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摘要：为保证继电保护准确动作的要求，国内外学者对卡尔曼滤波进行了广泛的研究。文章是在学习卡尔曼滤波原理（KFT）基础上，进行卡尔曼滤波器的研究和设计。文章对卡尔曼滤波原理和短路过程基频电压、电流作了详细的分析，之后建立了电流、电压的数学模型，利用卡尔曼滤波原理（KFT）算法，对电流、电压进行估计。
关键词：卡尔曼滤波器；控制输入；电力系统
中图分类号：TM466 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）12-0082-02
电力系统发生故障时，自动地、快速地、有选择性地切除故障设备，保证系统其余部分迅速恢复正常运行，并使故障设备不再继续遭到破坏。当电力系统发生不正常工作情况时，及时准确地发出报警信号，以便运行人员及时处理，防止不正常情况继续持续或发展成为故障。故障信号中含有谐波分量和衰减直流分量，目前，大多数继电保护以故障后的稳态基频分量作为判据，如何从故障暂态信号中快速、准确地对基频电流、电压进行估计是微机继电保护面临的主要问题。常见的微机保护算法有傅立叶算法、采样和导数法、卡尔曼滤波算法和半周积分法等。
卡尔曼滤波器在1960年由R.E.Kalman发现，由于在数字计算发展中的进步，卡尔曼滤波器是有广阔研究应用前景的科目。卡尔曼滤波提供了一种从间接测量中分析缺少的信息的方法。当动态系统是线性的并且当各种噪声因素特性的统计已知，卡尔曼滤波提供了最佳状态估计方法。近些年来，一些基于卡尔曼滤波理论的新机算法已引入微机继电保护领域中，卡尔曼滤波算法适用于平稳过程也适用于非平稳过程，对噪声有很好的抑制作用，且能成功滤除非整数倍谐波，被广泛应用于频率跟踪、谐波分析等场合，卡尔曼滤波算法在数据窗暂态条件下能够给出基波分量的最优估计，随着微机的快速发展，卡尔曼滤波算法得到了越来越广泛的应用。
1 离散卡尔曼滤波原理
在实际的动态系统中，除了非随机的控制输入U外，还有随机扰动输入w（k），例如外界干扰或系统建模误差等都可列为w（k）。这种扰动又称为动态噪声。作用于动态系统上的随机干扰除了动态噪声外，还有系统产生的量测噪声v（k），它一般作用在系统的出口。离散线性系统模型如下：
离散卡尔曼滤波器回归的产生能由5个等式表达，能用下面的方法实现：
（1）状态估计外推法：
（10）
（2）协方差估计外推法：
（11）
（3）卡尔曼滤波器增益：
（12）
（4）状态估计校正：
（13）
（5）协方差估计校正：
（14）
表示状态估计，由增值方程式单独产生。是有相互关系的状态的估计，说明测量和PK/K-1及PK都同样被定义了。
卡尔曼滤波算法需要给出系统的初始状态、
R（0）以及常数矩阵Q、R。初始状态对卡尔曼滤波算法性能好坏几乎没有影响。因此，在参数选取过程中，协方差矩阵 、Q、R参数的选取是关键，其合理与否直接影响着系统的运行性能和收敛程度。卡尔曼滤波计算流程图及滤波框图如图1、图2所示。
噪声对系统状态及测量造成一定的影响，使信号波形产生一定的变化，所以要想办法抑制噪声对信号的影响，将公式（2）代入公式（1），且设非随机的控制输入U为零，则有：
可以看出，若消除或减弱噪声信号的影响，再现系统的理想状态，可令-CKwK-1=vK，这在matlab等仿真软件中是不难实现的。但在实际的控制系统中，由于测量噪声及系统噪声具有不确定性，实际消除噪声的影响是很难实
现的。
2 数学模型
系统故障信号中含有基频分量、高频分量、随指数衰减的暂态分量及服从高斯分布的噪声信号，基频分量在继电保护中起着举足轻重的作用，为了从故障信号中提出基频分量，即短路后的稳态分量，必须建立相应的状态空间模型和观测模型。本文采用带有未知幅值和相角的向量表示基频分量，并假定向量是静止的，参考坐标轴以频率旋转，这样，分量的瞬时值线性方程为：
X（t）=X0+A·sin（ωt+φ）=X0+A·cosφsinωt+Asinφcosωt
=X0+X1sinωt+X2cosωt
在上述假定条件下，X0为随指数衰减的暂态分量，X1和X2是恒定的，当采样周期为Ts时，且考虑噪声信号，则系统状态方程为：
X（K+1）=A（K）·X（K）+W（K），
观测方程为：
式中：V（K）用来表示暂态分量以及测量误差。
动态系统数学模型确定之后，进一步要建立噪声信号模型及确定它们的协方差矩阵Q、R，卡尔曼滤波算法是一套递推关系式，要求给出初始估计值X（0）、K（0）来启动递推过程。滤波参数的选取是决定卡尔曼滤波性能好坏的关键，在使用过程中，大多数是用试凑的方法来实现的，P（0）的选取对滤波性能好坏没有影响，可取短路前的状态值也可取过程均值为零。在电气设备故障保护中可取X（0）=0，取P（0）为单位阵，负荷变化引起的噪声方差Q影响很小，可忽略不计，可取W≈0，R=R0e-kTs/τ，一般R（0）取0.001～0.005，τ取25～45。
在具体的继电保护程序中，由于R是在程序中已经给出，那么根据-CKwK-1=vK来确定Q的值是很容易的事情，由此基本可以使负荷引起的噪声与测量噪声相互消除，使基波分量更加趋于平滑，实现再现的目的。
3 结语
基于卡尔曼滤波的基波分量的提取在很多文献中已经做了大量的研究，本文不再做过多的叙述，卡尔曼滤波算法的迭代过程较为复杂，但由于在求解时不需要贮存大量的观测数据，并且当得到新的观测数据时，可随时算得新的参数滤波值，便于实时地处理观测结果，因此，卡尔曼滤波被越来越多地应用于动态数据处理中。本文通过卡尔曼滤波算法来提取基波分量，并提出了用测量噪声来减小系统噪声的方法，进一步提高了运算精度，这可以在DSP这类数字平台上实现。
参考文献
[1] 张静，徐政.基于卡尔曼滤波误差的电能质量扰动检测[J].电力系统及其自动化学报，2006，18（5）.
[2] 李斌，李永丽，贺家李.一种提取基波分量的高精度快速滤波算法[J].电力系统自动化，2006，30（10）.
[3] Girgi s， A diy A. Application of KaimaⅡ Filterlng in Computer ReIaying[J]. IEEE TrsnsaCti OIlS On Po er A pparatUs and Sy stem， PA S=100， NO.7：3387-3395.
[4] A.A.Girgis and R.G Brown.Application of Kalman Filtering in Computr Relaying[J].IEEE Transaction Power Apparatus and Systems，1981，Vol pas-100 No.7.
[5] 胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2001.
[6] 余九祥.微机保护中卡尔曼滤波模型参数的选择[J].电力系统自动化，1993，17（2）.
[7] 孙旭霞，郭永胜.基于小波-卡尔曼滤波的基波分量提取[J].电力系统及其自动化学报，2012，24（4）.
[8] 张哲，陈德树.自适应卡尔曼滤波在计算机继电保护中的应用[J].继电器，1991，（1）.
[9] 张斌，张东来.电力系统自适应基波提取与频率跟踪算法[J].中国电机工程学报，2011，31（25）.
作者简介：李腾飞（1975—），男，河北玉田人，中色科技股份有限公司工程师，硕士，研究方向：电气设备。
（责任编辑：文 森）
关键词：卡尔曼滤波器；控制输入；电力系统
中图分类号：TM466 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）12-0082-02
电力系统发生故障时，自动地、快速地、有选择性地切除故障设备，保证系统其余部分迅速恢复正常运行，并使故障设备不再继续遭到破坏。当电力系统发生不正常工作情况时，及时准确地发出报警信号，以便运行人员及时处理，防止不正常情况继续持续或发展成为故障。故障信号中含有谐波分量和衰减直流分量，目前，大多数继电保护以故障后的稳态基频分量作为判据，如何从故障暂态信号中快速、准确地对基频电流、电压进行估计是微机继电保护面临的主要问题。常见的微机保护算法有傅立叶算法、采样和导数法、卡尔曼滤波算法和半周积分法等。
卡尔曼滤波器在1960年由R.E.Kalman发现，由于在数字计算发展中的进步，卡尔曼滤波器是有广阔研究应用前景的科目。卡尔曼滤波提供了一种从间接测量中分析缺少的信息的方法。当动态系统是线性的并且当各种噪声因素特性的统计已知，卡尔曼滤波提供了最佳状态估计方法。近些年来，一些基于卡尔曼滤波理论的新机算法已引入微机继电保护领域中，卡尔曼滤波算法适用于平稳过程也适用于非平稳过程，对噪声有很好的抑制作用，且能成功滤除非整数倍谐波，被广泛应用于频率跟踪、谐波分析等场合，卡尔曼滤波算法在数据窗暂态条件下能够给出基波分量的最优估计，随着微机的快速发展，卡尔曼滤波算法得到了越来越广泛的应用。
1 离散卡尔曼滤波原理
在实际的动态系统中，除了非随机的控制输入U外，还有随机扰动输入w（k），例如外界干扰或系统建模误差等都可列为w（k）。这种扰动又称为动态噪声。作用于动态系统上的随机干扰除了动态噪声外，还有系统产生的量测噪声v（k），它一般作用在系统的出口。离散线性系统模型如下：
离散卡尔曼滤波器回归的产生能由5个等式表达，能用下面的方法实现：
（1）状态估计外推法：
（10）
（2）协方差估计外推法：
（11）
（3）卡尔曼滤波器增益：
（12）
（4）状态估计校正：
（13）
（5）协方差估计校正：
（14）
表示状态估计，由增值方程式单独产生。是有相互关系的状态的估计，说明测量和PK/K-1及PK都同样被定义了。
卡尔曼滤波算法需要给出系统的初始状态、
R（0）以及常数矩阵Q、R。初始状态对卡尔曼滤波算法性能好坏几乎没有影响。因此，在参数选取过程中，协方差矩阵 、Q、R参数的选取是关键，其合理与否直接影响着系统的运行性能和收敛程度。卡尔曼滤波计算流程图及滤波框图如图1、图2所示。
噪声对系统状态及测量造成一定的影响，使信号波形产生一定的变化，所以要想办法抑制噪声对信号的影响，将公式（2）代入公式（1），且设非随机的控制输入U为零，则有：
可以看出，若消除或减弱噪声信号的影响，再现系统的理想状态，可令-CKwK-1=vK，这在matlab等仿真软件中是不难实现的。但在实际的控制系统中，由于测量噪声及系统噪声具有不确定性，实际消除噪声的影响是很难实
现的。
2 数学模型
系统故障信号中含有基频分量、高频分量、随指数衰减的暂态分量及服从高斯分布的噪声信号，基频分量在继电保护中起着举足轻重的作用，为了从故障信号中提出基频分量，即短路后的稳态分量，必须建立相应的状态空间模型和观测模型。本文采用带有未知幅值和相角的向量表示基频分量，并假定向量是静止的，参考坐标轴以频率旋转，这样，分量的瞬时值线性方程为：
X（t）=X0+A·sin（ωt+φ）=X0+A·cosφsinωt+Asinφcosωt
=X0+X1sinωt+X2cosωt
在上述假定条件下，X0为随指数衰减的暂态分量，X1和X2是恒定的，当采样周期为Ts时，且考虑噪声信号，则系统状态方程为：
X（K+1）=A（K）·X（K）+W（K），
观测方程为：
式中：V（K）用来表示暂态分量以及测量误差。
动态系统数学模型确定之后，进一步要建立噪声信号模型及确定它们的协方差矩阵Q、R，卡尔曼滤波算法是一套递推关系式，要求给出初始估计值X（0）、K（0）来启动递推过程。滤波参数的选取是决定卡尔曼滤波性能好坏的关键，在使用过程中，大多数是用试凑的方法来实现的，P（0）的选取对滤波性能好坏没有影响，可取短路前的状态值也可取过程均值为零。在电气设备故障保护中可取X（0）=0，取P（0）为单位阵，负荷变化引起的噪声方差Q影响很小，可忽略不计，可取W≈0，R=R0e-kTs/τ，一般R（0）取0.001～0.005，τ取25～45。
在具体的继电保护程序中，由于R是在程序中已经给出，那么根据-CKwK-1=vK来确定Q的值是很容易的事情，由此基本可以使负荷引起的噪声与测量噪声相互消除，使基波分量更加趋于平滑，实现再现的目的。
3 结语
基于卡尔曼滤波的基波分量的提取在很多文献中已经做了大量的研究，本文不再做过多的叙述，卡尔曼滤波算法的迭代过程较为复杂，但由于在求解时不需要贮存大量的观测数据，并且当得到新的观测数据时，可随时算得新的参数滤波值，便于实时地处理观测结果，因此，卡尔曼滤波被越来越多地应用于动态数据处理中。本文通过卡尔曼滤波算法来提取基波分量，并提出了用测量噪声来减小系统噪声的方法，进一步提高了运算精度，这可以在DSP这类数字平台上实现。
参考文献
[1] 张静，徐政.基于卡尔曼滤波误差的电能质量扰动检测[J].电力系统及其自动化学报，2006，18（5）.
[2] 李斌，李永丽，贺家李.一种提取基波分量的高精度快速滤波算法[J].电力系统自动化，2006，30（10）.
[3] Girgi s， A diy A. Application of KaimaⅡ Filterlng in Computer ReIaying[J]. IEEE TrsnsaCti OIlS On Po er A pparatUs and Sy stem， PA S=100， NO.7：3387-3395.
[4] A.A.Girgis and R.G Brown.Application of Kalman Filtering in Computr Relaying[J].IEEE Transaction Power Apparatus and Systems，1981，Vol pas-100 No.7.
[5] 胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2001.
[6] 余九祥.微机保护中卡尔曼滤波模型参数的选择[J].电力系统自动化，1993，17（2）.
[7] 孙旭霞，郭永胜.基于小波-卡尔曼滤波的基波分量提取[J].电力系统及其自动化学报，2012，24（4）.
[8] 张哲，陈德树.自适应卡尔曼滤波在计算机继电保护中的应用[J].继电器，1991，（1）.
[9] 张斌，张东来.电力系统自适应基波提取与频率跟踪算法[J].中国电机工程学报，2011，31（25）.
作者简介：李腾飞（1975—），男，河北玉田人，中色科技股份有限公司工程师，硕士，研究方向：电气设备。
（责任编辑：文 森）