【摘 要】分段函数大部分不是初等函数，在分段点处有不同于一般初等函数的分析学讨论方法，在微积分教学中，灵活运用分段函数举例，能加强学生对概念的理解，提高学生综合运用知识的能力。
　　【关键词】分段函数；微积分；教学；应用举例
　　在函数定义域的不同部分，因变量与自变量之间的对应关系不同的函数，称为分段函数。例如：y=|x|，y=[x]，y=sgnx等是常见的比较简单的分段函数，实际生活中快递费用随快递地区及重量区间的改变而改变，个税随着收入的区间不同而有不同的税率等都是常见的分段函数。
　　分段函数在分界点左右两侧有不同的定义，在微积分教学中，灵活运用分段函数举例，对理解单侧极限，单侧导数，连续，可导，原函数的存在性，可积性，偏导数，可微性等概念发挥着重要作用。
　　下面就分段函数在微积分教学中作用举例说明。
　　一、一元函数微积分学
　　1.分段函数在分段点处的极限
　　从此例看出，讨论分段函数在分段点x0处的连续性，必须满足：函数在x0的某邻域内有定义，函数在x0点的左右极限均存在且相等，在x0点的极限值等于函数值，这三条中其中任何一条不满足，则x0点为函数的间断点。其中，左右极限均存在但不相等的点称跳跃间断点，左右极限存在且相等但不等于函数值的点称可去间断点，左右极限中至少有一个不存在的点称为第二类间断点。
　　3.在分段点处的可导性
　　函数在某点可导的充要条件：函数在这点的左导数等于右导数。根据导数的定义，导数是函数改变量与自变量改变量比值的极限，所以某点的导数是否存在和函数在这点左右两侧的定义，函数在该点的函数值均有关，还取决于两个增量比的极限。在例2中，补充函数在x=0的定义，令f（0）=1，则函数在x=0点连续。
　　从这两个例题看出，二元函数在一点的连续，函数在这点的偏导数可能存在，也可能不存在，这和一元函数导数存在必连续不同；同样，二元函数偏导存在不能保证函数可微，但函数在一点可微，则其偏导必存在，但不一定连续。所以偏导存在是可微的必要条件，偏导存在且连续是可微的充分条件，二元函数的可微性，我们仅得到其必要条件和充分条件，没有像一元函数可导即可微那样的充要条件。
　　类似的例子还很多，不再一一列举。从这些例子看出，在微积分教学过程中灵活运用分段函数举例，可增强同学们对概念、定理的理解，提高解决实际问题的能力，起到事半功倍的效果。
　　【参考文献】
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　　（山东财经大学校级教学研究和教学改革立项项目（Jy201447））