开放型问题具有很强的综合性和逻辑性，一般结合已有的条件，进行观察、分析、比较、概括。开放型问题主要包括条件探索型、结构探索型、存在性探索型等。在立体几何中就经常会出现这类开放型问题，本文就用向量法解决立体几何中的开放型问题进行简要探讨。
　　一、条件探索型问题
　　例1在正方体ABCD＼|A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE。
　　解：如图1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设正方体ABCD＼|A1B1C1D1的棱長为1，CP=a，
　　则D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），E12，1，0，C1（0，1，1），P（0，1，a），
　　从而A1B1=（0，1，0），A1P=（-1，1，a-1），DE=12，1，0，DC1=（0，1，1）。
　　设平面A1B1P的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），由题设可得：
　　n1·A1B1=0，n1·A1P=0，
　　即y1=0，-x1+y1+（a-1）z1=0。
　　令z1=1，得n1=（a-1，0，1）。
　　设平面C1DE的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），由题设可得：
　　n2·DE=0，n2·DC1=0，即12x2+y2=0，y2+z2=0。
　　令y2=1，得n2=（-2，1，-1）。
　　因平面A1B1P⊥平面C1DE，则n1·n2=0，即-2（a-1）-1=0，解得a=12。
　　所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE。
　　二、存在型探索开放型问题
　　例2如图2，在四棱锥P＼|ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=12AD。在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E的位置，若不存在，说明理由。
　　解：在棱PD上存在一点E，使CE∥平面PAB。理由如下：
　　由题意知AB，AD，AP两两垂直，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图2）。
　　设PA=1，则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）。假设存在
　　点E（0，y，z）满足题意，则PE=（0，y，z-1），PD=（0，2，-1）。
　　因PE∥PD，则（-1）y-2（z-1）=0。
　　因AD=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，又CE=（-1，y-1，z），且CE∥平面PAB，则CE⊥AD。所以（-1，y-1，z）·（0，2，0）=0，解得y=1，则z=12。
　　所以E0，1，12，故在棱PD上存在一点E，使CE∥平面PAB，此时E是PD的中点。
　　由上面的例子我们可以看出，用向量法解决立体几何中的开放型问题，可以把抽象的空间思维转化为具体的计算，使问题简单化。
　　作者单位：山东省肥城市第一高级中学高三（21）班