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动态问题是中考中的重点与热点问题。此类问题包含的知识点比较广泛,蕴藏了丰富的思想方法，解题的思维容量非常大，可以很好地考查了学生的数学素质和学习潜力，因此受到了很多命题者的青睐。对于学生而言，由于知识综合度高，过程复杂，思维难度高，因此学生普遍感觉解题困难，针对此类问题有无恰当的方法技巧解决呢?笔者经过自己的教学实践总结归纳出解答方法——电影抓拍法,尽供大家参考。
动态问题的核心知识是分段函数,因此解答动态问题运用的主要知识就是分段函数知识；运用到的主要思想方法就是在运动时间序列上的分类讨论思想，及数形结合思想。动态问题中的运动过程一般都比较复杂，涉及的过程都包含几个阶段,怎么样来帮助学生理清这个运动过程呢?我想用电影的形成过程为例,直观形象的帮助学生解题。电影抓拍法大致思路如下:
一部电影通常有几个故事情节构成,故事之间都是前后紧密联系的,每个情节都会包含开端,高潮,结局三部分.将这一原理灵活应用到动态问题中,由于动态问题的知识点为分段函数,而分段函数的每个分支实际为该运动阶段的一个数学关系式,而分段点就是自变量的取值端点。因此,将动态问题的运动过程看成一部电影,把每个阶段看成一个故事情节,每个故事情节的开端与结局就是分段函数的自变量取值左、右端点，而故事的高潮部分就作为求分段函数在该运动阶段的的分支函数的依据。 在此思想的指导下，解动态问题就可以将每个运动阶段的草图画出来，每一个运动阶段画三张草图，分别代表运动的开始，运动过程中，运动结束。再根据第一张图求出分支函数的自变量左端点，第二张图求出分支函数的解析式，第三张图求出分段函数自变量的右端点；其他运动过程以此类推即可（其中每个阶段的结局图片也就是下一个阶段的开始图片，此图片起到承上启下的作用）。每个运动阶段如何划分呢？一个简单的办法就是当运动的点或线或图形在运动过程中其轨迹经过转折点，图形顶点或端点处即为分段点，或者图形的形状发生改变处也是分段点。
动态问题根据运动的图形对象，可以分为动点、动直线、动图形三类，下面就分别对此三类问题运用电影抓拍法举例说明。
一、动点问题
例1 （2011年山东烟台中考题）如图1，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上。直线CB的表达式为y＝－■x＋■，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）。动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位。当其中一个动点到达 终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.
图1
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求S随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？并求出最大值.
分析：观察整个运动后发现，当P点经过O点时，三角形突然消失，说明这是一个分段点；当Q点到达C点时，原来普通的三角形突然变成了直角三角形，这也是一个分段点；当Q点到达D点时，P点还在OB上，此时运动结束。上述分析过程表明，本运动过程包括了三个运动阶段，分段函数应该包括了三个分支函数。根据这些分析，将三个阶段的草图绘制出来，如下列图：
（1）第一阶段开始，P,Q点还在A,B点处，如图2，此时t＝0,
图2 图3 图4
（2）第一阶段高潮，P在AO之间，Q点在BC之间，如图3，根据此图可求得
S＝■OP·QN＝■（4－t）×■t ＝－■t2＋■t.
（3）第一阶段结束，P点到達O点，Q点在BC之间，如图4，此时t＝4;
（4）第二阶段开始即为第一阶段结束，其图形与图4重复；
（5）第二阶段高潮，P点在ON之间，Q在BC上，如图5，根据此图可求得
S＝■OP·QN＝■×（t－4）×■t＝■t2－■t.
图5 图6 图7
（6）第二阶段结束，P点到达N点，Q点在N点正上方，如图6，此时t＝5;
（7）第三阶段开始即为第二阶段结束，如图6；
（8）第三阶段高潮，P点在CD上运动，P在OB上，如图6，根据此图可求得
S＝■×OP×OD＝■ （t－4）×4＝2t－8；
（9）第三阶段结束，Q点到达D,P在OB上运动，此时t＝6.
综上所述，一个完整的动态问题就分析完毕，整个运动过程也就分解得十分清晰了。解答过程如下：
解：（1）C点的坐标为（1，4）；
点B坐标为（4，0）.
（2）作CM⊥AB于M，如图1，CM＝4，BM＝3.
∴BC＝■＝■＝5.
∴sin∠ABC＝■＝■.
①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，如题图，
则QN＝BQ·sin∠ABC＝■t.
∴S＝■OP·QN＝■（4－t）×■t ＝－■t2＋■t（0＜t＜4）.
②当4＜t≤5时，如图5，
连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
同理可得QN＝■t.
∴S＝■OP·QN＝■×（t－4）×■t＝■t2－■t（4＜t≤5）.
③当5＜t≤6时，如图7，
连接QO，QP.
S＝■×OP×OD＝■（t－4）×4＝2t－8（5＜t≤6）.
（3）①在0＜t＜4时，
当t＝■＝2时，
S最大＝■＝■.
②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝■t2－■t，当t＝－■＝2时，
S最小＝■×22－■×2＝－■.
∴抛物线S＝■t2－■t的顶点为（2，－■）.
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝■×52 －■×5＝2.
③在5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
二、动直线问题
例2 （2008年湖南长沙创新大赛初赛题）如图8边长为2厘米的等边△ABC，直线l经过点A且垂直于AB,直线l从A点出发向右运动，速度为1厘米/秒，记直线扫过△ABC的面积为S,求S关于t的函数关系式。
图8
分析：直线l在运动过程中经过点C,B ,故运动过程分成两个阶段，将草图绘制如下：
第一阶段：
图9 图10 图11
第二阶段：
图12 图13
由图9知，t＝0;由图11知，t＝1;由图13知，t＝2;
由图10得，S＝■t·■t＝■t2;
由图12得, S＝■×2×■－■（2－t）·■（2－t）＝■－■（2－t）2.
解答过程略.
三、动图形问题
例3 如图14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是 ；当t＝3时，正方形EFGH的边长是 ；（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
图14
分析:在该运动过程中,重叠部分的图形分别为正方形,五边形,梯形三种图形,因此该过程分成三个运动阶段,分别画出三个运动阶段的三张图片即可,共七张草图,思路就非常清晰了.具体解答如下:
【答案】（1）2；6；
（2）当0＜t≤■时,如图15，求S与t的函数关系式是：S＝ S矩形EFGH＝（2t）2＝4t2；
当■＜t≤■时,如图16，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH－S△HMN＝4t2－■×■×[2t－ ■（2－t）] 2＝
－■t2+ ■t－■；
图15
当■＜t≤2时,如图，求S与t的函数关系式是：S＝S△ARF -S△AQE ＝■×■（2+t）2 －■×■（2－t）2＝3t.
图16
(3)由（2）知：若0＜t≤■，则当t＝■时S最大，其最大值S＝■；
若■＜t≤■，则当t＝■时S最大，其最大值S＝■；
若■＜t≤2，则当t＝2时S最大，其最大值S＝6.
综上所述，当t＝2时S最大，最大面积是6.
综上所述,对于上述三种类型的动态问题,只要善于抓住运动过程中的分段点,准确地画出每个运动阶段的三张草图,思路就很清晰了,解答过程就簡单化了!
电影抓拍法看懂了吗?不妨试一试吧!
动态问题的核心知识是分段函数,因此解答动态问题运用的主要知识就是分段函数知识；运用到的主要思想方法就是在运动时间序列上的分类讨论思想，及数形结合思想。动态问题中的运动过程一般都比较复杂，涉及的过程都包含几个阶段,怎么样来帮助学生理清这个运动过程呢?我想用电影的形成过程为例,直观形象的帮助学生解题。电影抓拍法大致思路如下:
一部电影通常有几个故事情节构成,故事之间都是前后紧密联系的,每个情节都会包含开端,高潮,结局三部分.将这一原理灵活应用到动态问题中,由于动态问题的知识点为分段函数,而分段函数的每个分支实际为该运动阶段的一个数学关系式,而分段点就是自变量的取值端点。因此,将动态问题的运动过程看成一部电影,把每个阶段看成一个故事情节,每个故事情节的开端与结局就是分段函数的自变量取值左、右端点，而故事的高潮部分就作为求分段函数在该运动阶段的的分支函数的依据。 在此思想的指导下，解动态问题就可以将每个运动阶段的草图画出来，每一个运动阶段画三张草图，分别代表运动的开始，运动过程中，运动结束。再根据第一张图求出分支函数的自变量左端点，第二张图求出分支函数的解析式，第三张图求出分段函数自变量的右端点；其他运动过程以此类推即可（其中每个阶段的结局图片也就是下一个阶段的开始图片，此图片起到承上启下的作用）。每个运动阶段如何划分呢？一个简单的办法就是当运动的点或线或图形在运动过程中其轨迹经过转折点，图形顶点或端点处即为分段点，或者图形的形状发生改变处也是分段点。
动态问题根据运动的图形对象，可以分为动点、动直线、动图形三类，下面就分别对此三类问题运用电影抓拍法举例说明。
一、动点问题
例1 （2011年山东烟台中考题）如图1，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上。直线CB的表达式为y＝－■x＋■，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）。动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位。当其中一个动点到达 终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.
图1
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求S随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值？并求出最大值.
分析：观察整个运动后发现，当P点经过O点时，三角形突然消失，说明这是一个分段点；当Q点到达C点时，原来普通的三角形突然变成了直角三角形，这也是一个分段点；当Q点到达D点时，P点还在OB上，此时运动结束。上述分析过程表明，本运动过程包括了三个运动阶段，分段函数应该包括了三个分支函数。根据这些分析，将三个阶段的草图绘制出来，如下列图：
（1）第一阶段开始，P,Q点还在A,B点处，如图2，此时t＝0,
图2 图3 图4
（2）第一阶段高潮，P在AO之间，Q点在BC之间，如图3，根据此图可求得
S＝■OP·QN＝■（4－t）×■t ＝－■t2＋■t.
（3）第一阶段结束，P点到達O点，Q点在BC之间，如图4，此时t＝4;
（4）第二阶段开始即为第一阶段结束，其图形与图4重复；
（5）第二阶段高潮，P点在ON之间，Q在BC上，如图5，根据此图可求得
S＝■OP·QN＝■×（t－4）×■t＝■t2－■t.
图5 图6 图7
（6）第二阶段结束，P点到达N点，Q点在N点正上方，如图6，此时t＝5;
（7）第三阶段开始即为第二阶段结束，如图6；
（8）第三阶段高潮，P点在CD上运动，P在OB上，如图6，根据此图可求得
S＝■×OP×OD＝■ （t－4）×4＝2t－8；
（9）第三阶段结束，Q点到达D,P在OB上运动，此时t＝6.
综上所述，一个完整的动态问题就分析完毕，整个运动过程也就分解得十分清晰了。解答过程如下：
解：（1）C点的坐标为（1，4）；
点B坐标为（4，0）.
（2）作CM⊥AB于M，如图1，CM＝4，BM＝3.
∴BC＝■＝■＝5.
∴sin∠ABC＝■＝■.
①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，如题图，
则QN＝BQ·sin∠ABC＝■t.
∴S＝■OP·QN＝■（4－t）×■t ＝－■t2＋■t（0＜t＜4）.
②当4＜t≤5时，如图5，
连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
同理可得QN＝■t.
∴S＝■OP·QN＝■×（t－4）×■t＝■t2－■t（4＜t≤5）.
③当5＜t≤6时，如图7，
连接QO，QP.
S＝■×OP×OD＝■（t－4）×4＝2t－8（5＜t≤6）.
（3）①在0＜t＜4时，
当t＝■＝2时，
S最大＝■＝■.
②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝■t2－■t，当t＝－■＝2时，
S最小＝■×22－■×2＝－■.
∴抛物线S＝■t2－■t的顶点为（2，－■）.
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝■×52 －■×5＝2.
③在5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
二、动直线问题
例2 （2008年湖南长沙创新大赛初赛题）如图8边长为2厘米的等边△ABC，直线l经过点A且垂直于AB,直线l从A点出发向右运动，速度为1厘米/秒，记直线扫过△ABC的面积为S,求S关于t的函数关系式。
图8
分析：直线l在运动过程中经过点C,B ,故运动过程分成两个阶段，将草图绘制如下：
第一阶段：
图9 图10 图11
第二阶段：
图12 图13
由图9知，t＝0;由图11知，t＝1;由图13知，t＝2;
由图10得，S＝■t·■t＝■t2;
由图12得, S＝■×2×■－■（2－t）·■（2－t）＝■－■（2－t）2.
解答过程略.
三、动图形问题
例3 如图14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是 ；当t＝3时，正方形EFGH的边长是 ；（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
图14
分析:在该运动过程中,重叠部分的图形分别为正方形,五边形,梯形三种图形,因此该过程分成三个运动阶段,分别画出三个运动阶段的三张图片即可,共七张草图,思路就非常清晰了.具体解答如下:
【答案】（1）2；6；
（2）当0＜t≤■时,如图15，求S与t的函数关系式是：S＝ S矩形EFGH＝（2t）2＝4t2；
当■＜t≤■时,如图16，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH－S△HMN＝4t2－■×■×[2t－ ■（2－t）] 2＝
－■t2+ ■t－■；
图15
当■＜t≤2时,如图，求S与t的函数关系式是：S＝S△ARF -S△AQE ＝■×■（2+t）2 －■×■（2－t）2＝3t.
图16
(3)由（2）知：若0＜t≤■，则当t＝■时S最大，其最大值S＝■；
若■＜t≤■，则当t＝■时S最大，其最大值S＝■；
若■＜t≤2，则当t＝2时S最大，其最大值S＝6.
综上所述，当t＝2时S最大，最大面积是6.
综上所述,对于上述三种类型的动态问题,只要善于抓住运动过程中的分段点,准确地画出每个运动阶段的三张草图,思路就很清晰了,解答过程就簡单化了!
电影抓拍法看懂了吗?不妨试一试吧!