将随着wj的减小而严格增加。
零售商i到达时，在观察到价格阶梯W=(w1,w2,…，wm;l1,l2,…,lm)和前面i-1个零售商的投标总量Q及当前投标总量所能达到的成交价格wd的基础上（设前面i-1个零售商的总投标为Bu,i-1(wd,Q)），他投标为bu,i=(hi,qi)后，期望利润函数为：
πWpi(Bu,i-1,bu,i)=
∫qi0pixdFi(x)+∫+∞qipiqidFi(x)
-qi•min1≤j≤mHQ+∑kn=iqn-l′jwj,hi≥WG
0, hi＜WG(1)
其中，WG为最终的批发价格（成交价格），它由所有零售商的投标数量总和决定，WG=min1≤j≤mHQ+∑kn=iqn-ljwj,H(x)=1,x≥00,x＜0
由公式（1）可知，零售商i的期望利润受到其他零售商投标数量的影响。
由于零售商i到达时，他是在已知前面i-1个零售商的决策和总的投标人数之后，再决定自己的投标策略，因此，得到下面的引理：
引理1：当供应商采用逢低买入拍卖销售产品，且零售商i在零售商i-1之后到达（当前的价格折扣为wd）时，为了获得价格折扣wj，j=d+1，d+2,…,m,零售商i的投标数量上限值为qwji，其中
qwji满足：qwji＞qwjpi且πwjpiqwji=πwj-1piqwj-1pi，qwspi表示零售商i在固定价格ws，s=1,2,…,m下的最优订货量。
证明：根据报童模型的性质［11］，对于零售商i的任意投标数量qi，总有πwdpi(qi)＜πwd+1pi(qi)＜…＜πwmpi(qi)
如果零售商i的投标数量qi＞qwji，由于他的期望利润函数πwjpi(qi)在区间qwjpi,+∞是投标数量qi的减函数且qi＞qwji＞qwjpi，则
πwdpi(qi)＜…＜πwj-1pi(qi)＜πwjpi(qi)＜πwjpi(qiwj)=πwj-1pi(qwj-1pi)
可见，若零售商i的投标数量为qi＞qwji，即便成交价格是wj，他的利润也小于固定价格wj-1下的最优利润（πwj-1pi(qwj-1pi)），因此，零售商i的投标数量一定不会超过qwji，即零售商i为了获得价格折扣wj，那么他的投标数量上限值为qwji
定理1 （零售商投标决策） 当供应商采用逢低买入拍卖销售产品，并已知前面i-1个零售商的总投标为Bu,i-1(wd,Q)时，零售商i的最优投标决策为：
b*u,i=(wr,qwrpi),t=r
(wt,min{qwti}),t≥r+1（2）
其中qwrpi=maxd+1≤j≤m{qwjpi∶lj≤Q+∑ks=iqwjps＜lj+1}，t=maxr≤j≤m{j:lj≤Q+∑ks=iqwjs＜lj+1}，t、r分别为价格wt、wr对应的下标，qwtpi≤qwti≤qwti且Q+∑ks=i
qwts
=lt。
证明：（1）当t=r时，即lr≤Q+∑ks=iqwrps＜lr+1，lr＜Q+∑ks=iqwrS＜lr+1且Q+∑ks=iqwjS＜lj,j=r+1,r+2,…m。可见，零售商i在任意价格wj（wj＜wr）的投标数量上限值qwji与其他零售商投标数量的总和都低于lj。即零售商i可以达到的最低价格折扣为wr，而此时零售商i可以获得的最大利润为πwrpi(qwrpi)。因此，最终成交价格将是wr，零售商i的最优投标为b*u,i=(wr,qwrpi)
（2）当t≥r+1时，即零售商i可以达到的最低价格折扣为wt且有Q+∑ks=iqwtps＜lt≤Q+∑ks=iqwts,Q+∑ks=iqwjs＜lj,j=t+1,t+2,…,m
如果零售商i的投标数量qi＜min{qwti}，则零售商i投标后批发价格为wr,wr+1,…,wt-1＞wt中的某一个，可得到：πwrpi(qi)＜πwr+1pi(qi)＜…＜πwt-1pi(qi)≤
πwt-1pi(
qwt-1pi)=
πwtpi(qwti)≤
πwtpi(min{qwti})
因此，理性零售商的投标数量不会少于min{qwti}。虽然零售商i在选择投标数量时，可能有许多取值都满足
qwtpi≤qwti≤qwti且Q+∑ks=iqwts=lt的条件，但是由于在区间［qwtpi,+∞］上，πwtpi(qi)随着qi的增加而减少，所以零售商i会选择满足条件的一系列值中最小值（即min{qwti}）。从而，零售商i的最优投标数量为min{qwti}，最终的成交价格是wt，因此，零售商i的最优投标为b*u,i=(wt,min{qwti})
定理1说明：当供应商的价格阶梯阈值lr+1,…,lm设置过长时（∑ki=1qwji=Q+∑ks=iqwjs＜lj,j=r+1,r+2,…,m ），即零售商i可以获得的最低价格折扣为wr（此时t=r），因此，零售商i将采取固定价格wr下的最优投标数量qwrpi，使成交价格达到wr；当t≥r+1时，零售商i为了获得数量折扣（wt），投标数量需要超过qwtpi（qwtpi＜qwti）且不大于其投标上限qwti，由于零售商i的利润在区间［qwtpi,+∞)上是投标数量的减函数，因此，它的最优投标数量为min{qwti}，这一投标数量刚好使零售商i能获得价格折扣wt，即以价格wt成交。此时，零售商i的最优期望利润也要高于（至少等于）固定价格wt-1下的最优期望利润，并且对顾客的服务水平将得到提高。
算例：已知两个零售商参与投标，按照到达的先后顺序记为零售商1，零售商2，价格阶梯为W=(80,70,65,60;1,21,51,81)，他们在市场上零售价格分别为p1=100,p2=95，最大可能需求分别为dm1=80,dm2=60，面临的随机需求分别为服从［0，80］，［0，60］的均匀分布。
计算结果如表1所示，可见b*u,1=(65,28)，b*u,2=(65,23)，即在逢低买入拍卖下，相对于零售商1和2在固定价格时独立投标可以获得的价格70而言，只要价格下降阈值l3,l4不是过长，零售商1和2的利润和服务水平就会有改善的空间。
4.结论与展望
本文提出了零售商订货决策定理，通过对B2B逢低买入拍卖中买家（即零售商）数量确定情况下，多价格水平时第i个零售商(1≤i≤k)的订货决策的研究可以得出：当零售商需求为多单位产品时，在逢低买入拍卖中，为了获得更低的价格折扣，各个零售商的投标数量会超过他们在固定价格下的最优订货量，并且零售商的利润也得到提高，因此，零售商应该选择逢低买入的价格机制进行投标，并在到达时刻即参与投标。进一步研究工作将从两方面展开：一方面，采用实际数据验证定理结果；另一方面，可以将文中提出的假设条件放松，研究零售商在相关信息（市场价格、需求分布等）不完全的情况下应该采取的相应决策。
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