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摘要：为满足市场的需要，许多机械制造企业都根据订货合同的要求来组织多品种小批量生产。对于特定的加工零件，有时质量控制指标并不唯一，而这些指标之间经常存在着一定的相关关系，仅靠分别对它们进行单变量质量控制，其结果往往不太可靠。因此研究多品种小批量生产工序的质量控制，对于保证提高企业产品质量，降低废品损失，提高工作效率，增加经济效益，都有着十分重要的现实意义。本文针对多品种小批量生产环境波动相对较大的特点、需要控制的质量指标多的情况，讨论贝叶斯理论的多重线性数学模型的实用性，以实现多品种小批量生产的多变量控制。
关键词：多品种 小批量 多变量质量控制 控制图 贝叶斯理论
The application of Bayesian theory in quality management
Chen Lichang Wang Ruijie Zhang Yonghua Zhang Tianshun
Abstracts:To meet the needs of the market,many machinery manufacturing enterprises are in accordance with the requirements of ordering the contract to organize more varieties of small batch production.Processing for specific parts,and sometimes is not the only indicator of quality control,and these indicators often there is some correlation between them alone,respectively,singlevariable quality control,the result is often less reliable.The study variety small batch production process quality control,improve the enterprises to ensure product quality,reduce scrap loss,improve efficiency,increase economic efficiency,have a very important practical significance.In this paper,and more varieties of small batch production environment characterized by relatively large fluctuations,the need to control the quality of indicators of the situation,discuss the Bayesian theory of multiple linear mathematical model of practicality,in order to achieve more multivariety small batch production control.
Keywords:Multiproduct Small Batch Multivariate Quality Control Control Charts Bayesian theory
【中图分类号】F270.7【文献标识码】B 【文章编号】1009-9646(2009)04-0026-03
随着市场竞争的加剧，现代企业所处的市场环境发生了深刻的变革，企业竞争越来越强调基于时间的竞争和基于客户需求的竞争。即一方面要求企业、制造商从产品制造方面充分满足顾客需求；同时要求产品交货时间尽可能短，并能快速响应顾客多样化需求。企业的生产方式逐步转向以柔性自动化生产为基础的各种先进生产模式，如计算机集成制造系统（CIMS）、敏捷制造(AM)、大规模定制（MC）等，在我国，随着市场经济的高速发展，产品的个性化趋势日益明显，越来越多的企业开始将单一规格、大批量生产的模式转向为多品种、小批量生产，多品种小批量生产方式开始占有越来越重要的地位［1，2］。多品种小批量加工过程的基本特点［3~5］：产品的品种规格多，专用性强；生产批量小，工艺复杂；制造多采用通用性设备；要求工人的技术熟练程度高；制造过程的连续性不强，经常交替生产，生产技术准备工作量大。针对多品种小批量制造过程波动相对较大的特点，本文提出贝叶斯理论的多重线性数学模型实现多品种小批量多变量质量控制。
1.多变量质量控制数学模型及控制图的建立
由于基于贝叶斯预测统计理论的过程质量控制图是将有关生产过程的历史检验数据与人们对过程的主观评价、预测和判断相结合，通过综合主、客观信息来建立过程的动态模型，对过程变化做出预测，从而在保证预测精度的同时，大大减少对样本容量的要求［4，6，7］。因此，它特别适合于多品种小批量生产的小样本质量控制。
1.1 多品种小批量多变量控制图的数学模型［8］。
如果在所研究的问题中，需要考虑某产品的m个质量特性指标的分组平均值的控制问题，不妨设为y1,y2,…,ym，记为Y=(y1,y2,…,ym)，其期望值分别为β1,β2,…，βm，记为β=（β1,β2,…,βm），并假设期望值与目标值重合，它们之间的关系可以用如下数学模型表示：
y1=β1+u1
y2=β2+u2
ym=βm+um（1）
式（1）中，u1，u2,…,um为随机变量项，u=［u1,u2,…,um］T∽Nm(0,Σ),则u的分布密度函数为：
f(x)=1(2π)m|∑|12e［-12x′∑-1x］
模型（1）可看作是一种不含自变量的特殊多重线性模型，可以直接应用有关多重线性模型的贝叶斯推断结论。
对总体进行抽样，则m个质量特性指标y1,y2,…，ym相应的有n组观测数据yj1，yj2,…,ujm，j=1,2,…,n。根据模型（1），相应的误差项是uj1，uj2，…，ujm，j=1,2,…,n。则他们之间有如下关系：
y11y12…y1m
y21y22…y2m
… …
yn1yn2…ynm=
111［β1β2…βm］+
u11u12…u1m
u21u22…u2m
… …
u1nun2…unm（2）
建立模型(2)后，便可依据贝叶斯预测理论进行预测，进而构造出小批量生产的多指标质量控制方法。
1.2 先验分布中的参数估计。
先验分布中的参数可以通过事先获得的样本数据来求得。设x1,x2,…,xn为来自总体Nm(β,∑)的样本，其中xi是m维的向量，为了能充分利用贝叶斯的理论，首先对所获得的数据进行处理，即在抽样的时候选取每组样本的样本容量为n= 2r(r为正整数)，然后将样本数据进行转换。转换的目的是为了使得新的样本服从均值为0的正态分布。
令：Z1=12(x1-xn)
Z2=12(x2-x1)
… …
Zn=12(xn-xn-1)（3）
则：Zi∽Nm(0,∑),i=1,2,…,n。
这样，转换后的新的样本各质量指标均值为0，各指标的样本方差为：
Si=1n-1∑nk=1(zik-zik)2，i=1,2,…,m，其中，zik=1n∑nk=1zik,i=1,2,…,m。
重复抽样过程p次(根据生产情况决定次数p)，得到p组抽样样本。则1σ2i的样本均值和样本方差分别为：
Mi=1p∑pm=11Sim
Ni=1p-1∑pm=1(1Sim-Mi)2（4）
其中，Sim为第i个质量指标在第m组中的方差。
从另一方面，由于1σ2i∽Γ(ai，bi)，根据Gamma分布的性质，则：
E(1σ2i)=biai
D(1σ2i)=bia2i(5)
由（4）、（5）式可得，Mi=biai,Ni=bia2i(6)
于是ai、bi 的估计值为：i=MiNi,i=Mi2Ni(7)
求得1σ2i∽Γ(ai，bi)分布中的参数ai、bi以后，就得到了协方差Σ的先验分布，即得到密度函数为：
f(x)=xi-1iie-ix，x＞0
x≤0
求得先验分布以后可以通过贝叶斯方法求出更加合理的后验分布，也就是得到模型中的随机误差项u=［u1,u2,…,um］T∽Nm(0,∑)的参数Σ的分布［4］。
下面寻找均值先验分布中的参数C 、D
设x1,x2,…,xn为来自总体Nm(β,∑)的样本，其中xi是m维的向量，重复抽样过程p次(根据生产情况决定次数p)，得到p组抽样样本。可利用极大似然估计法［6］估计均值分布中的参数C、 D 得：
=1p∑pi=1xi
=1p∑pi=1(xi-C)（xi-C）′(8)
其中，xi=∑nk=1xik，即每批中不同样本的相同质量指标的样本均值。
这样先验分布中的全部参数ai,bi,C 和D就确定了,在确定了参数β、Σ的先验分布以后，下面就可以对参数β、Σ进行贝叶斯估计。
方差的贝叶斯估计值为：2i=ai+12∑nk=1(ξik-βk)2bi+n2（9）
参数的贝叶斯估计值为：=E(β|ξ1,ξ2,…，ξn)=(∑+nD)-1(∑C+nDτ)（10）
其中Σ可以用样本方差代替。
1.3 多品种小批量多变量质量控制图的建立。
多品种小批量多变量质量控制图的建立过程如下：
首先利用历史数据，确定先验分布中的参数，再利用先验分布的参数和新抽取的样本数据来确定后验分布中的参数，然后利用均值和方差的期望值代替样本分布中的均值和协方差的贝叶斯估计值和∑＾，最后构造出统计量。
x2M=(x-)′∑＾-1(x-)(11)
针对统计量x2M,取一定的虚报概率α，即可以确定上、下控制限。这里由于统计量构造的特殊性(取值大于等于0)，故其控制下限为0，控制上限就是x2a(m)。至此，就可构造一个完整的多指标控制图。当观测点的x2M值落在控制界限内，且无排列异常现象，则可以判断工序处于统计受控状态。否则说明均值向量对目标值有显著偏移，此时应针对问题查明原因，并对其予以排除。
2.应用实例
通过对国内某机床机械制造企业的调研，本实例选用的零件是落地铣镗床的主轴，关键工序为精磨工序（磨主轴外圆和孔）。从车间生产过程中连续检验20批次产品，获得主轴加工的数据，取3个质量特性指标:X1—外圆直径Φ160h9、X2—外圆直径Φ119.9h9、X3—孔Φ82H7。收集以上3个质量指标的检验数据，为方便处理，把得到的数据进行处理（取小数点后三位且同时乘以10）后得到数据见下表：
表1 不同子样本的参数测量值及各样本的X2、T2、F计算值
Tab.1 Subsamples of the different parameters of the measured value and Computed values of X2、T2、F of the samples
组号样本序号X1X2X3X2MT2F
1
19.888.799.120.0816 - 0.0163
29.958.819.180.69530.80940.1391
39.958.909.182.27710.59460.4854
49.508.709.050.52860.30010.1057
2
59.858.809.190.73751.09070.1475
610.19.019.282.48231.35480.4965
79.878.849.160.08420.97700.0168
89.868.759.171.88421.42900.1768
3
99.938.789.162.07070.38060.4141
109.608.879.130.21551.36130.0431
119.928.849.192.02990.08710.4060
129.898.929.052.00380.63450.4008
4
139.948.99.142.09031.38440.2181
1410.39.029.251.77970.00870.3559
159.708.999.131.69210.61370.3384
169.908.869.182.10910.81500.4218
5
179.968.829.131.47211.06120.2944
189.818.709.151.44560.32600.2891
199.998.779.171.37530.10990.1752
209.838.859.170.84711.00850.1694
在获得了该零件的三个质量特性后，下面分别求出按传统统计量T2、F与本文所讨论的统计量X2M计算出来的控制图的控制界限，画出各自的控制图，将其进行比较，以此验证统计量X2M的控制图的控制效果。具体步骤如下：
①首先，取前12个样本数据(分成3组，每组4个样本)对先验分布中的参数进行估计，按照式(3)构造数据，从而得到统计量数据Z，见表2：表2 统计量数据Z的计算值
Tab.2 Statistical data for calculating the value of Z
组号新样本序号Z1Z2Z3
1
10.53732-0.770630.23331
20.54439-0.805980.26159
30.54439-0.742350.19796
40.31815-0.56560.24745
2
50.46662-0.742350.27573
60.57974-0.770630.19089
70.50197-0.728210.22624
80.48783-0.784770.29694
3
90.54439-0.813050.26866
100.33229-0.516110.18382
110.51611-0.763560.24745
120.59388-0.685790.09191
②计算各组样本属性指标的样本均值Zik和方差Si ，见表3、表4：
表3 统计量数据Z的均值Zik(数量单位：×10-15)
Tab.3 Statistical data of the mean Z (the number of units:× 10-15)
组号Z1Z2Z3
10.486063-0.721140.235078
20.50904-0.756490.24745
30.496668-0.694630.19796
表4 统计量数据Z的方差Si
Tab.4 Statistical data variance Si
组号Z1Z2Z3
10.018810.017150.00112
20.003650.0010.00345
30.019560.025360.00945
③ 按式(4)计算出统计量数据Z的Mi和Ni值，对应的值如表5如下：
表5 统计量数据Z的Mi和Ni值
Tab.5 Z statistic data of the Mi and Ni values
属性指标Z1Z2Z3
Mi126.1091366.0197429.9732
Ni16403.69301638.1169484.9
再由式(7)即可以得到协方差先验分布的估计值，如表6所示：
表6 协方差先验分布的参数估计值i、i
Tab.6 Covariance parameters prior distribution estimatesi、i
属性指标Z1Z2Z3
i=MiN10.007690.001210.00254
i=M2iNi0.969510.444141.09082
④均值的先验分布中的参数估计值可由式(8)计算得到：
= (9.858 8.834 9.155)
=1.5498,1.1529,0.6003
1.1529,1.1489,1.0928
0.6003,1.0928,1.0613
根据式（9），计算方差的贝叶斯估计值2i，填入下表。
表7 用于贝叶斯估计的样本的样本方差及方差的贝叶斯估计值
Tab.7 Bayesian estimation for the estimated sample variance of sample variance and the estimated value of Bayesian
属性指标Z1Z2Z3
样本方差0.011330.003650.00306
2i0.007930.002720.00233
⑤按照式(10)即可计算出均值的贝叶斯估计值，得：
=［9.85833，8.83417，9.155］
这样，通过计算就可以得到按照统计量x2M=(x-)′∑＾-1(x-)得到每组样本数据的统计量的值，如表1。同时，为了进行比较，分别按照传统的统计量T2=(X-X)′S-1(X-X)和文献［4］建立的F统计量进行计算，分别得到每组样本数据的统计量的值，也附在表1之中。
在计算出各样本的值后，就可以根据样本的值作控制图［9］。取虚报概率α= 0.005，按传统统计量T2=(X-X)′S-1(X-X)建立的控制图，可以得到控制图的控制界限上限（UCL）为0.8437，下限(LCL)为0；按统计量x2M=(x-)′∑＾-1(x-)建立的控制图，可以得到控制图的控制界限的上限（UCL）为2.3165，下限(LCL)为0；按文献［4］建立的F统计量控制图，可以得到控制图的控制界限的上限（UCL）为0.5357，下限(LCL)为0。
对表1中的后三列数据用Excel分别画出控制图，得到三种控制图，分别如图1、图2、图3所示：
从所建的控制图可以看出，对于传统的T2统计多变量控制图，在多品种小批量的情况下(图1)，计算得到的数据经打点后，有许多的点跑到了控制线之外，这样在实际控制过程中，就可能产生误判，因此不适用于多品种小批量生产过程的控制。而用X2统计量控制图与F 统计量控制图［1］ (图2与图3)相比较可以发现，它们之间有较好的一致性，同时都能对生产过程进行较合理的判断，能较好地应用于多品种小批量生产过程的控制。
3.结束语
本文针对多品种小批量制造过程波动相对较大的特点，选用了适合贝叶斯理论的多重线性数学模型。根据贝叶斯理论的特点，选择适合多元分析的先验分布。确定了先验分布中的参数；在确定参数的过程中，将抽取的样本数据进行处理，使得处理后的样本数据能够充分反映样本信息而且方便后续数据处理。通过在多品种小批量机械制造企业的主轴加工的关键工序（精磨工序）开展多变量质量控制，摸索出对不同批次产品的多变量质量特性指标的贝叶斯理论的多重线性数学模型来监控工序的过程质量，实现多品种小批量生产多变量质量控制。通过实例证明，该方法可行、可靠，对实际生产具有一定的指导作用。
参考文献
［1］ 李奔波.多品种小批量生产工序能力和控制图研究,重庆大学博士学位论文,2006.4
［2］ 徐岚,刘嵘侃,陈亚兰等.SPC在多品种小批量生产线的应用研究［J］.微电子学，2007,37(5)：682~684
［3］ 袁普及.基于成组技术的质量控制的研究.南京航空航天大学硕士学位论文,2003.5
［4］ 韩玉启，朱慧明.多元质量特性的贝叶斯均值向量控制图 ［J］.南京理工大学学报,2003,27(5):561~566
［5］ 王建稳.多品种小批量生产情形下的工序质量控制图［J］.数理统计与管理，2002，21(4):34~37
［6］ 王学明.应用多元分析 ［M］.上海：上海财经大学出版社.1999
［7］ 胡兴才.基于小批量的统计过程控制研究与系统开发，南京航空航天大学硕士学位论文,2006.2
［8］ 朱慧明、韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论［M］.北京：科学出版社,2006
［9］ 秦静等.质量管理学 ［M］.北京：科学出版社.2007
关键词：多品种 小批量 多变量质量控制 控制图 贝叶斯理论
The application of Bayesian theory in quality management
Chen Lichang Wang Ruijie Zhang Yonghua Zhang Tianshun
Abstracts:To meet the needs of the market,many machinery manufacturing enterprises are in accordance with the requirements of ordering the contract to organize more varieties of small batch production.Processing for specific parts,and sometimes is not the only indicator of quality control,and these indicators often there is some correlation between them alone,respectively,singlevariable quality control,the result is often less reliable.The study variety small batch production process quality control,improve the enterprises to ensure product quality,reduce scrap loss,improve efficiency,increase economic efficiency,have a very important practical significance.In this paper,and more varieties of small batch production environment characterized by relatively large fluctuations,the need to control the quality of indicators of the situation,discuss the Bayesian theory of multiple linear mathematical model of practicality,in order to achieve more multivariety small batch production control.
Keywords:Multiproduct Small Batch Multivariate Quality Control Control Charts Bayesian theory
【中图分类号】F270.7【文献标识码】B 【文章编号】1009-9646(2009)04-0026-03
随着市场竞争的加剧，现代企业所处的市场环境发生了深刻的变革，企业竞争越来越强调基于时间的竞争和基于客户需求的竞争。即一方面要求企业、制造商从产品制造方面充分满足顾客需求；同时要求产品交货时间尽可能短，并能快速响应顾客多样化需求。企业的生产方式逐步转向以柔性自动化生产为基础的各种先进生产模式，如计算机集成制造系统（CIMS）、敏捷制造(AM)、大规模定制（MC）等，在我国，随着市场经济的高速发展，产品的个性化趋势日益明显，越来越多的企业开始将单一规格、大批量生产的模式转向为多品种、小批量生产，多品种小批量生产方式开始占有越来越重要的地位［1，2］。多品种小批量加工过程的基本特点［3~5］：产品的品种规格多，专用性强；生产批量小，工艺复杂；制造多采用通用性设备；要求工人的技术熟练程度高；制造过程的连续性不强，经常交替生产，生产技术准备工作量大。针对多品种小批量制造过程波动相对较大的特点，本文提出贝叶斯理论的多重线性数学模型实现多品种小批量多变量质量控制。
1.多变量质量控制数学模型及控制图的建立
由于基于贝叶斯预测统计理论的过程质量控制图是将有关生产过程的历史检验数据与人们对过程的主观评价、预测和判断相结合，通过综合主、客观信息来建立过程的动态模型，对过程变化做出预测，从而在保证预测精度的同时，大大减少对样本容量的要求［4，6，7］。因此，它特别适合于多品种小批量生产的小样本质量控制。
1.1 多品种小批量多变量控制图的数学模型［8］。
如果在所研究的问题中，需要考虑某产品的m个质量特性指标的分组平均值的控制问题，不妨设为y1,y2,…,ym，记为Y=(y1,y2,…,ym)，其期望值分别为β1,β2,…，βm，记为β=（β1,β2,…,βm），并假设期望值与目标值重合，它们之间的关系可以用如下数学模型表示：
y1=β1+u1
y2=β2+u2
ym=βm+um（1）
式（1）中，u1，u2,…,um为随机变量项，u=［u1,u2,…,um］T∽Nm(0,Σ),则u的分布密度函数为：
f(x)=1(2π)m|∑|12e［-12x′∑-1x］
模型（1）可看作是一种不含自变量的特殊多重线性模型，可以直接应用有关多重线性模型的贝叶斯推断结论。
对总体进行抽样，则m个质量特性指标y1,y2,…，ym相应的有n组观测数据yj1，yj2,…,ujm，j=1,2,…,n。根据模型（1），相应的误差项是uj1，uj2，…，ujm，j=1,2,…,n。则他们之间有如下关系：
y11y12…y1m
y21y22…y2m
… …
yn1yn2…ynm=
111［β1β2…βm］+
u11u12…u1m
u21u22…u2m
… …
u1nun2…unm（2）
建立模型(2)后，便可依据贝叶斯预测理论进行预测，进而构造出小批量生产的多指标质量控制方法。
1.2 先验分布中的参数估计。
先验分布中的参数可以通过事先获得的样本数据来求得。设x1,x2,…,xn为来自总体Nm(β,∑)的样本，其中xi是m维的向量，为了能充分利用贝叶斯的理论，首先对所获得的数据进行处理，即在抽样的时候选取每组样本的样本容量为n= 2r(r为正整数)，然后将样本数据进行转换。转换的目的是为了使得新的样本服从均值为0的正态分布。
令：Z1=12(x1-xn)
Z2=12(x2-x1)
… …
Zn=12(xn-xn-1)（3）
则：Zi∽Nm(0,∑),i=1,2,…,n。
这样，转换后的新的样本各质量指标均值为0，各指标的样本方差为：
Si=1n-1∑nk=1(zik-zik)2，i=1,2,…,m，其中，zik=1n∑nk=1zik,i=1,2,…,m。
重复抽样过程p次(根据生产情况决定次数p)，得到p组抽样样本。则1σ2i的样本均值和样本方差分别为：
Mi=1p∑pm=11Sim
Ni=1p-1∑pm=1(1Sim-Mi)2（4）
其中，Sim为第i个质量指标在第m组中的方差。
从另一方面，由于1σ2i∽Γ(ai，bi)，根据Gamma分布的性质，则：
E(1σ2i)=biai
D(1σ2i)=bia2i(5)
由（4）、（5）式可得，Mi=biai,Ni=bia2i(6)
于是ai、bi 的估计值为：i=MiNi,i=Mi2Ni(7)
求得1σ2i∽Γ(ai，bi)分布中的参数ai、bi以后，就得到了协方差Σ的先验分布，即得到密度函数为：
f(x)=xi-1iie-ix，x＞0
x≤0
求得先验分布以后可以通过贝叶斯方法求出更加合理的后验分布，也就是得到模型中的随机误差项u=［u1,u2,…,um］T∽Nm(0,∑)的参数Σ的分布［4］。
下面寻找均值先验分布中的参数C 、D
设x1,x2,…,xn为来自总体Nm(β,∑)的样本，其中xi是m维的向量，重复抽样过程p次(根据生产情况决定次数p)，得到p组抽样样本。可利用极大似然估计法［6］估计均值分布中的参数C、 D 得：
=1p∑pi=1xi
=1p∑pi=1(xi-C)（xi-C）′(8)
其中，xi=∑nk=1xik，即每批中不同样本的相同质量指标的样本均值。
这样先验分布中的全部参数ai,bi,C 和D就确定了,在确定了参数β、Σ的先验分布以后，下面就可以对参数β、Σ进行贝叶斯估计。
方差的贝叶斯估计值为：2i=ai+12∑nk=1(ξik-βk)2bi+n2（9）
参数的贝叶斯估计值为：=E(β|ξ1,ξ2,…，ξn)=(∑+nD)-1(∑C+nDτ)（10）
其中Σ可以用样本方差代替。
1.3 多品种小批量多变量质量控制图的建立。
多品种小批量多变量质量控制图的建立过程如下：
首先利用历史数据，确定先验分布中的参数，再利用先验分布的参数和新抽取的样本数据来确定后验分布中的参数，然后利用均值和方差的期望值代替样本分布中的均值和协方差的贝叶斯估计值和∑＾，最后构造出统计量。
x2M=(x-)′∑＾-1(x-)(11)
针对统计量x2M,取一定的虚报概率α，即可以确定上、下控制限。这里由于统计量构造的特殊性(取值大于等于0)，故其控制下限为0，控制上限就是x2a(m)。至此，就可构造一个完整的多指标控制图。当观测点的x2M值落在控制界限内，且无排列异常现象，则可以判断工序处于统计受控状态。否则说明均值向量对目标值有显著偏移，此时应针对问题查明原因，并对其予以排除。
2.应用实例
通过对国内某机床机械制造企业的调研，本实例选用的零件是落地铣镗床的主轴，关键工序为精磨工序（磨主轴外圆和孔）。从车间生产过程中连续检验20批次产品，获得主轴加工的数据，取3个质量特性指标:X1—外圆直径Φ160h9、X2—外圆直径Φ119.9h9、X3—孔Φ82H7。收集以上3个质量指标的检验数据，为方便处理，把得到的数据进行处理（取小数点后三位且同时乘以10）后得到数据见下表：
表1 不同子样本的参数测量值及各样本的X2、T2、F计算值
Tab.1 Subsamples of the different parameters of the measured value and Computed values of X2、T2、F of the samples
组号样本序号X1X2X3X2MT2F
1
19.888.799.120.0816 - 0.0163
29.958.819.180.69530.80940.1391
39.958.909.182.27710.59460.4854
49.508.709.050.52860.30010.1057
2
59.858.809.190.73751.09070.1475
610.19.019.282.48231.35480.4965
79.878.849.160.08420.97700.0168
89.868.759.171.88421.42900.1768
3
99.938.789.162.07070.38060.4141
109.608.879.130.21551.36130.0431
119.928.849.192.02990.08710.4060
129.898.929.052.00380.63450.4008
4
139.948.99.142.09031.38440.2181
1410.39.029.251.77970.00870.3559
159.708.999.131.69210.61370.3384
169.908.869.182.10910.81500.4218
5
179.968.829.131.47211.06120.2944
189.818.709.151.44560.32600.2891
199.998.779.171.37530.10990.1752
209.838.859.170.84711.00850.1694
在获得了该零件的三个质量特性后，下面分别求出按传统统计量T2、F与本文所讨论的统计量X2M计算出来的控制图的控制界限，画出各自的控制图，将其进行比较，以此验证统计量X2M的控制图的控制效果。具体步骤如下：
①首先，取前12个样本数据(分成3组，每组4个样本)对先验分布中的参数进行估计，按照式(3)构造数据，从而得到统计量数据Z，见表2：表2 统计量数据Z的计算值
Tab.2 Statistical data for calculating the value of Z
组号新样本序号Z1Z2Z3
1
10.53732-0.770630.23331
20.54439-0.805980.26159
30.54439-0.742350.19796
40.31815-0.56560.24745
2
50.46662-0.742350.27573
60.57974-0.770630.19089
70.50197-0.728210.22624
80.48783-0.784770.29694
3
90.54439-0.813050.26866
100.33229-0.516110.18382
110.51611-0.763560.24745
120.59388-0.685790.09191
②计算各组样本属性指标的样本均值Zik和方差Si ，见表3、表4：
表3 统计量数据Z的均值Zik(数量单位：×10-15)
Tab.3 Statistical data of the mean Z (the number of units:× 10-15)
组号Z1Z2Z3
10.486063-0.721140.235078
20.50904-0.756490.24745
30.496668-0.694630.19796
表4 统计量数据Z的方差Si
Tab.4 Statistical data variance Si
组号Z1Z2Z3
10.018810.017150.00112
20.003650.0010.00345
30.019560.025360.00945
③ 按式(4)计算出统计量数据Z的Mi和Ni值，对应的值如表5如下：
表5 统计量数据Z的Mi和Ni值
Tab.5 Z statistic data of the Mi and Ni values
属性指标Z1Z2Z3
Mi126.1091366.0197429.9732
Ni16403.69301638.1169484.9
再由式(7)即可以得到协方差先验分布的估计值，如表6所示：
表6 协方差先验分布的参数估计值i、i
Tab.6 Covariance parameters prior distribution estimatesi、i
属性指标Z1Z2Z3
i=MiN10.007690.001210.00254
i=M2iNi0.969510.444141.09082
④均值的先验分布中的参数估计值可由式(8)计算得到：
= (9.858 8.834 9.155)
=1.5498,1.1529,0.6003
1.1529,1.1489,1.0928
0.6003,1.0928,1.0613
根据式（9），计算方差的贝叶斯估计值2i，填入下表。
表7 用于贝叶斯估计的样本的样本方差及方差的贝叶斯估计值
Tab.7 Bayesian estimation for the estimated sample variance of sample variance and the estimated value of Bayesian
属性指标Z1Z2Z3
样本方差0.011330.003650.00306
2i0.007930.002720.00233
⑤按照式(10)即可计算出均值的贝叶斯估计值，得：
=［9.85833，8.83417，9.155］
这样，通过计算就可以得到按照统计量x2M=(x-)′∑＾-1(x-)得到每组样本数据的统计量的值，如表1。同时，为了进行比较，分别按照传统的统计量T2=(X-X)′S-1(X-X)和文献［4］建立的F统计量进行计算，分别得到每组样本数据的统计量的值，也附在表1之中。
在计算出各样本的值后，就可以根据样本的值作控制图［9］。取虚报概率α= 0.005，按传统统计量T2=(X-X)′S-1(X-X)建立的控制图，可以得到控制图的控制界限上限（UCL）为0.8437，下限(LCL)为0；按统计量x2M=(x-)′∑＾-1(x-)建立的控制图，可以得到控制图的控制界限的上限（UCL）为2.3165，下限(LCL)为0；按文献［4］建立的F统计量控制图，可以得到控制图的控制界限的上限（UCL）为0.5357，下限(LCL)为0。
对表1中的后三列数据用Excel分别画出控制图，得到三种控制图，分别如图1、图2、图3所示：
从所建的控制图可以看出，对于传统的T2统计多变量控制图，在多品种小批量的情况下(图1)，计算得到的数据经打点后，有许多的点跑到了控制线之外，这样在实际控制过程中，就可能产生误判，因此不适用于多品种小批量生产过程的控制。而用X2统计量控制图与F 统计量控制图［1］ (图2与图3)相比较可以发现，它们之间有较好的一致性，同时都能对生产过程进行较合理的判断，能较好地应用于多品种小批量生产过程的控制。
3.结束语
本文针对多品种小批量制造过程波动相对较大的特点，选用了适合贝叶斯理论的多重线性数学模型。根据贝叶斯理论的特点，选择适合多元分析的先验分布。确定了先验分布中的参数；在确定参数的过程中，将抽取的样本数据进行处理，使得处理后的样本数据能够充分反映样本信息而且方便后续数据处理。通过在多品种小批量机械制造企业的主轴加工的关键工序（精磨工序）开展多变量质量控制，摸索出对不同批次产品的多变量质量特性指标的贝叶斯理论的多重线性数学模型来监控工序的过程质量，实现多品种小批量生产多变量质量控制。通过实例证明，该方法可行、可靠，对实际生产具有一定的指导作用。
参考文献
［1］ 李奔波.多品种小批量生产工序能力和控制图研究,重庆大学博士学位论文,2006.4
［2］ 徐岚,刘嵘侃,陈亚兰等.SPC在多品种小批量生产线的应用研究［J］.微电子学，2007,37(5)：682~684
［3］ 袁普及.基于成组技术的质量控制的研究.南京航空航天大学硕士学位论文,2003.5
［4］ 韩玉启，朱慧明.多元质量特性的贝叶斯均值向量控制图 ［J］.南京理工大学学报,2003,27(5):561~566
［5］ 王建稳.多品种小批量生产情形下的工序质量控制图［J］.数理统计与管理，2002，21(4):34~37
［6］ 王学明.应用多元分析 ［M］.上海：上海财经大学出版社.1999
［7］ 胡兴才.基于小批量的统计过程控制研究与系统开发，南京航空航天大学硕士学位论文,2006.2
［8］ 朱慧明、韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论［M］.北京：科学出版社,2006
［9］ 秦静等.质量管理学 ［M］.北京：科学出版社.2007