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立体几何是近几年高考必考题,其核心问题常有直线与平面的位置关系,尤其是证明直线与平面平行、直线与平面垂直的问题,当然由此也可产生平面与平面平行、平面与平面垂直的问题。
类型1：直线与平面平行的判定
【例１】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证：
(1) 四边形EFGH是平行四边形；
(2) AC∥平面EFGH.
分析 （1） 通过一组对边平行且相等,证明是平行四边形；(2) 只要在平面EFGH中找到与AC平行的直线。
证明 (1) 连接AC,BD,∵E,F分别是△ABC的边AB,BC的中点,
∴EF∥AC,同理,HG∥AC,∴EF∥HG,同理EH∥FG．
所以，四边形EFGH是平行四边形．
(2) 由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,所以E,F,G,H在同一平面上．
又HG∥AC,AC平面EFGH,HG平面EFGH,
所以，AC平面EFGH．
点拨 问题(2)是常见问题。通过找到“与平面内的直线平行”这一个关键步骤而得证。
【例１】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,
求证：AB1∥平面DBC1．
分析 在平面DBC1上找到一条与AB1平行的直线即可,连接BC1与B1C交于点P,连接DP,则DP∥AB1。
证明 连接BC1与B1C交于点P,连接DP,
∵△ACB1中,D、P是相应边的中点,
则DP∥AB1,AB1平面DBC1,DP平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.
点拨 本题的关键是在平面DBC1中找出与AB1平行的直线,利用中位线与对应底边平行的性质。
类型2：直线与平面平行的性质
【例2】 已知空间四边形ABCD中,AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,
证明：四边形EFGH是平行四边形．
分析 要证平行四边形,可证一组对边平行且相等,或证两组对边平行,本题可以选用第二种方式。
证明 因为AC∥平面EFGH,AC面ABC,平面EFGH∩面ABC=EF,
∴EF∥AC,又因为AC∥平面EFGH,AC面ADC,平面EFGH∩平面ADC=GH,
∴GH∥AC,∴GH∥EF,同理：EH∥FG．
所以,四边形EFGH是平行四边形．
点拨 本题看似很显然的结论,在严格证明时,要有理有据,本题就是线面平行的性质定理的一个很好的例子,与例1有联系又有区别。
类型2：线面垂直的判定与性质
【例2】 在正四面体ABCD中,E是边CD的中点，求证：CD⊥面ABE.
分析 要证CD⊥面ABE,只要证CD⊥BE,CD⊥AE即可。
证明 在正四面体ABCD中,AC=AD,BC=BD,E是CD的中点,
∵CD⊥AE,CD⊥BE,
AE∩BE=E,
AE、BE面ABE,
∴CD⊥面ABE．
点拨 证明线面垂直的关键是要找到该线与该平面的两相交直线垂直。
【奇思妙想1】 在空间四边形ABCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证：AH⊥平面BCD．
分析 一方面,要证AH⊥平面BCD,已有AH⊥BE,必须再证AH与平面BCD中的另一条直线垂直。另一方面,等腰三角形底边上的中线也是高,故一般常将底边中点取出,并与顶点连接。
证明 因为BC＝AC,AD＝BD,在AB取中点F,连接FD,FC，
则FD⊥AB,FC⊥AB,又FD∩FC=F，FD、FC面FDC,所以AB⊥面FDC，
又CD面FDC,所以AB⊥CD,因为BE⊥CD,AB∩BE=B，AB、BE面ABE，
所以CD⊥面ABE，AH面ABE,所以CD⊥AH,
又已知BE⊥AH,BE∩CD=E，
BE、CD面BCD,所以AH⊥面BCD．
点拨 本题进行了多次线线垂直得到线面垂直,线面垂直再得到线线垂直的循环。这也是本题的一个难点,反复使用判定和性质,是本题的关键。
【奇思妙想2】 如图,已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点,试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论.
分析 从问题考察,应该研究动平面和定平面始终垂直,而动平面的一条定直线与定平面垂直即可。
解 不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1．
证明如下：由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A，
又∵AA1∩A1D1=A1,∴B1A1⊥平面AA1D1，
又A1B1平面B1PA1,
∴平面B1PA1⊥平面AA1D1．
点拨 找出动中之静是非常重要的一种能力,也是同学们容易忽视的地方。
【奇思妙想3】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在A1B1棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,AE=x,DQ=y,DＰ＝ｚ（x,y,z大于零）,则四面体PEFQ的体积与 .
①与x,y,z都有关
②与x有关,与y,z无关
③与y有关,与x,z无关
④与z有关,与x,y无关
分析 四面体的体积与哪些因素有关,怎么把变量转化为定量是本题的关键。
解 应该是④。四面体PEFQ的体积计算公式是V=13Sh,S看作△EFQ的面积,
则EF=1,Q到EF的距离就是CD与AB的距离是22,
而P到平面EFQ的距离就是P到平面EFCD的距离,它随着P的移动而变化着,
所以,只与ｚ有关.
牛刀小试
1. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．
2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD且PA=AB,点E是PD的中点．
(1) 求证：AC⊥PB；
(2) 求证：PB∥平面AEC.
3. 空间四边形ABCD中,AB=2,AC=BC=2,正△ADB以AB为轴转动.
(1) 当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长.
(2) 当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【参考答案】
1. 证明：连接BD，AC.
∵AE=EB,AF=FD,
∴EF∥BD（三角形中位线的性质），
EF平面BCD,BD平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
2. (1) ∵PA⊥平面ABCD,
∴AB是PB在平面ABCD上的射影.
又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.
(2) 连接BD与AC相交于O,连接EO.
∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点，
又E是PD的中点,∴EO∥PB.
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
3. （1） 取AB的中点E,连接DE,CE.
∵△ADB是正三角形,∴DE⊥AB,
当平面ADB⊥平面ABC时,
∵平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE，
由已知可得DE=3,EC=1,
在Rt△DEC中,CD=DE2+EC2=2.
（2） 当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下：
当D在平面ABC内时,
∵AC=BC,AD=BD,
∴C,D都在线段AB的垂直平分线上,
则AB⊥CD．
当D不在平面ABC内时,
由（1）知DE⊥AB,又AC=BC,
∴CE⊥AB.
又DE,CE为相交直线,∴AB⊥平面CDE.
由AB⊥平面CDE,得AB⊥CD.
综上可得,AB⊥CD．
（作者：徐琴，江苏省昆山中学）
类型1：直线与平面平行的判定
【例１】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证：
(1) 四边形EFGH是平行四边形；
(2) AC∥平面EFGH.
分析 （1） 通过一组对边平行且相等,证明是平行四边形；(2) 只要在平面EFGH中找到与AC平行的直线。
证明 (1) 连接AC,BD,∵E,F分别是△ABC的边AB,BC的中点,
∴EF∥AC,同理,HG∥AC,∴EF∥HG,同理EH∥FG．
所以，四边形EFGH是平行四边形．
(2) 由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,所以E,F,G,H在同一平面上．
又HG∥AC,AC平面EFGH,HG平面EFGH,
所以，AC平面EFGH．
点拨 问题(2)是常见问题。通过找到“与平面内的直线平行”这一个关键步骤而得证。
【例１】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,
求证：AB1∥平面DBC1．
分析 在平面DBC1上找到一条与AB1平行的直线即可,连接BC1与B1C交于点P,连接DP,则DP∥AB1。
证明 连接BC1与B1C交于点P,连接DP,
∵△ACB1中,D、P是相应边的中点,
则DP∥AB1,AB1平面DBC1,DP平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.
点拨 本题的关键是在平面DBC1中找出与AB1平行的直线,利用中位线与对应底边平行的性质。
类型2：直线与平面平行的性质
【例2】 已知空间四边形ABCD中,AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,
证明：四边形EFGH是平行四边形．
分析 要证平行四边形,可证一组对边平行且相等,或证两组对边平行,本题可以选用第二种方式。
证明 因为AC∥平面EFGH,AC面ABC,平面EFGH∩面ABC=EF,
∴EF∥AC,又因为AC∥平面EFGH,AC面ADC,平面EFGH∩平面ADC=GH,
∴GH∥AC,∴GH∥EF,同理：EH∥FG．
所以,四边形EFGH是平行四边形．
点拨 本题看似很显然的结论,在严格证明时,要有理有据,本题就是线面平行的性质定理的一个很好的例子,与例1有联系又有区别。
类型2：线面垂直的判定与性质
【例2】 在正四面体ABCD中,E是边CD的中点，求证：CD⊥面ABE.
分析 要证CD⊥面ABE,只要证CD⊥BE,CD⊥AE即可。
证明 在正四面体ABCD中,AC=AD,BC=BD,E是CD的中点,
∵CD⊥AE,CD⊥BE,
AE∩BE=E,
AE、BE面ABE,
∴CD⊥面ABE．
点拨 证明线面垂直的关键是要找到该线与该平面的两相交直线垂直。
【奇思妙想1】 在空间四边形ABCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证：AH⊥平面BCD．
分析 一方面,要证AH⊥平面BCD,已有AH⊥BE,必须再证AH与平面BCD中的另一条直线垂直。另一方面,等腰三角形底边上的中线也是高,故一般常将底边中点取出,并与顶点连接。
证明 因为BC＝AC,AD＝BD,在AB取中点F,连接FD,FC，
则FD⊥AB,FC⊥AB,又FD∩FC=F，FD、FC面FDC,所以AB⊥面FDC，
又CD面FDC,所以AB⊥CD,因为BE⊥CD,AB∩BE=B，AB、BE面ABE，
所以CD⊥面ABE，AH面ABE,所以CD⊥AH,
又已知BE⊥AH,BE∩CD=E，
BE、CD面BCD,所以AH⊥面BCD．
点拨 本题进行了多次线线垂直得到线面垂直,线面垂直再得到线线垂直的循环。这也是本题的一个难点,反复使用判定和性质,是本题的关键。
【奇思妙想2】 如图,已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点,试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论.
分析 从问题考察,应该研究动平面和定平面始终垂直,而动平面的一条定直线与定平面垂直即可。
解 不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1．
证明如下：由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A，
又∵AA1∩A1D1=A1,∴B1A1⊥平面AA1D1，
又A1B1平面B1PA1,
∴平面B1PA1⊥平面AA1D1．
点拨 找出动中之静是非常重要的一种能力,也是同学们容易忽视的地方。
【奇思妙想3】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在A1B1棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,AE=x,DQ=y,DＰ＝ｚ（x,y,z大于零）,则四面体PEFQ的体积与 .
①与x,y,z都有关
②与x有关,与y,z无关
③与y有关,与x,z无关
④与z有关,与x,y无关
分析 四面体的体积与哪些因素有关,怎么把变量转化为定量是本题的关键。
解 应该是④。四面体PEFQ的体积计算公式是V=13Sh,S看作△EFQ的面积,
则EF=1,Q到EF的距离就是CD与AB的距离是22,
而P到平面EFQ的距离就是P到平面EFCD的距离,它随着P的移动而变化着,
所以,只与ｚ有关.
牛刀小试
1. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．
2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD且PA=AB,点E是PD的中点．
(1) 求证：AC⊥PB；
(2) 求证：PB∥平面AEC.
3. 空间四边形ABCD中,AB=2,AC=BC=2,正△ADB以AB为轴转动.
(1) 当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长.
(2) 当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【参考答案】
1. 证明：连接BD，AC.
∵AE=EB,AF=FD,
∴EF∥BD（三角形中位线的性质），
EF平面BCD,BD平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
2. (1) ∵PA⊥平面ABCD,
∴AB是PB在平面ABCD上的射影.
又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.
(2) 连接BD与AC相交于O,连接EO.
∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点，
又E是PD的中点,∴EO∥PB.
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
3. （1） 取AB的中点E,连接DE,CE.
∵△ADB是正三角形,∴DE⊥AB,
当平面ADB⊥平面ABC时,
∵平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE，
由已知可得DE=3,EC=1,
在Rt△DEC中,CD=DE2+EC2=2.
（2） 当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下：
当D在平面ABC内时,
∵AC=BC,AD=BD,
∴C,D都在线段AB的垂直平分线上,
则AB⊥CD．
当D不在平面ABC内时,
由（1）知DE⊥AB,又AC=BC,
∴CE⊥AB.
又DE,CE为相交直线,∴AB⊥平面CDE.
由AB⊥平面CDE,得AB⊥CD.
综上可得,AB⊥CD．
（作者：徐琴，江苏省昆山中学）