同学们,你晓得“勾股数组”吗?
　　勾股定理反映了数之间存在着的一种关系——x2+y2=z2,历史上称它为勾股方程. 古人很早就知道32+42=52,即3、4、5满足这个方程.后来陆续发现的还有5、12、13;7、24、25;8、15、17;9,40,41;……这些三个一组满足勾股方程的数就称之为“勾股数组”.
　　由于任意一组勾股数组的倍数,仍然是一组勾股数组,因此勾股数组有无穷多个. 有没有一个公式,可用来表示所有的勾股数组呢?古希腊数学家毕达哥拉斯作了这种尝试. 他找到了如下求勾股数组的式子:
　　x=n,y=(n2-1)(n为正奇数),z=(n2+1).
　　后来,被誉为“代数学鼻祖”的丢番图发现,毕达哥拉斯式子没能给出全部勾股数组,比如8、15、17三数即不在毕氏的式子中.于是丢番图致力于寻找能包含全部勾股数组的公式.“皇天不负苦心人”,他终于找到了如下的法则:若a、b是两个正整数,且2ab是完全平方数,则
　　x=a+,y=b+,z=a+b+.
　　是一组勾股数.
　　值得一提的是,与丢番图同时代的我国魏晋时期的数学家刘徽,用几何的方法找到了以下求勾股数组的公式:
　　x=uv,y=(u2-v2)(u、v为同奇偶的正数,且u>v),z=(u2+v2).
　　芳林新叶催旧叶,流水前波让后波.几年前,江苏的陆晓莉同学提出这样一个猜想:对于任意一个大于1的奇数a,存在连续的整数b和b+1,当且仅当a2=b+(b+1)时 ,有a2+b2=(b+1)2.比如a=3,b=4,则b+1=5,此时32=4+5,则3、4、5为勾股数. 陆晓莉的学友李国军同学证明了这个猜想的正确性如下:
　　若a2=b+(b+1),则a2+b2=b2+2b+1,即a2+b2=(b+1)2,故a、b和b+1是一组勾股数.
　　反之,若a、b和b+1是一组勾股数,即a2+b2=(b+1)2,则a2+b2=b2+2b+1,a2=2b+1,a2=b+(b+1).
　　根据这个猜想,只要确定一个大于1的奇数a,就可由a2=b+(b+1)求出b. 比如a=9时,则92=b+(b+1). 解得b=40,b+1=41,即9、40、41为一组勾股数.
　　如果a是偶数,是否也存在着类似的猜想?你能证明你的猜想正确吗?同学们,试试看!