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【摘要】求二面角的大小,是现行高中数学教学中的一个重点内容,也是一个难点问题,还是近年高考中的一个热点问题。三点集于一题,说明了它的重要性。求二面角的基本方法有:(1)直接法;(2)射影面积法;(3)公式法:(4)向量法。
【关键词】一题多解;二面角;方法
【中图分类号】G623.5【文章标识码】C 【文章编号】1000-8594(2010)03-0065-02
求二面角的大小,是现行高中数学教学中的一个重点内容,也是一个难点问题,还是近年高考中的一个热点问题。三点集于一题,说明了它的重要性。求二面角的基本方法有:(1)直接法;(2)射影面积法;(3)公式法:(4)向量法。下面举例说明:
例题 已知ABCD是正方形,直线AE⊥平面ABCD,且AB=AE=1,求二面角A-CE-D的大小。
解法一( 直接法1、三垂线定理法)如图1,连接BD交AC于点O,作DM⊥CE于M,连接OM。由AE⊥面ABCD,AC、BD是正方形ABCD的对角线可得DO⊥面ACE。由三垂线定理得OM⊥CE。所以∠DMO是二面角A-CE-D的平面角。
在Rt△CDE中,因为CD=1,DE= ,CE= ,由三角形的等积性得DM=
∵Rt△CMO≌Rt△CAE,CO= AC= ,AE=1,CE=
∴ 。而OD=
∴cos∠DMO ,∠DMO=60 O。即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:欲求以CE为棱的二面角的大小,先找到过其中一个半平面(△CDE)上一点(D)作另一个半平面(△ACE)的垂线(DO),利用三垂线定理可作出二面角的平面角(∠DMO)。这种利用三垂线定理找二面角的平面角的方法是求二面角大小最常用的方法,应很好掌握。
解法二(直接法2、两垂一连求三边)如图2,作DF⊥CE于F,在平面ACE内过F作CE的垂线FG交AC于G,连结GD,则∠DFG是二面角A-CE-D的平面角。
∵AE⊥平面ABCD,CD⊥AD ∴CD⊥DE(三垂线定理)
在Rt△CDE中,CD=1,DE=
∴DF=①
∵Rt△DFC∽Rt△EDC ∴
∵Rt△CFG∽Rt△CAE ∴②
在Rt△CFG中CG=,又AC=
∴G是AC的中点,DG= ③
由①、②、③及余弦定理可得cos∠DFG= , ∠DFG=60 O。即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:由于本题条件反映出二面角A-CE-D的两个半平面为两个全等的Rt△,且各边长或已知或易求得。这种情况下,可直接在其中一个半平面(Rt△CDE)内作斜边(CE,二面角的棱)上的高(DF),然后再在另一个半平面(Rt△EAC)内过F作二面角的棱(CE)的垂线,符合二面角的平面角的定义,如此所作的角(∠DFG)就是二面角的平面角。这种方法多适用于构成二面角的两个半平面都是特殊图形(如Rt△CDE、Rt△EAC)
解法三(射影面积法)如图3,连结BD交AC于O。由三垂线定理得DO⊥面ACE,则△EOC是△EDC在平面ACE上的射影。由公式cos ∴ =60 O。
即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:S为原斜面面积, 为射影面积, 为斜面与射影所成锐二面角的平面角。
解法四(公式法)如图4,在Rt△EAC、Rt△CDE内分别作AF⊥CE于F、DG⊥CE于G。
设AF=m,DG=n,FG=d。易知m=n= 。
由Rt△AFE∽Rt△CAE及EA=1,CA= 得
同理CG=
∵CE= ∴d= FG=CE-EF-CG=
又∵AD=1,由异面直线上两点间的距离公式得
得cos,∴ =60O。
即二面角A-CE-D的大小为60O。
评注:分别位于两个半平面内同时垂直于二面角的棱的两条异面直线的夹角 ,就是二面角的平面角。该方法多应用于不易找到二面角的平面角的问题,不失为求二面角大小时的一种行之有效的方法。
解法五(向量法)如图5所示,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴建立空间直角坐标系A-xyz。
则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)
设平面ACE的一个法向量为
则即
令x=1,得 。同理得平面CDE的一个法向量
∴ ,
∵二面角A-CE-D的平面角是锐角
∴二面角A-CE-D的大小为180
评注:当求出两个半平面法向量的夹角后,应观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再确定二面角的大小,或等于两个法向量的夹角,或等于两个法向量的夹角的补角,不要弄错。
应当注意到求二面角大小是个大课题。本文所列例题比较特殊,所列各种方法都可适用。但在实践中遇到的问题可能更为复杂,这就需要读者因题制宜,灵活运用适当的方法解决问题,以便顺利通过求二面角大小之难关。
(作者单位:榆中县恩玲中学)
【关键词】一题多解;二面角;方法
【中图分类号】G623.5【文章标识码】C 【文章编号】1000-8594(2010)03-0065-02
求二面角的大小,是现行高中数学教学中的一个重点内容,也是一个难点问题,还是近年高考中的一个热点问题。三点集于一题,说明了它的重要性。求二面角的基本方法有:(1)直接法;(2)射影面积法;(3)公式法:(4)向量法。下面举例说明:
例题 已知ABCD是正方形,直线AE⊥平面ABCD,且AB=AE=1,求二面角A-CE-D的大小。
解法一( 直接法1、三垂线定理法)如图1,连接BD交AC于点O,作DM⊥CE于M,连接OM。由AE⊥面ABCD,AC、BD是正方形ABCD的对角线可得DO⊥面ACE。由三垂线定理得OM⊥CE。所以∠DMO是二面角A-CE-D的平面角。
在Rt△CDE中,因为CD=1,DE= ,CE= ,由三角形的等积性得DM=
∵Rt△CMO≌Rt△CAE,CO= AC= ,AE=1,CE=
∴ 。而OD=
∴cos∠DMO ,∠DMO=60 O。即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:欲求以CE为棱的二面角的大小,先找到过其中一个半平面(△CDE)上一点(D)作另一个半平面(△ACE)的垂线(DO),利用三垂线定理可作出二面角的平面角(∠DMO)。这种利用三垂线定理找二面角的平面角的方法是求二面角大小最常用的方法,应很好掌握。
解法二(直接法2、两垂一连求三边)如图2,作DF⊥CE于F,在平面ACE内过F作CE的垂线FG交AC于G,连结GD,则∠DFG是二面角A-CE-D的平面角。
∵AE⊥平面ABCD,CD⊥AD ∴CD⊥DE(三垂线定理)
在Rt△CDE中,CD=1,DE=
∴DF=①
∵Rt△DFC∽Rt△EDC ∴
∵Rt△CFG∽Rt△CAE ∴②
在Rt△CFG中CG=,又AC=
∴G是AC的中点,DG= ③
由①、②、③及余弦定理可得cos∠DFG= , ∠DFG=60 O。即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:由于本题条件反映出二面角A-CE-D的两个半平面为两个全等的Rt△,且各边长或已知或易求得。这种情况下,可直接在其中一个半平面(Rt△CDE)内作斜边(CE,二面角的棱)上的高(DF),然后再在另一个半平面(Rt△EAC)内过F作二面角的棱(CE)的垂线,符合二面角的平面角的定义,如此所作的角(∠DFG)就是二面角的平面角。这种方法多适用于构成二面角的两个半平面都是特殊图形(如Rt△CDE、Rt△EAC)
解法三(射影面积法)如图3,连结BD交AC于O。由三垂线定理得DO⊥面ACE,则△EOC是△EDC在平面ACE上的射影。由公式cos ∴ =60 O。
即二面角A-CE-D的大小为60 O。
评注:S为原斜面面积, 为射影面积, 为斜面与射影所成锐二面角的平面角。
解法四(公式法)如图4,在Rt△EAC、Rt△CDE内分别作AF⊥CE于F、DG⊥CE于G。
设AF=m,DG=n,FG=d。易知m=n= 。
由Rt△AFE∽Rt△CAE及EA=1,CA= 得
同理CG=
∵CE= ∴d= FG=CE-EF-CG=
又∵AD=1,由异面直线上两点间的距离公式得
得cos,∴ =60O。
即二面角A-CE-D的大小为60O。
评注:分别位于两个半平面内同时垂直于二面角的棱的两条异面直线的夹角 ,就是二面角的平面角。该方法多应用于不易找到二面角的平面角的问题,不失为求二面角大小时的一种行之有效的方法。
解法五(向量法)如图5所示,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴建立空间直角坐标系A-xyz。
则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)
设平面ACE的一个法向量为
则即
令x=1,得 。同理得平面CDE的一个法向量
∴ ,
∵二面角A-CE-D的平面角是锐角
∴二面角A-CE-D的大小为180
评注:当求出两个半平面法向量的夹角后,应观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再确定二面角的大小,或等于两个法向量的夹角,或等于两个法向量的夹角的补角,不要弄错。
应当注意到求二面角大小是个大课题。本文所列例题比较特殊,所列各种方法都可适用。但在实践中遇到的问题可能更为复杂,这就需要读者因题制宜,灵活运用适当的方法解决问题,以便顺利通过求二面角大小之难关。
(作者单位:榆中县恩玲中学)