隐含条件的挖掘和利用,不仅是解题的关键,而且对培养学生的观察力、提高分析和解决问题的能力,增强思维的深刻性、缜密性都大有益处.因而近几年的高考加大了对含有隐含条件的数学题的考查,那么隐含条件究竟设置在哪里呢?
　　
　　一、设置在相关的概念中
　　
　　【例1】 设函数f(x)=xekx(k≠0),若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
　　错解:∵f′(x)=(1+kx)ekx,且函数f(x)在区间[-1,1]内单调递增,
　　∴f′(x)=(1+kx)ekx>0,即kx>-1对x∈(-1,1)恒成立.
　　(1)若k>0,则-1k　　即-1k<-1,故k∈(0,1).
　　(2)若k<0,则-1k>x对x∈(-1,1)恒成立,
　　即-1k>1,故k∈(-1,0).
　　综上可知,函数f(x)在(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
　　错因剖析:未弄清函数f(x)在D上单调递增(或递减)的隐含条件,此隐含条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0),且f′(x)在D任一子区间上不恒为零.故正确答案为k∈(-1,0)∪(0,1).
　　反思:有些数学问题所涉及的数学概念本身就设置了隐含条件,如函数的定义域和值域、直线与平面所成的角、二次函数的二次项系数不为零等等,这些隐含条件不依赖数学命题而独立存在,这就需要解题者不仅要弄清题意,还要弄清相关概念的内涵.
　　
　　二、设置在题设中
　　
　　【例2】 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对于任意x1,x2∈[0,12],都有f(x1+x2)=f(x1)•f(x2),且f(1)=a>0.
　　(1)求f(12);
　　(2)证明f(x)是周期函数.
　　错解:(1)∵对任意x1,x2∈[0,12],都有f(x1+x2)=f(x1)•f(x2),
　　∴f(1)=f(12+12)=[f(12)]2.∴f(12)=±a.
　　(2)略.
　　错因剖析:忽视对已知隐含条件的挖掘.
　　∵f(x)=f(x2+x2)=[f(12)]2≥0,x∈[0,1],∴f(12)=a.
　　反思:解题者对已知条件的每一个字都需反复推敲,审题要细致入微,更不要因为局部变形的成功而放松对其他已知条件做更深入的探究.
　　
　　三、设置在可推的条件中
　　
　　【例3】 已知x1,x2是关于x的方程x2-ax+a=0的两个实根,x21+x22的最小值为().
　　A.-1_______ B.0
　　C.2D.以上均不对
　　错解:由根与系数的关系得:x1+x2=a,x1•x2=a,
　　则x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a-1)2-1,
　　∴当a=1时,x21+x22的最小值为-1,故选A.
　　错因剖析:忽视了方程存在实数根的前提条件Δ=(-a)2-4a≥0,即a≥4或a≤0,故a取不到1.选B.
　　反思:看似平淡的题目常常“暗藏玄机”,要避免中招,解题需对已知条件“另眼相看”,从中体会到由已知条件推出的条件.
　　
　　四、设置在公式的限制条件中
　　
　　【例4】 求函数y=(sin2x+2)(cos2x+5)的最大值.
　　错解:∵sin2x+2>0,cos2x+5>0,
　　∴(sin2x+2)(cos2x+5)≤[(sin2x+2)+(cos2x+5)2]2=16,∴ymax=4.
　　错因剖析:在应用基本不等式“若a,b∈R+,则a+b2≥ab”求解最值时,忽视了“当且仅当a=b时取等号”这一隐含条件,而sin2x+2=cos2x+5是不可能成立的,故不能使用此法解题.
　　正解:y=(sin2x+2)(6-sin2x)=-sin4x+4sin2x+12=-(sin2x-2)2+16,当sinx=±1时,ymax=15.
　　反思:运用性质或公式解题可降低计算量,但解题者需搞清楚公式或性质成立的限制条件,否则会出错.
　　
　　五、设置在特定的图形内
　　
　　【例5】 在第一象限内等腰直角三角形ABC,C(4,4),A、B分别在x,y轴上移动,求△ABC面积的最值.
　　错解:设A(x,0),则S△ABC=12AC2=12[(4-x)2+42],
　　∴当x=4时,Smin=8.∴△ABC面积的最大值不存在.
　　错因剖析:忽视了图形限制,也就是不注意目标函数的定义域的这一隐含条件.
　　∵0≤x≤8,∴当x=0或8时,Smax=16.
　　反思:解答几何问题,应采用数形结合的方法,应关注图形的特殊位置及各元素之间的特殊的位置关系与数量关系等.
　　
　　六、设置在结论中
　　
　　【例6】 数列x,x2,…,xk,…,满足x1=12,xk+1=x2k+xk(k∈N+),求1x1+1+1x2+1+…+1x1999+1的整数部分.
　　分析:此问题为数列的求和问题,若从等差、等比数列入手很难,而尝试归纳猜想,又缺少明显特征,……于是陷入困境.若重新仔细审题,则可发现结论中有隐含条件,可裂项相消求和.
　　解:∵xk+1=x2k+xk,x1=12,∴xk>0,
　　∵x2k=xk+1-xk>0,∴xk+1xk=xk+1,
　　∴x1,x2,…,xk,…为递增数列.
　　∵1xk+1=x2kxkxk+1=xk+1-xkxkxk+1=1xk-1xk+1>0,
　　∴1x1+1+1x2+1+…+1x1999+1=(1x1-1x2)+(1x2-1x3)+…+(1x1999-1x2000)=2-1x2000.
　　又∵1x1=2,1x2=43,1x3=1621,∴当k≥3时,0<1xk<1,∴所求的整数部分为1.
　　反思:有些命题,其部分条件隐含于结论中,若不注意挖掘,往往也会影响解答,有可能形成无法逾越的鸿沟,此时可考虑将部分解题因素从结论中分离出来,从而降低原题的难度或确定正确的解题方法.
　　
　　七、设置在问题的实际意义中
　　
　　【例7】 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年支出的用要2万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益55万元.问经过多少年总纯收入获利最大?
　　分析:总纯收入获利应等于总收入减去支出,这是一个二次函数.
　　错解:由题设知每年的费用是以12为首项,4为公差的等差数列.
　　设经过x年总纯收入为y万元,则
　　y=55x-[12+16+…+(8+4x)]-98=45x-2x2-98=-2(x-11.25)2+155.125,
　　故当x=11.25时,ymax=155.125.
　　错因剖析:忽视了本题的实际意义,年数x应为正整数.
　　正解:当x=11时,ymax=155.即经过11年总纯收入获利最大,且最大值为155万元.
　　反思:在实际问题中,要充分考虑各个量是否符合实际意义,避免走入误区.
　　八、设置在条件和结论的内在联系中
　　【例8】 已知数列{an}满足a1=43,且an+1+3an+1an-4an=0(n∈N*).
　　(Ⅰ)求a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式,再用数学归纳法加以证明;
　　(Ⅱ)试比较a2n与an-1(n≥2)的大小,并说明理由;
　　(Ⅲ)求证:1a1•1a2•1a3…1an>916.
　　分析:第1、2问很容易,而第三问有相当难度,大部分学生在此耗费许多时间,结果仍然未做出来.究其根本原因,未能准确把握问题的本质,未弄清条件(第1、2问的结论也作为第三问的条件)和结论的内在联系,从而无法进行恰当的变形及进行累乘.
　　解:(Ⅰ)an=4n4n-1=1+14n-1(过程略).
　　(Ⅱ)a2n　　(Ⅲ)法1:当n≥2时,由a2nanan-1>0,
　　∴1a1•1a2•1a3…1an>1a1•a2a1•a3a2•a4a3…anan-1=ana21=916an=916•4n4n-1>916.
　　法2:由0　　∴1a1•1a2•1a3…1an>ana21=916an=916•4n4n-1>916.
　　法3:由0　　即a1•a2•a3…an　　反思:解题的实质就是消除或缩小条件和结论之间的差异,并运用数学知识和方法来缩小这种差距,直到问题的解决.这就需要解题者认真审题,把握数学问题的本质,从条件和结论的内在联系中挖掘隐含条件.
　　综上可知,弄清隐含条件藏身之处不仅事关解题的成败,而且有利于迅速把握问题的本质、减缩思维过程、优化解法.
　　巩固练习:
　　1.已知平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),若a,b的夹角为钝角,求实数λ的取值范围.
　　2.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a、b的值.
　　3.已知tanα和tanβ是方程x2+33x+4=0两个根,且-π2<α<π2,-π2<β<π2,求α+β的值.
　　参考答案:
　　1.设a,b的夹角为θ,则cosθ=a•b|a||b|=-2λ-15(λ2+1),∵θ为钝角,∴-1<cosθ<0,∴λ∈(-12,2)∪(2,+∞).
　　2.f′(1)=0,f(1)=0,即3+2a+b=0,1+a+b+a2=0.
　　解得a=4,b=-11,或a=-3,b=3.
　　当a=-3,b=3时,f(x)=x3-3x2+3x+9,虽然f′(1)=0,但是在x=1的左右两侧f′(x)同号,此时x=1不是极值点,所以a=-3,b=3这组解为增解,应舍去.
　　故a=4,b=-11.
　　3.∵tanα、tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,∴tanα+tanβ=-33,tanα•tanβ=4.
　　∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3.
　　∵-π2<α<π2,-π2<β<π2,
　　∴-π<α+β<π,∴α+β=π3或-2π3.
　　∵tanα、tanβ同为负值,(隐含信息)
　　∴-π2<α<0,-π2<β<0,
　　∴α+β=-23π.
　　(责任编辑:金 铃)