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[摘 要] Pirie-Kieren数学理解模型直观地描述了学生数学理解的过程和本质，是从认知的观点全面认识数学理解的理论. 本文从创设问题背景，引发积极理解意向；创设探究活动，促进产生概念表象；创设反思对比，引导认识概念本质；创设应用问题，促使获得理性认识这四个方面，阐述如何运用Pirie-Kieren数学理解模型设计弧度制的教学，拟对高中数学概念的教学策略进行探讨，从而构建促进关系性理解的数学课堂.
[关键词] Pirie-Kieren数学理解模型；高中数学；概念教学
全美数学教育研究中心（National Center for Research in Mathematical Sciences，简称NCRMSE）认为，在理解中学习数学，促进学生对数学的理解已成为世界数学教育的共识. 近十几年来，NCRMSE一直呼吁要在美国建立促进理解的数学课堂. 我国的《普通高中数学课程标准（实验）》也强调：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿于高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解. ”本文将从“弧度制”的教学实际出发，基于Pirie-Kieren数学理解模型，拟对高中数学概念的教学策略进行探讨，从而构建促进关系性理解的数学课堂，以期抛砖引玉.
[?] Pirie-Kieren数学理解模型介绍
Pirie-Kieren数学理解模型是由Pirie和Kieren提出来的，它直观地描述了学生数学理解的过程和本质，是从认知的观点全面认识数学理解的理论. 这个模型由8个不同的理解阶段组成，即初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.
[?] “弧度制”的教学设计
弧度制是三角函数这一章中引进的度量角的一个新概念，是高中数学学习的一个难点.弧度制教学过程中能基本包含Pirie-Kieren数学理解模型的8个不同的理解阶段，运用Pirie-Kieren数学理解模型设计弧度制的教学如下：
1. 创设问题背景，引发积极理解意向
根据Pirie-Kieren数学理解模型，数学理解模型的第一水平是初步了解阶段，指了解概念的有关方面及一定的推论. 数学理解一般起源于利用具体材料、图形符号等进行的数学活动. 数学概念的产生是一个从具体背景中抽象出共同本质特征的过程. 学习一个新的概念，必须让学生体会到学习这一概念的必要性，教学中进行概念的背景分析特别是对于比较抽象的数学概念来说尤为重要，这就需要我们教师从生活实例中及数学知识的发展体系中创设问题背景，给学生提供丰富的感性认识的材料，使学生在问题背景中自发地思考问题，积极地理解问题.
【案例1】 《弧度制》——创设情境，提出课题
师：回到数学中，上一节课我们学习了任意角的概念，对于任意角的度量，我们是用“度”为单位的. 如何定义1度角？
师：我们能否重新选择角的单位，如“拿”圆周上其他长度的弧长所对的圆心角作为角的单位？使得在该单位制下两角的运算与常规的十进制加减法一样简便呢？
设计意图：以上问题背景的设置中，学生从生活中的度量单位及数学度量单位的使用上初步了解了学习弧度制的必要性，在头脑中建立了弧度制与具体事物相联系的感觉，激发出学生学习的求知欲，进一步引发学生对弧度制这一新的度量制度的理解的意向.
2. 创设探究活动，促进产生概念表象
数学理解模型的第二水平是产生表象. 在这一水平，能根据先前的了解逐步产生表象，归结出它的特征，并以新的方式运用. 从学生的“最近发展区”创设探究问题与活动，引导学生开展探究学习. 在探究学习过程中，学生可以从多角度深入地剖析数学知识，建构数学知识间的联系，使他们在面对实际问题时，能更容易地激活数学知识，促进产生概念表象.
【案例2】 《弧度制》——新知探究、建构数学
探究l，r，α之间的关系：
问题1：弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小与所在圆半径的大小是否有关？
问题2：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的大小α与有什么关系？
设计意图：学生通过问题1和问题2的探究，体验了l，r，α之间的关系，从而为生成弧度制的概念奠定基础. 两个探究问题的设置，使学生在“分析与假设”这一微型探究学习的过程更加细致，让不同基础的学生在探究活动中都有收获. 让学生参与到概念背景分析及自我定义、自我发现的建构中去，激发出学生学习概念的興趣.
学生探究以上两个问题的活动过程也就是“制作表象”的过程. 在探究问题2的过程中，学生通过自行计算、观察与交流能够猜到“圆心角不变，则比值不变”，但是没法证明的时候，说明他们已经在“制作表象”了. 同时学生就会有更强的探究的欲望去证明自己的猜想，实现思维的真正参与. 因此，在概念教学中，注重让学生通过探究过程去参与、体验和掌握研究数学的方法，使学生的生活经验、已有知识的作用得到充分发挥，促进产生概念的表象的同时，增强学生的探究能力与思维的发展.
3. 创设反思对比，引导认识概念本质
数学理解模型的第三至第五水平分别为：形成表象、关注性质及形式化.概念的形成过程也是新旧知识之间相互影响的过程，因此，在概念教学中帮助学生加强新旧知识之间的联系，重视在概念表象形成、性质的预测与记录及形式化的过程中进行知识之间的类比、反思与比较，使学生带着解决外层水平不能解决的问题，可以随时返回到前面的某一水平做补救性的内层水平的思考，从而使学生逐步从内部水平向外部水平发展，建立较深的认识水平，从而认识概念的本质.
【案例3】 《弧度制》——对比研究，意义建构
（1）弧度制单位的确定
弧度制的定义（略）. 问题1：弧度制单位与角度制单位有何区别？
（2）弧度的推广及角的弧度数的计算
问题2：若圆的半径为r，则弧长为2r的弧所对的圆心角（正角）的弧度数是多少？
问题3：若圆的半径为r，则弧长为3r的弧所对的圆心角（正角）的弧度数是多少？
问题4：若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数是多少？
问题5：若圆的半径为r，则弧长为l的弧所对的圆心角的弧度数是多少？
学生通过之前的探究证明，逐步形成“弧度制”这一数学概念的表象，也容易理解为何如此定义弧度制. 设置问题“弧度制单位与角度制单位有何区别”促使学生梳理数学知识，体会数学知识之间的联系，并形成反思、比较这样的良好的学习习惯，促进学生对旧知识的理解的同时，引发学生进一步地“关注性质”. 通过问题串的设置，促进“角α的弧度数的绝对值”的计算公式的形成，在这一过程中，学生掌握了“角α的弧度数”的形式化，学生对“角α的弧度数”的理解有了质的飞跃，不再需要借助表象来发展理解，而是可以直接利用这一形式了.
4. 创设应用问题，促使获得理性认识
数学理解模型的第六至第八水平分别为：观察评述、构造化与发明创造. 在构造化水平阶段，学生能将形式的观察评述转化为定理法则. 了解了一组定理间的相互关系后，通过逻辑等方式验证或证实它们，并且学生在做“结构化”活动时，不需要考虑观察评述的内容. 但是他们可以回头做一些温故知新的活动，也体现了理解模型的特点之一——理解并不是单向地由内向外发展，也不只是可以在某处徘徊或停顿. 因此，在概念教学中，设置有关概念的应用问题，促使学生牢固掌握概念的形式与性质，进一步地深化思维.
【案例4】 《弧度制》——公式探索，应用变式
弧度制下的扇形面积公式推导：
问题1：在角度制下，扇形面积公式如何表示？
问题2：在弧度制下，扇形面积公式又如何表示？
给出例题：已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积.
给出变式训练：周长为20 cm的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？
设计意图：类比角度制下扇形的面积公式，学生自主探索弧度制下扇形的面积公式，从而学会运用弧度制的概念，并体会到弧度制的优越性，促进学生对角的度量方法的认知结构的建构及知识意义的建构，使学生体会到角的度量是一个有紧密内部联系的整体，这些联系是可以通过自己的努力去探索与尝试并且建立起来的，从而对弧度制概念建立理性的认识，同时建立起正确的数学学习观.
[?] Pirie-Kieren数学理解模型在数学概念教学中应用的误区
学生的数学理解性学习能否顺利完成与教师能否设计出科学的、合理的、符合学生实际的数学教学设计有关.教师在应用Pirie-Kieren数学理解模型时，应避免以下几个误区：
（1）完整设计理解模型的8個阶段. 由于数学概念的本质不同，不是所有的概念学习都需要经历8个阶段. 比如数学的原始概念教学，或许从“初步了解”就可以直接“形式化”. 概念教学设计中，需要因概念的不同而选取阶段的设计.
（2）回归过程中遵循层层回归. 在学生理解概念的过程中，因学生的个人理解能力及教师创设的情境等因素，学生在回归的过程中，经常产生跳跃回归的情况，因此，我们在教学设计及教学过程中，要充分考虑概念及学生的差异.
总之，数学理解是一个由学生自己积极构建的过程. Pirie-Kieren数学理解模型可以让我们教师转变对数学理解的观念. 数学理解是一个复杂的、动态的过程，需要我们细致地深入观察学生所处的理解水平，创设适合学生理解水平的学习活动，从而使数学概念的教学基于学生的理解，促进学生的理解，发展学生的理解.
[关键词] Pirie-Kieren数学理解模型；高中数学；概念教学
全美数学教育研究中心（National Center for Research in Mathematical Sciences，简称NCRMSE）认为，在理解中学习数学，促进学生对数学的理解已成为世界数学教育的共识. 近十几年来，NCRMSE一直呼吁要在美国建立促进理解的数学课堂. 我国的《普通高中数学课程标准（实验）》也强调：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿于高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解. ”本文将从“弧度制”的教学实际出发，基于Pirie-Kieren数学理解模型，拟对高中数学概念的教学策略进行探讨，从而构建促进关系性理解的数学课堂，以期抛砖引玉.
[?] Pirie-Kieren数学理解模型介绍
Pirie-Kieren数学理解模型是由Pirie和Kieren提出来的，它直观地描述了学生数学理解的过程和本质，是从认知的观点全面认识数学理解的理论. 这个模型由8个不同的理解阶段组成，即初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.
[?] “弧度制”的教学设计
弧度制是三角函数这一章中引进的度量角的一个新概念，是高中数学学习的一个难点.弧度制教学过程中能基本包含Pirie-Kieren数学理解模型的8个不同的理解阶段，运用Pirie-Kieren数学理解模型设计弧度制的教学如下：
1. 创设问题背景，引发积极理解意向
根据Pirie-Kieren数学理解模型，数学理解模型的第一水平是初步了解阶段，指了解概念的有关方面及一定的推论. 数学理解一般起源于利用具体材料、图形符号等进行的数学活动. 数学概念的产生是一个从具体背景中抽象出共同本质特征的过程. 学习一个新的概念，必须让学生体会到学习这一概念的必要性，教学中进行概念的背景分析特别是对于比较抽象的数学概念来说尤为重要，这就需要我们教师从生活实例中及数学知识的发展体系中创设问题背景，给学生提供丰富的感性认识的材料，使学生在问题背景中自发地思考问题，积极地理解问题.
【案例1】 《弧度制》——创设情境，提出课题
师：回到数学中，上一节课我们学习了任意角的概念，对于任意角的度量，我们是用“度”为单位的. 如何定义1度角？
师：我们能否重新选择角的单位，如“拿”圆周上其他长度的弧长所对的圆心角作为角的单位？使得在该单位制下两角的运算与常规的十进制加减法一样简便呢？
设计意图：以上问题背景的设置中，学生从生活中的度量单位及数学度量单位的使用上初步了解了学习弧度制的必要性，在头脑中建立了弧度制与具体事物相联系的感觉，激发出学生学习的求知欲，进一步引发学生对弧度制这一新的度量制度的理解的意向.
2. 创设探究活动，促进产生概念表象
数学理解模型的第二水平是产生表象. 在这一水平，能根据先前的了解逐步产生表象，归结出它的特征，并以新的方式运用. 从学生的“最近发展区”创设探究问题与活动，引导学生开展探究学习. 在探究学习过程中，学生可以从多角度深入地剖析数学知识，建构数学知识间的联系，使他们在面对实际问题时，能更容易地激活数学知识，促进产生概念表象.
【案例2】 《弧度制》——新知探究、建构数学
探究l，r，α之间的关系：
问题1：弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小与所在圆半径的大小是否有关？
问题2：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的大小α与有什么关系？
设计意图：学生通过问题1和问题2的探究，体验了l，r，α之间的关系，从而为生成弧度制的概念奠定基础. 两个探究问题的设置，使学生在“分析与假设”这一微型探究学习的过程更加细致，让不同基础的学生在探究活动中都有收获. 让学生参与到概念背景分析及自我定义、自我发现的建构中去，激发出学生学习概念的興趣.
学生探究以上两个问题的活动过程也就是“制作表象”的过程. 在探究问题2的过程中，学生通过自行计算、观察与交流能够猜到“圆心角不变，则比值不变”，但是没法证明的时候，说明他们已经在“制作表象”了. 同时学生就会有更强的探究的欲望去证明自己的猜想，实现思维的真正参与. 因此，在概念教学中，注重让学生通过探究过程去参与、体验和掌握研究数学的方法，使学生的生活经验、已有知识的作用得到充分发挥，促进产生概念的表象的同时，增强学生的探究能力与思维的发展.
3. 创设反思对比，引导认识概念本质
数学理解模型的第三至第五水平分别为：形成表象、关注性质及形式化.概念的形成过程也是新旧知识之间相互影响的过程，因此，在概念教学中帮助学生加强新旧知识之间的联系，重视在概念表象形成、性质的预测与记录及形式化的过程中进行知识之间的类比、反思与比较，使学生带着解决外层水平不能解决的问题，可以随时返回到前面的某一水平做补救性的内层水平的思考，从而使学生逐步从内部水平向外部水平发展，建立较深的认识水平，从而认识概念的本质.
【案例3】 《弧度制》——对比研究，意义建构
（1）弧度制单位的确定
弧度制的定义（略）. 问题1：弧度制单位与角度制单位有何区别？
（2）弧度的推广及角的弧度数的计算
问题2：若圆的半径为r，则弧长为2r的弧所对的圆心角（正角）的弧度数是多少？
问题3：若圆的半径为r，则弧长为3r的弧所对的圆心角（正角）的弧度数是多少？
问题4：若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数是多少？
问题5：若圆的半径为r，则弧长为l的弧所对的圆心角的弧度数是多少？
学生通过之前的探究证明，逐步形成“弧度制”这一数学概念的表象，也容易理解为何如此定义弧度制. 设置问题“弧度制单位与角度制单位有何区别”促使学生梳理数学知识，体会数学知识之间的联系，并形成反思、比较这样的良好的学习习惯，促进学生对旧知识的理解的同时，引发学生进一步地“关注性质”. 通过问题串的设置，促进“角α的弧度数的绝对值”的计算公式的形成，在这一过程中，学生掌握了“角α的弧度数”的形式化，学生对“角α的弧度数”的理解有了质的飞跃，不再需要借助表象来发展理解，而是可以直接利用这一形式了.
4. 创设应用问题，促使获得理性认识
数学理解模型的第六至第八水平分别为：观察评述、构造化与发明创造. 在构造化水平阶段，学生能将形式的观察评述转化为定理法则. 了解了一组定理间的相互关系后，通过逻辑等方式验证或证实它们，并且学生在做“结构化”活动时，不需要考虑观察评述的内容. 但是他们可以回头做一些温故知新的活动，也体现了理解模型的特点之一——理解并不是单向地由内向外发展，也不只是可以在某处徘徊或停顿. 因此，在概念教学中，设置有关概念的应用问题，促使学生牢固掌握概念的形式与性质，进一步地深化思维.
【案例4】 《弧度制》——公式探索，应用变式
弧度制下的扇形面积公式推导：
问题1：在角度制下，扇形面积公式如何表示？
问题2：在弧度制下，扇形面积公式又如何表示？
给出例题：已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积.
给出变式训练：周长为20 cm的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？
设计意图：类比角度制下扇形的面积公式，学生自主探索弧度制下扇形的面积公式，从而学会运用弧度制的概念，并体会到弧度制的优越性，促进学生对角的度量方法的认知结构的建构及知识意义的建构，使学生体会到角的度量是一个有紧密内部联系的整体，这些联系是可以通过自己的努力去探索与尝试并且建立起来的，从而对弧度制概念建立理性的认识，同时建立起正确的数学学习观.
[?] Pirie-Kieren数学理解模型在数学概念教学中应用的误区
学生的数学理解性学习能否顺利完成与教师能否设计出科学的、合理的、符合学生实际的数学教学设计有关.教师在应用Pirie-Kieren数学理解模型时，应避免以下几个误区：
（1）完整设计理解模型的8個阶段. 由于数学概念的本质不同，不是所有的概念学习都需要经历8个阶段. 比如数学的原始概念教学，或许从“初步了解”就可以直接“形式化”. 概念教学设计中，需要因概念的不同而选取阶段的设计.
（2）回归过程中遵循层层回归. 在学生理解概念的过程中，因学生的个人理解能力及教师创设的情境等因素，学生在回归的过程中，经常产生跳跃回归的情况，因此，我们在教学设计及教学过程中，要充分考虑概念及学生的差异.
总之，数学理解是一个由学生自己积极构建的过程. Pirie-Kieren数学理解模型可以让我们教师转变对数学理解的观念. 数学理解是一个复杂的、动态的过程，需要我们细致地深入观察学生所处的理解水平，创设适合学生理解水平的学习活动，从而使数学概念的教学基于学生的理解，促进学生的理解，发展学生的理解.