论文部分内容阅读
类型一：利用三角函数恒等变形化为三角函数的一角一次一名的形式。
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即 等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中出现频率较高。
例1.已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
【解析】 利用二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
解：（Ⅰ）∵ ，
∴函数 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由 ，∴ ，
∴ 在区间 上的最大值为1，最小值为
类型二 ：f(x)=asinθ+bcosθ= sin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan = 确。解题步骤是：先化成一角一次二名的形式，再利用公式asinθ+bcosθ= sin(θ+ )化成一角一次一名的形式。
例2.已知函数f(x)=sin2x+ sinxcosx+2cos2x,x R.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
（II）方法一：先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象。
方法二：把 图象上所有的点按向量 平移，就得到 的图象。
思维要点:=， =， 与 化为一次的本质是 ， 化为一次的本质是 。
类型三：角的配凑，即用已知三角函数值的角表示未知角。例如：α=（α+β）－β，β= － ， ， 等。已知三角函数值的角有两类，一类是题目中给出三角函数值，一类是特殊角的三角函数值
例3.已知 ，则 的值是（ C ）
A． B． C． D．
解： = = , = 是解决本题的关键。
类型四：解三角形
三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方。
(2)正弦定理： (R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式： ；； ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。
(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。
(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） 中，A、B的对边三角形内角和是 ，正余弦定理，面积公式 。
例4（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，
，.
若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
若 ⊥ ，边长c = 2，角C =，求ΔABC的面积 .
证明：（1）
即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
思维要点：第一问利用正弦定理纯化为边。
例5：在 ABC中， 。
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若 =- ，求sin 的值。
思维要点：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.
解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 = .于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为 ，从而B-C=0.
所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C= 和（Ⅰ）得A= -2B,故cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .
又0<2B< ,于是sin2B= = .
从而sin4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B= .
所以 。
思维要点：利用正弦定理把已知条件纯化为边或角的条件。本题把边和角的混合条件 纯化为关于角的条件 = 使问题找到了突破口。
类型五:一元二次函数模型，可化为 ， ，。
例6（2010北京理数）（15）（本小题共13分）www.@ks@5u.com 已知函数。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值和最小值。
解：（I）
（II）
因为 ，所以，当 时， 取最大值6；当 时， 取最小值
思维要点：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。
总之，三角模块与其他知识的模块的结合，以及五大模块内部的综合逐步成为趋势，这两种综合只是增加了形式的变化，本质仍围绕五大基本类型。这些基本类型仍将为解题思维指示方向。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即 等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中出现频率较高。
例1.已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
【解析】 利用二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
解：（Ⅰ）∵ ，
∴函数 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由 ，∴ ，
∴ 在区间 上的最大值为1，最小值为
类型二 ：f(x)=asinθ+bcosθ= sin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan = 确。解题步骤是：先化成一角一次二名的形式，再利用公式asinθ+bcosθ= sin(θ+ )化成一角一次一名的形式。
例2.已知函数f(x)=sin2x+ sinxcosx+2cos2x,x R.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
（II）方法一：先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象。
方法二：把 图象上所有的点按向量 平移，就得到 的图象。
思维要点:=， =， 与 化为一次的本质是 ， 化为一次的本质是 。
类型三：角的配凑，即用已知三角函数值的角表示未知角。例如：α=（α+β）－β，β= － ， ， 等。已知三角函数值的角有两类，一类是题目中给出三角函数值，一类是特殊角的三角函数值
例3.已知 ，则 的值是（ C ）
A． B． C． D．
解： = = , = 是解决本题的关键。
类型四：解三角形
三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方。
(2)正弦定理： (R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式： ；； ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。
(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。
(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） 中，A、B的对边三角形内角和是 ，正余弦定理，面积公式 。
例4（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，
，.
若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
若 ⊥ ，边长c = 2，角C =，求ΔABC的面积 .
证明：（1）
即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
思维要点：第一问利用正弦定理纯化为边。
例5：在 ABC中， 。
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若 =- ，求sin 的值。
思维要点：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.
解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 = .于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为 ，从而B-C=0.
所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C= 和（Ⅰ）得A= -2B,故cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .
又0<2B< ,于是sin2B= = .
从而sin4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B= .
所以 。
思维要点：利用正弦定理把已知条件纯化为边或角的条件。本题把边和角的混合条件 纯化为关于角的条件 = 使问题找到了突破口。
类型五:一元二次函数模型，可化为 ， ，。
例6（2010北京理数）（15）（本小题共13分）www.@ks@5u.com 已知函数。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值和最小值。
解：（I）
（II）
因为 ，所以，当 时， 取最大值6；当 时， 取最小值
思维要点：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。
总之，三角模块与其他知识的模块的结合，以及五大模块内部的综合逐步成为趋势，这两种综合只是增加了形式的变化，本质仍围绕五大基本类型。这些基本类型仍将为解题思维指示方向。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文