2012年全国普通高考（大纲版）文科第12题：正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）.
　　A.8 B.6 C.4 D.3
　　图1解：如图1，如果第二次碰点为G，由△BEF∽△CGF得CGBE=CFBF，又BE=CF=23，BF=13，解得CG=43，DG=13.点G在CD的延长线上，点G不是第二次碰点，第二次碰点在AD上，设为H，因为△HGD∽△FGC，所以DHCF=DGCG，解得DH=16；设第三次碰点为I，根据对称性得DI=13，则CI=23，同理可得CJ=13，BJ=23，BK=43，AK=13，AL=16，AE=13，所以M与E重合，即P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了6次.
　　图2如果AE=BF=12，易知P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了4次.
　　如果AE=BF=14，以A为坐标原点，AB、AD两条边所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图2）.设第二、三、四、五、六、七、八次碰点分别为G、H、I、J、K、L、M，则KEF=13，KFG=-13，FG所在直线方程为y-14=-13（x-1），解得点G的坐标为（0，712），于是GH所在直线方程为y=13x 712，解得点H的坐标为（1，1112）.同理可得I（34，1），J（0，34），K（1，512），L（0，512），M（14，0）.M与E重合，即P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了8次.
　　如果AE=BF=15，同理可得P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了10次.
　　由AE=BF=12，AE=BF=13，AE=BF=14，AE=BF=15时，同理可得P第一次碰到E时，P与正方形的边分别碰撞了4次、6次、8次、10次.
　　[猜想1]正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，如果AE=BF=1n（n∈N*，n≥2），动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为2n次.
　　现将条件换一下：如果AE=BF=23，点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为多少次？
　　图3建立直角坐标系（如图3），则E（23，0）、F（1，23），设第二、三、四、五、六次碰点分别为G、H、I、J、K，则可以求得G（56，1）、H（13，0）、I（0，23）、J（16，1）、K（23，0），K与E重合，即P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了6次.
　　如果AE=BF=34（因为24=12，所以选34），同理可得，P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了8次.如果AE=BF=25，同理可得P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了10次.如果AE=BF=56（因为26=13，36=12，46=23，所以选择56）.同理可得，P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞了12次.
　　[猜想2]正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，如果AE=BF=mn（m，n∈N*且n≥2，n>m，m、n互质），动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为2n次.
　　（责任编辑 金 铃）