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解决解析几何中三角形面积的最值问题一般分为三个步骤：一是求出面积表达式（常用直接求法或分割求法）;二是得到目标函数式后，明确自变量及自变量的限制条件（如利用判别式大于0等）;三是利用配方法、基本不等式法、单调性法等求出面积的最值或取值范围。
题型一：椭圆中有关三角形的面积的最值问题
例1已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）如图1，A为椭圆C上一动点（非长轴端点），F，F，分别为椭圆C的左焦点和右焦点，AF，的延长线与椭圆C交于B点，AO的延长线与椭圆C交于D点，连接BD，求△ABD面积的最大值。
分析：（1）由题意求得a，6，c的值，从而确定椭圆C的方程;（2）分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理和基本不等式即可确定三角形面积的最大值。
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-2）。
综上可知，△ABD面积的最大值为42。题型二抛物线中有关三角形的面积的最值问题
例2已知抛物线C：x=2py（p》0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作拋物线C的切线l，lz，l与l，交于点M。
（1）求p的值;
（2）若lllz，求△MAB面积的最小值。分析：（1）根据抛物线的性质即可得到p的值。（2）由直线垂直可构造出斜率关系，得到xx=-4，通过联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系求得m;联立两切线方程，可用k表示出点M的坐标，代人点到直线的距离公式，得到关于面积的函数关系式，从而求得最值。
解：（1）由题意知，抛物线的焦点为0，2力），准线方程为=一2P，焦点到准线的距离为2，即p=2。
（2）由（1）得抛物线C的方程为x=4y，
当k=0时，△MAB的面积取得最小值4。题型三：椭圆中有关三角形的面积的取值范围问题
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆E于C，D两点，求△BCD面积的取值范围。
分析：（1）根据题意可得c=1，且|AF| |AF’|=22=2a，从而得到椭圆E的标准方程。（2）必须要讨论直线CD的斜率。当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k（x 1）（k≠0），联立方程利用韦达定理表示出△BCD的面积，即可求解。
解：（1）设椭圆E的右焦点为F’，由左焦点F（-1，0），可得F’（1，0），即c=1。
由椭圆定义得|AF| |AF’|=2/2=2a，即a=2，所以b=a’-c2=1。
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k（x 1）（k0）。
题型四：抛物线中有关三角形的面积的取值范围问题
例4已知抛物线C：y’=2pc（p》0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形的面积为4。（1）求抛物线C的标准方程;
（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足kom.kov=ko.koB，求OMN面积的取值范围。
分析：（1）求出点A，B的坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p即可;
（2）计算ko.ko=-4，设出直线MN的方程，求出直线MN与x轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得|ym-vl，从而可以求出△OMN面积的取值范围。
所以抛物线C在A处的切线斜率为1。由抛物线C的对称性知抛物线C在B处的切线斜率为-1。
因为》0，所以Soomn》2。
综上可知，Souv的取值范围为【2， oo）。解决解析几何中与面积相关的问题，首先应正确表示面积，不论用直接法还是用分割法求面积，快而准确是目标。完成面积的表示之后，才会进人到下一环节，所以同学们还是应该重视解析几何部分运算能力的提高。
（责任编辑王福华）
题型一：椭圆中有关三角形的面积的最值问题
例1已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）如图1，A为椭圆C上一动点（非长轴端点），F，F，分别为椭圆C的左焦点和右焦点，AF，的延长线与椭圆C交于B点，AO的延长线与椭圆C交于D点，连接BD，求△ABD面积的最大值。
分析：（1）由题意求得a，6，c的值，从而确定椭圆C的方程;（2）分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理和基本不等式即可确定三角形面积的最大值。
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-2）。
综上可知，△ABD面积的最大值为42。题型二抛物线中有关三角形的面积的最值问题
例2已知抛物线C：x=2py（p》0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作拋物线C的切线l，lz，l与l，交于点M。
（1）求p的值;
（2）若lllz，求△MAB面积的最小值。分析：（1）根据抛物线的性质即可得到p的值。（2）由直线垂直可构造出斜率关系，得到xx=-4，通过联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系求得m;联立两切线方程，可用k表示出点M的坐标，代人点到直线的距离公式，得到关于面积的函数关系式，从而求得最值。
解：（1）由题意知，抛物线的焦点为0，2力），准线方程为=一2P，焦点到准线的距离为2，即p=2。
（2）由（1）得抛物线C的方程为x=4y，
当k=0时，△MAB的面积取得最小值4。题型三：椭圆中有关三角形的面积的取值范围问题
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）B为椭圆E上的动点，过点F作平行于OB的直线l交椭圆E于C，D两点，求△BCD面积的取值范围。
分析：（1）根据题意可得c=1，且|AF| |AF’|=22=2a，从而得到椭圆E的标准方程。（2）必须要讨论直线CD的斜率。当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k（x 1）（k≠0），联立方程利用韦达定理表示出△BCD的面积，即可求解。
解：（1）设椭圆E的右焦点为F’，由左焦点F（-1，0），可得F’（1，0），即c=1。
由椭圆定义得|AF| |AF’|=2/2=2a，即a=2，所以b=a’-c2=1。
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=k（x 1）（k0）。
题型四：抛物线中有关三角形的面积的取值范围问题
例4已知抛物线C：y’=2pc（p》0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形的面积为4。（1）求抛物线C的标准方程;
（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足kom.kov=ko.koB，求OMN面积的取值范围。
分析：（1）求出点A，B的坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p即可;
（2）计算ko.ko=-4，设出直线MN的方程，求出直线MN与x轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得|ym-vl，从而可以求出△OMN面积的取值范围。
所以抛物线C在A处的切线斜率为1。由抛物线C的对称性知抛物线C在B处的切线斜率为-1。
因为》0，所以Soomn》2。
综上可知，Souv的取值范围为【2， oo）。解决解析几何中与面积相关的问题，首先应正确表示面积，不论用直接法还是用分割法求面积，快而准确是目标。完成面积的表示之后，才会进人到下一环节，所以同学们还是应该重视解析几何部分运算能力的提高。
（责任编辑王福华）