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平面解析几何一直是高考真题卷中拉开差距的提分题，得分率普遍偏低。透露出来的信息，一方面是高考平面解析几何试题本身需要具备较强的逻辑分析能力，以及问题转化能力和创新能力，另一方面平面解析几何试题对知识的理解运用要求高，需要考生在平时将平面几何题熟练掌握，方能举一反三。而2017年高考数学真题全国卷1理科20题再次做了一个很好的示范作用，通过对这道题进行一定的分析，以期对平面几何的类型题有更好的理解和掌握。
题目分析
2017年高考数学真题全国卷1理科20题作为压轴出场，具有至关重要的地位，在题目和题型的设计上保持着一贯的作风，能够将学生的成绩在整体上拉开差距。对于基础掌握牢靠的学生来讲，是必须要掌握的一道题型。首先从题目上进行简要的分析，已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，[32]），P4（1，[32]）中恰有三点在椭圆C上。
（1）求C的方程。
考察方向：椭圆的基本方程。主要利用的就是椭圆对称的特性，可知P3（-1，[32]），P4（1，[32]）此两点一定是沿y对称轴对称分布，并且这椭圆C一定同时经过这两点。而且，又因P4（1，[32]）一定在椭圆C上，那么P1（1，1）由于与P4（1，[32]）X轴一致，y轴上不一致，根据常理椭圆只可经过其中一点。因此，P1（1，1）一定不在椭圆C上，该椭圆C具体如下图所示。具体的方程求解过程较为简单和常规，可根据P3（-1，[32]），P4（1，[32]）套用常规掌握的椭圆基本方程。可知：b=1，a=2。 [x][y][P3（-1，[32]）][P4（1，[32]）][（0，1）] [o]
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。
考察方向：直线与圆锥曲线的位置关系。几何证明类题目，需要将抽象的平面几何问题转化为常规型代数问题，要么是通过方程转化、要么是通过定位坐标、要么是通过补等关系，而这道题很明显是通过坐标的方式，转化为代数问题的，这是核心的解题思路。利用题目中若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，以及设出直线l的斜率公式来解题。通过几何本身的问题来优化题目。
解题思路分析与解题步骤
（1）求C的方程。
解题思路：
由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不经过点P1，所以点P2在C上。直接代入方程，进而求出椭圆的方程
解析 由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点。
又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不经过点P1，所以点P2在C上。
因此[1b2=11a2+34b2=1]解得[a2=4b2=1]。
故C的方程为[x24+y2=1]。
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。
解题思路：由题意可知直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，l与x轴垂直，通过计算不符合题设；再设l：y=kx+m（m≠1）。将y=kx+m代入[x24+y2=1]，写出判别式，韦达定理，表示出，由k1+k2=-1列等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点
解析 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且[t<2]，可得A，B的坐标分别为（t，[4-t22]），（t，-[4-t22]）。
则k1+k2=[4-t2-22t-4-t2+22t=-1]，得t=2，不符合题设。
从而可设l：y=kx+m（m≠1）。将y=kx+m代入[x24+y2=1]得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0。
由题设可知△=16（4k2-m2+1）>0。
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=[-8km4k2+1]，x1x2=[4m2-44k2+1]。
而k1+k2=[y1-1x1+y2-1x2]
=[kx1+m-1x1+kx2+m-1x2]
=[2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2]。
由题设k1+k2=-1，
故[2k+1x1x2+m-1x1+x2=0]。
即：[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]。
解得：[k=-m+12]。
当且仅当m>-1时，△>0，于是l：[y=-m+12x+m]，即[y+1=-m+12（x-2）]，所以l过定点（2，-1）。
平面解析几何问题的复习方法
根据对2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析，新课标体系下对平面几何的考察，是一个综合性的问题，而不只单单是几何问题，这就加大了平面解析几何的难度。通常一条几何性质条件蕴含一个系数之间的关系式，利用题目已知和推理可知的代数问题进行列方程，多种条件熟练掌握综合运用是解决圆锥曲线高考题的基础。作为数形结合的典型题目，需要掌握基本图形模型，学会利用题目已给图形来寻求和换算出数量关系，帮助求解问题。其中利用函数、方程和不等式等代数工具来研究曲线轨迹，并从代数角度解释曲线问题这是解答平面解析几何问题的重中之重和核心要素。该真题的经典解题思路齐次化法如下：
設α*x+β（y-1）=1，A（[x1]，[y1]）B（[x2]，[y2]）
由[x24+y2=1]得：[x24+y-1+12=1]
∴[14x2+y-12-2y-1·αx+βy-1]=0
∴[1+2βy·1x2+2αy-1x+14=0]
∴[y1-1x1+y2-1x2=-2α1+2β=-1]
∴[2α-2β=1]
x=2，y-1=-2，[x=2y=-1]
可知L恒定过（2，-1）
所以若要熟练掌握平面解析几何这类问题，从学生自身的角度需要做如下工作：首先以新课标课本作为基础内容的掌握模板，并对《考试说明》中列举的平面解析几何类和代数方程类问题熟记于心，同时需要辅以近五年高考真题的解析与练习，强化和更进一步的认识知识点。高考题源于教材又高于教材，试题的立意往往立足与课本知识但在此基础上又有一些变动，因此吃透教材所体现的重点、难点、关键点是复习的前提，不断建立、调整和优化自己的认知方式、解题思维以及相对固化的知识结构、方法结构。其次，注重对平面解析几何的逻辑转化能力的解题能力培养，以提高解题效率。这需要掌握一定的运算技巧，特别是将平面几何问题转化为代数方程式来求解。常用的运算策略有：设而不求、运用定义、巧用几何性质、会设善求，而这些运算技巧需要一定的解题经验积累，更新运算的固有观念，尝试从艰涩的数学问题中获得乐趣。
题目分析
2017年高考数学真题全国卷1理科20题作为压轴出场，具有至关重要的地位，在题目和题型的设计上保持着一贯的作风，能够将学生的成绩在整体上拉开差距。对于基础掌握牢靠的学生来讲，是必须要掌握的一道题型。首先从题目上进行简要的分析，已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，[32]），P4（1，[32]）中恰有三点在椭圆C上。
（1）求C的方程。
考察方向：椭圆的基本方程。主要利用的就是椭圆对称的特性，可知P3（-1，[32]），P4（1，[32]）此两点一定是沿y对称轴对称分布，并且这椭圆C一定同时经过这两点。而且，又因P4（1，[32]）一定在椭圆C上，那么P1（1，1）由于与P4（1，[32]）X轴一致，y轴上不一致，根据常理椭圆只可经过其中一点。因此，P1（1，1）一定不在椭圆C上，该椭圆C具体如下图所示。具体的方程求解过程较为简单和常规，可根据P3（-1，[32]），P4（1，[32]）套用常规掌握的椭圆基本方程。可知：b=1，a=2。 [x][y][P3（-1，[32]）][P4（1，[32]）][（0，1）] [o]
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。
考察方向：直线与圆锥曲线的位置关系。几何证明类题目，需要将抽象的平面几何问题转化为常规型代数问题，要么是通过方程转化、要么是通过定位坐标、要么是通过补等关系，而这道题很明显是通过坐标的方式，转化为代数问题的，这是核心的解题思路。利用题目中若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，以及设出直线l的斜率公式来解题。通过几何本身的问题来优化题目。
解题思路分析与解题步骤
（1）求C的方程。
解题思路：
由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点，又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不经过点P1，所以点P2在C上。直接代入方程，进而求出椭圆的方程
解析 由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点。
又由[1a2+1b2>1a2+34b2]知，C不经过点P1，所以点P2在C上。
因此[1b2=11a2+34b2=1]解得[a2=4b2=1]。
故C的方程为[x24+y2=1]。
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。
解题思路：由题意可知直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，l与x轴垂直，通过计算不符合题设；再设l：y=kx+m（m≠1）。将y=kx+m代入[x24+y2=1]，写出判别式，韦达定理，表示出，由k1+k2=-1列等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点
解析 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且[t<2]，可得A，B的坐标分别为（t，[4-t22]），（t，-[4-t22]）。
则k1+k2=[4-t2-22t-4-t2+22t=-1]，得t=2，不符合题设。
从而可设l：y=kx+m（m≠1）。将y=kx+m代入[x24+y2=1]得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0。
由题设可知△=16（4k2-m2+1）>0。
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=[-8km4k2+1]，x1x2=[4m2-44k2+1]。
而k1+k2=[y1-1x1+y2-1x2]
=[kx1+m-1x1+kx2+m-1x2]
=[2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2]。
由题设k1+k2=-1，
故[2k+1x1x2+m-1x1+x2=0]。
即：[2k+1·4m2-44k2+1+m-1·-8km4k2+1=0]。
解得：[k=-m+12]。
当且仅当m>-1时，△>0，于是l：[y=-m+12x+m]，即[y+1=-m+12（x-2）]，所以l过定点（2，-1）。
平面解析几何问题的复习方法
根据对2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析，新课标体系下对平面几何的考察，是一个综合性的问题，而不只单单是几何问题，这就加大了平面解析几何的难度。通常一条几何性质条件蕴含一个系数之间的关系式，利用题目已知和推理可知的代数问题进行列方程，多种条件熟练掌握综合运用是解决圆锥曲线高考题的基础。作为数形结合的典型题目，需要掌握基本图形模型，学会利用题目已给图形来寻求和换算出数量关系，帮助求解问题。其中利用函数、方程和不等式等代数工具来研究曲线轨迹，并从代数角度解释曲线问题这是解答平面解析几何问题的重中之重和核心要素。该真题的经典解题思路齐次化法如下：
設α*x+β（y-1）=1，A（[x1]，[y1]）B（[x2]，[y2]）
由[x24+y2=1]得：[x24+y-1+12=1]
∴[14x2+y-12-2y-1·αx+βy-1]=0
∴[1+2βy·1x2+2αy-1x+14=0]
∴[y1-1x1+y2-1x2=-2α1+2β=-1]
∴[2α-2β=1]
x=2，y-1=-2，[x=2y=-1]
可知L恒定过（2，-1）
所以若要熟练掌握平面解析几何这类问题，从学生自身的角度需要做如下工作：首先以新课标课本作为基础内容的掌握模板，并对《考试说明》中列举的平面解析几何类和代数方程类问题熟记于心，同时需要辅以近五年高考真题的解析与练习，强化和更进一步的认识知识点。高考题源于教材又高于教材，试题的立意往往立足与课本知识但在此基础上又有一些变动，因此吃透教材所体现的重点、难点、关键点是复习的前提，不断建立、调整和优化自己的认知方式、解题思维以及相对固化的知识结构、方法结构。其次，注重对平面解析几何的逻辑转化能力的解题能力培养，以提高解题效率。这需要掌握一定的运算技巧，特别是将平面几何问题转化为代数方程式来求解。常用的运算策略有：设而不求、运用定义、巧用几何性质、会设善求，而这些运算技巧需要一定的解题经验积累，更新运算的固有观念，尝试从艰涩的数学问题中获得乐趣。