【摘要】数列中描述前n项和Sn与通项an关系的公式an=Sn-Sn-1在解题过程中有着广泛的应用，但是应注意“n≥2”的限定条件，否则会导致解题错误.
　　【关键词】an=Sn-Sn-1；n≥2
　　
　　我们知道，已知通项an，可以求出前n项和Sn，反之，给出Sn，也可以求出an.而且很多时候，题目中出现的是同时涉及an与Sn的关系式，这类问题的解决办法是利用转化与划归的思想，实现an与Sn的相互转化.此时，要注意“n≥2”的限定条件，以免误解.
　　例1 已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1，求数列{an}的通项公式.
　　错解 由题意，得Sn=2n+1-1，所以Sn-1=2n-1，故通项公式an=Sn-Sn-1=2n.
　　错解分析 上述解题过程忽视了an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2.当n=1时，若a1=S1满足an=Sn-Sn-1，{an}的通项公式可以用an=Sn-Sn-1表述；若不满足，则需表述为an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.
　　正解 由题意，得Sn=2n+1-1.
　　当n≥2时，Sn-1=2n-1，∴an=Sn-Sn-1=2n.
　　又 ∵当n=1时，a1=S1=3，
　　∴an=3，n=1，2n，n≥2.
　　例2 （2007年福建文21）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）.
　　（1）求数列{an}的通项公式an；
　　（2）求数列{nan}的前n项和Tn.
　　错解 （1）由题意可知，an+1=2Sn，∴an=2Sn-1.
　　故an+1-an=2an，即an+1=3an.
　　∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列.
　　∴an=3n-1.
　　（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan
　　=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，
　　
　　∴3Tn=1•31+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n，
　　∴-2Tn=1+31+32+…+3n-1-n•3n
　　=1-3n1-3-n•3n，
　　
　　∴Tn=1+(2n-1)•3n.
　　错解分析 上述解法因忽视了公式an=Sn-Sn-1中n≥2的限制条件，导致错误.实际上，当n=1时，a1=2S1=2a1=2，显然a2≠3a1.
　　正解 （1）∵an+1=2Sn，∴当n≥2时，an=2Sn-1.
　　两式相减，得an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2）.
　　又 ∵a2=2S1=2a1=2，
　　∴当n≥2时，an=2•3n-2，
　　∴an=1，n=1，2•3n-2，n≥2.
　　（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
　　当n=1时，Tn=1；
　　当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，①
　　3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1.②
　　①-②，得
　　-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n•3n-1
　　=2+2•3(1-3n-2)1-3-2n•3n-1
　　=-1+(1-2n)•3n-1，
　　
　　∴Tn=12+n-123n-1(n≥2).
　　又 ∵T1=a1=1也满足上式，
　　∴Tn=12+n-123n-1(n∈N*).
　　例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且3an+1+2Sn=3.求数列{an}的通项公式.
　　错解 ∵3an+1+2Sn=3，①
　　∴3an+2Sn-1=3.②
　　①-②，得3an+1-3an+2an=0.
　　∴3an+1=an，即an+1an=13.
　　∴数列{an}是以1为首项，以12为公比的等比数列.
　　∴an=13n-1.
　　错解分析 上述解法由于忽视了n≥2的限制条件，导致结果“对而不全”.因为上述结论an+1an=13中n≥2，因此不符合等比数列定义中“从第二项开始，每一项与前一项的比值为同一个常数”的要求.
　　正解 由已知3an+1+2Sn=3，①
　　当n≥2时，3an+2Sn-1=3.②
　　①-②，得3an+1-3an+2an=0.
　　∴3an+1=an，即an+1an=13（n≥2）.
　　又 ∵当n=1时，由3a2+2a1=3，得a2=13，即a2a1=13.
　　∴由等比数列定义可知，数列{an}是以1为首项，以13为公比的等比数列.
　　∴an=13n-1.
　　总之，公式an=Sn-Sn-1只有在n≥2时才能成立，解题时往往忽视n≥2的条件致误.在解决关于由Sn求an的题目时，可按上述正解的解题过程，分两步讨论，避免出错.①当n≥2时，an=Sn-Sn-1；②当n=1时，a1=S1，检验a1是否符合由①求出的解析式，若符合则统一；若不符合，an=Sn-Sn-1则用分段函数表示：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.
　　
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