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好莱坞大片《盗梦空间》的热映，不仅唤起了人们对梦境之谜的好奇心，而且还激发了人们对数学的兴趣。《盗梦空间》中大量运用了数学知识，许多假设和现象其实都来源于现代数学中的几何研究。
永远没有尽头的楼梯
《盗梦空间》中运用最多的就是非欧几何。最明显的例子就是柯布的助理阿瑟带着梦境设计师阿里阿德妮走上一个“无限的楼梯”，走了四段，一直觉得向上却走进了一个死圈。初看似乎这个楼梯永远也走不完，但如果经过仔细的观察，会发现每一格的楼梯都略有向上倾斜。这其实便是画家埃舍尔(Escher)著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论的存在。埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”，他擅长利用人的视觉错误，让他的作品在三维空间里游戏。曾有人说，艾舍尔代表了非欧几何时代的空间感知觉，其基本特征是空间的弯曲。
非欧几何的历史
什么是非欧几何呢?这还要从欧氏几何讲起。公元前3世纪初，古希腊数学家欧几里得在总结前人研究和实践成果的基础上，用演绎法叙述平面几何原理，一般称为“欧氏几何”。欧几里得提出的5条基本公理，其中前4条是容易理解的，但是，第5条平行公理却引起人们的争议。一些数学家认为欧几里得把它放在公理(公设)之列，不是因为它不能证明，而是找不到证明，这是欧几里得几何体系的唯一“污点”。2000多年来，许多几何学家用不同的方法试图证明第5公设，可是都失败了。
高斯早在1792年，也就是他15岁时，已经有了非欧几何的思想。这个思想包括两个内容：一是他意识到除欧氏几何外还存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中欧氏几何的平行公理不成立。从1813年起，高斯先后称他所设想的几何学为“星际几何”、“非欧几里得几何”。高斯关于非欧几何的思想尽管十分卓越，但他却迫于当时的压力没有及时发表，直到1829年，俄国数学家罗巴切夫斯基正式出版了《论几何学的原理基础》一书，标志着非欧几何的诞生。非欧几何的出现从根本上拓宽了人们对几何学的认识。引导人们对几何学基础的深入研究，而且对于物理学在20世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了巨大推动作用。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧氏几何学并非总是正确的。例如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧氏几何无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧氏几何可以给出十分近似于现实世界的结论。
将敌人永远困在梦中的迷宫
“非欧几何空间”通俗地说，就是看得到尽头，但走不到尽头。而阿里阿德妮最终设计的那个难倒柯布的迷宫，也是用圆圈套来套去。用数学上的语言来说，真实的世界是欧氏空间，而梦中的迷宫则是建立在非欧空间。在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。如果是欧氏空间，就是一个平面，只能设计一个很大的圆，但人还是可能跑出去。但如果这是一个非欧空间，如球面，造梦者就可以将敌人永远困在自己设计的梦中。
镜像——分形世界
分形几何在影片中也有应用。阿里阿德妮把柯布带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜……随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜……这便是几何上被称为分形(fractal)的结构。我们可以将镜中镜看成《盗梦空间》故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以就有镜中镜中镜中镜……同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦……
最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中混沌现象的一种，最早认识到混沌的人是法国数学家庞加莱。分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学再进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种逻辑就决定了世界的最基本的粒子是找不到的。
做梦的时候，时间为何会被几何级拉长?
《盗梦空间》里最有趣的一个设定就是梦中时间流逝变慢，而且随着梦境深入几何级变慢——如果你在梦中做梦，时间流逝的速度会更慢。譬如5分钟的现实时间等于1小时的梦境时间，而5分钟的梦境时间又等于二级梦境中的1个星期，如此类推。 其实大家可能都有体会，有时候明明觉得做了一个很长的梦，醒来之后发现自己只不过睡了很短的时间。曾有科学研究表明人类做梦的时间实际上很短，有的只有几秒钟，通常也就几分钟。很多人都会有类似“梦中时间变慢”的体验，实际上这源于我们的一种错觉。
事实是，不是时间变慢了，而是接受信息的速度变快了。譬如，我们在梦中从一条街走到另一条街，可能只需1秒钟就完成了，因为你的脑子根本没有这么多资源把完成这个动作的细节和线索组织起来，在梦中其实是“跳”过去的。而在醒过来之后，我们会用清醒时完成同样动作的标准去感知梦里的情节，从“跳”变成了“走”，因此就把梦境时间放大了。所以，梦境时间流逝变慢是一种错觉而已，是因为我们以清醒时的时间标准去感知梦中情节而产生的错误。(文章代码：102109)
[责任编辑]蒲晖
永远没有尽头的楼梯
《盗梦空间》中运用最多的就是非欧几何。最明显的例子就是柯布的助理阿瑟带着梦境设计师阿里阿德妮走上一个“无限的楼梯”，走了四段，一直觉得向上却走进了一个死圈。初看似乎这个楼梯永远也走不完，但如果经过仔细的观察，会发现每一格的楼梯都略有向上倾斜。这其实便是画家埃舍尔(Escher)著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论的存在。埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”，他擅长利用人的视觉错误，让他的作品在三维空间里游戏。曾有人说，艾舍尔代表了非欧几何时代的空间感知觉，其基本特征是空间的弯曲。
非欧几何的历史
什么是非欧几何呢?这还要从欧氏几何讲起。公元前3世纪初，古希腊数学家欧几里得在总结前人研究和实践成果的基础上，用演绎法叙述平面几何原理，一般称为“欧氏几何”。欧几里得提出的5条基本公理，其中前4条是容易理解的，但是，第5条平行公理却引起人们的争议。一些数学家认为欧几里得把它放在公理(公设)之列，不是因为它不能证明，而是找不到证明，这是欧几里得几何体系的唯一“污点”。2000多年来，许多几何学家用不同的方法试图证明第5公设，可是都失败了。
高斯早在1792年，也就是他15岁时，已经有了非欧几何的思想。这个思想包括两个内容：一是他意识到除欧氏几何外还存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中欧氏几何的平行公理不成立。从1813年起，高斯先后称他所设想的几何学为“星际几何”、“非欧几里得几何”。高斯关于非欧几何的思想尽管十分卓越，但他却迫于当时的压力没有及时发表，直到1829年，俄国数学家罗巴切夫斯基正式出版了《论几何学的原理基础》一书，标志着非欧几何的诞生。非欧几何的出现从根本上拓宽了人们对几何学的认识。引导人们对几何学基础的深入研究，而且对于物理学在20世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了巨大推动作用。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧氏几何学并非总是正确的。例如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧氏几何无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧氏几何可以给出十分近似于现实世界的结论。
将敌人永远困在梦中的迷宫
“非欧几何空间”通俗地说，就是看得到尽头，但走不到尽头。而阿里阿德妮最终设计的那个难倒柯布的迷宫，也是用圆圈套来套去。用数学上的语言来说，真实的世界是欧氏空间，而梦中的迷宫则是建立在非欧空间。在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。如果是欧氏空间，就是一个平面，只能设计一个很大的圆，但人还是可能跑出去。但如果这是一个非欧空间，如球面，造梦者就可以将敌人永远困在自己设计的梦中。
镜像——分形世界
分形几何在影片中也有应用。阿里阿德妮把柯布带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜……随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜……这便是几何上被称为分形(fractal)的结构。我们可以将镜中镜看成《盗梦空间》故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以就有镜中镜中镜中镜……同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦……
最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中混沌现象的一种，最早认识到混沌的人是法国数学家庞加莱。分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学再进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种逻辑就决定了世界的最基本的粒子是找不到的。
做梦的时候，时间为何会被几何级拉长?
《盗梦空间》里最有趣的一个设定就是梦中时间流逝变慢，而且随着梦境深入几何级变慢——如果你在梦中做梦，时间流逝的速度会更慢。譬如5分钟的现实时间等于1小时的梦境时间，而5分钟的梦境时间又等于二级梦境中的1个星期，如此类推。 其实大家可能都有体会，有时候明明觉得做了一个很长的梦，醒来之后发现自己只不过睡了很短的时间。曾有科学研究表明人类做梦的时间实际上很短，有的只有几秒钟，通常也就几分钟。很多人都会有类似“梦中时间变慢”的体验，实际上这源于我们的一种错觉。
事实是，不是时间变慢了，而是接受信息的速度变快了。譬如，我们在梦中从一条街走到另一条街，可能只需1秒钟就完成了，因为你的脑子根本没有这么多资源把完成这个动作的细节和线索组织起来，在梦中其实是“跳”过去的。而在醒过来之后，我们会用清醒时完成同样动作的标准去感知梦里的情节，从“跳”变成了“走”，因此就把梦境时间放大了。所以，梦境时间流逝变慢是一种错觉而已，是因为我们以清醒时的时间标准去感知梦中情节而产生的错误。(文章代码：102109)
[责任编辑]蒲晖