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【摘要】高考中的恒成立问题，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点.本文就这一问题进行探讨.
【关键词】恒成立；分离变量；数形结合；函数的性质；变更主元
近年来，高考数学和竞赛数学试题中常常出现这样一类问题：含参数变量的“恒成立”不等式问题.成功解决这类问题往往需要有良好的观察与分析、灵巧的转化与代归、高水平的运算与推理能力.怎样转化问题才能有利于问题的解决，始终是同学们倍感头疼的事情.本人认为下面几种策略比较实用，同时还有助于学生提高数学思维.
策略一 分离变量法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的值域或最值问题求解.
如果不等式f(x)>M对属于某个区间的一切自变量x都成立，那么只要f(x)在这个区间上的最小值大于M即可，即f(x)min>M；同样如果不等式f(x) 例1 （石家庄毕业班检测）已知函数f(x)=x2•eax(x∈R)，其中e为自然对数的底数，a∈R，若对任意的a>0，都有f(x)≤f′(x)+x2+ax+a2+1aeax成立，求x的取值范围.
解析 ∵f(x)=x2•eax，f′(x)=(2x+ax2)eax，
∴原不等式等价于x2•eax≤(2x+ax2)•eax+x2+ax+a2+1aeax，
a+1a(x2+1)≥x2-3x，亦即a+1a≥x2-3xx2+1.
∵对于任意的a>0，a+1a≥2a•1a=2（当且仅当a=1时取等号），
∴只需x2-3xx2+1≤2，解得x≤-2或x≥-1.
本题中的不等式两边都有a，若直接求解不太容易，因此可以先对不等式进行化简变形，把含有a的项全部放在不等号一边，另一边看成关于x的函数，从而得以解决.特别要注意，用上述方法解不等式恒成立问题时，a必须是一个与自变量x无关的量，否则不能转化！
变式 （2010年天津卷）已知函数f(x)=x2-1，对任意x∈32,+∞，fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围.
该题与例1看似有所不同，这里是求参数m的取值范围，而例1是求参数x的取值范围，但不管哪一类情况，主要渗透的都是分离变量法的思想.
策略二 数形结合法
数形结合是指根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，通过研究对象的数学特征（代数含义、几何意义），使数量关系和空间形式有机地结合起来，从而找到问题解决的途径和方法.在实际问题解决过程中，常常把数量关系的问题转化为图形的性质去讨论，或者把图形的问题转化为数量关系来研究.“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.数形结合，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问题.在解决有关恒成立的问题时，数形结合思想更是发挥了意想不到的作用.
例2 若不等式logax>sin2x(a>0且a≠1)对于任意x∈0，π4都成立，求a的取值范围.
解析 作出函数y=sin2x的图像.
由题意知，在x∈0，π4，函数y=logax的图像总在函数y=sin2x的图像的上方.∴0 作直线x=π4，与y=logax和y=sin2x的图像分别交于A，B两点，为保证y=logax在区间0，π4上的图像在y=sin2x的图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方.
∴当x=π4时，logaπ4>sin2×π4=1=logaa.又0 学生看到这个题目可能一开始束手无策，因为此题中的不等式左边是对数式，右边是三角式，很难用初等数学的知识去解这个不等式，但如果想到数形结合的方法，把左右两边分别看成两个函数f(x)与g(x)，把左边看成对数函数f(x)=logax，右边看成三角函数g(x)=sin2x，这个不等式f(x)>g(x)对任意x∈0，π4都成立，就转化为函数y=f(x)的图像在区间0，π4内都在函数y=g(x)的图像的上方，这就从一个代数的不等式问题转化到了一个函数图像的问题，然后从图像中寻找条件，就能解决问题.由此我们可以看到，函数与不等式是紧密联系的，我们在教学的过程中一定要重视初等函数的研究和把握，让学生熟悉初等函数的图像和性质，因为它们是解决好多其他问题的基础.同时在解题过程中要善于转化，像这个问题的解决其实就用到了把一个很难解决的不等式的问题转化到了一个可行的函数图像的问题，这种转化的思维方式和能力需要我们在平时的教学过程中逐渐培养起来，形成良好的解题思维策略.
数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，贯穿于整个高中数学的学习过程中，许多问题如果借助数形结合思想就可以化繁为简，利用数形结合思想解题时，思路可以从边界处（或相等处）开始.
策略三 函数的性质
利用导数我们可以研究函数的性质，而与函数有关的恒成立问题更是在高考中频繁出现，所以在教学中，教师要讲明问题的实质，让学生真正掌握这一种方法.
例3 （2009年浙江温州二模）过曲线C：f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条.
(1)求a,b满足的等量关系；
(2)若存在x0∈(0,+∞)使f(x0)>x0•ex0+a成立，求实数a的取值范围.
解析 由（1），得a=b.（略）
（2）∵存在x0∈(0,+∞)，使f(x0)>x0•ex0+a，
∴存在x0∈(0,+∞)，使x30-ax0>x0•ex0，得x20-a>ex0.
即a0)，问题转化为求a 评注 利用函数的最大值或最小值是转化“恒成立”问题的基本方法（变量分离法求解“恒成立”问题也是利用了这种方法的基本思想）.
变式 已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
策略四 变更主元法
所谓变更主元法，是指将所求范围的参数视作已知量，将已知范围的参数视作参变量，从而构成新的函数解析式，再根据这一解析式来求解.
例4 已知f(x)=4x+ax2-23x3(x∈R)在区间［-1，1］上是增函数.
（1）求实数a的值组成的集合A.
（2）设关于x的方程f(x)=2x+13x3的两个非零实根为x1，x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的a∈A及t∈［-1，1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解 （1）f′(x)=4+2ax-2x2.
∵f(x)在［-1，1］上是增函数，
∴f′(x)≥0对x∈［-1，1］恒成立，即x2-ax-2≤0对x∈［-1，1］恒成立.①
设φ(x)=x2-ax-2，结合开口向上的二次函数图像的特点可知，只需：
方法一：①φ(1)=1-a-2≤0，φ(-1)=1+a-2≤0-1≤a≤1.
∵对x∈［-1，1］，只有当a=1时，f′(-1)=0以及当a=-1时，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二：①a2≥0,φ(-1)=1+a-2≤0或a2<0，φ(1)=1-a-2≤0
0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.
∵对x∈［-1，1］，只有当a=1时，f′(-1)=0以及当a=-1时，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.
（2）由4x+ax2-23x3=2x+13x3，得x=0或x2-ax-2=0.
∵Δ=a2+8>0，∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2.
从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8.
∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2+8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1，1］恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈［-1，1］恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈［-1，1］恒成立.②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，这是关于t的一次函数，所以只需：
方法一：②g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.
方法二：当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，②m>0，g(-1)=m2-m-2≥0或m<0，g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.
该题是福建省高考题，本题第二步变形后得到的不等式中是两个变量m，t，并且是给出了t的范围，要求m的相应范围.若直接从关于m的不等式正面出发求解较难，而把t看作自变量，m看成参变量，则上述问题即可转化为在区间［-1，1］内关于t的一次函数的函数值大于0恒成立，求参变量m的范围的问题，进而化难为易，问题得以解决.第一步的解决方法也一样.
总之，“恒成立”问题的解法思路主要就是转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题.而要让学生做到正确的、灵活的转化，就要求我们在高中数学的教学过程中，经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高数学解题能力，增强对数学学习的信心.从而在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】恒成立；分离变量；数形结合；函数的性质；变更主元
近年来，高考数学和竞赛数学试题中常常出现这样一类问题：含参数变量的“恒成立”不等式问题.成功解决这类问题往往需要有良好的观察与分析、灵巧的转化与代归、高水平的运算与推理能力.怎样转化问题才能有利于问题的解决，始终是同学们倍感头疼的事情.本人认为下面几种策略比较实用，同时还有助于学生提高数学思维.
策略一 分离变量法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的值域或最值问题求解.
如果不等式f(x)>M对属于某个区间的一切自变量x都成立，那么只要f(x)在这个区间上的最小值大于M即可，即f(x)min>M；同样如果不等式f(x)
解析 ∵f(x)=x2•eax，f′(x)=(2x+ax2)eax，
∴原不等式等价于x2•eax≤(2x+ax2)•eax+x2+ax+a2+1aeax，
a+1a(x2+1)≥x2-3x，亦即a+1a≥x2-3xx2+1.
∵对于任意的a>0，a+1a≥2a•1a=2（当且仅当a=1时取等号），
∴只需x2-3xx2+1≤2，解得x≤-2或x≥-1.
本题中的不等式两边都有a，若直接求解不太容易，因此可以先对不等式进行化简变形，把含有a的项全部放在不等号一边，另一边看成关于x的函数，从而得以解决.特别要注意，用上述方法解不等式恒成立问题时，a必须是一个与自变量x无关的量，否则不能转化！
变式 （2010年天津卷）已知函数f(x)=x2-1，对任意x∈32,+∞，fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围.
该题与例1看似有所不同，这里是求参数m的取值范围，而例1是求参数x的取值范围，但不管哪一类情况，主要渗透的都是分离变量法的思想.
策略二 数形结合法
数形结合是指根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，通过研究对象的数学特征（代数含义、几何意义），使数量关系和空间形式有机地结合起来，从而找到问题解决的途径和方法.在实际问题解决过程中，常常把数量关系的问题转化为图形的性质去讨论，或者把图形的问题转化为数量关系来研究.“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.数形结合，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时，注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问题.在解决有关恒成立的问题时，数形结合思想更是发挥了意想不到的作用.
例2 若不等式logax>sin2x(a>0且a≠1)对于任意x∈0，π4都成立，求a的取值范围.
解析 作出函数y=sin2x的图像.
由题意知，在x∈0，π4，函数y=logax的图像总在函数y=sin2x的图像的上方.∴0
∴当x=π4时，logaπ4>sin2×π4=1=logaa.又0
数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，贯穿于整个高中数学的学习过程中，许多问题如果借助数形结合思想就可以化繁为简，利用数形结合思想解题时，思路可以从边界处（或相等处）开始.
策略三 函数的性质
利用导数我们可以研究函数的性质，而与函数有关的恒成立问题更是在高考中频繁出现，所以在教学中，教师要讲明问题的实质，让学生真正掌握这一种方法.
例3 （2009年浙江温州二模）过曲线C：f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条.
(1)求a,b满足的等量关系；
(2)若存在x0∈(0,+∞)使f(x0)>x0•ex0+a成立，求实数a的取值范围.
解析 由（1），得a=b.（略）
（2）∵存在x0∈(0,+∞)，使f(x0)>x0•ex0+a，
∴存在x0∈(0,+∞)，使x30-ax0>x0•ex0，得x20-a>ex0.
即a
变式 已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
策略四 变更主元法
所谓变更主元法，是指将所求范围的参数视作已知量，将已知范围的参数视作参变量，从而构成新的函数解析式，再根据这一解析式来求解.
例4 已知f(x)=4x+ax2-23x3(x∈R)在区间［-1，1］上是增函数.
（1）求实数a的值组成的集合A.
（2）设关于x的方程f(x)=2x+13x3的两个非零实根为x1，x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的a∈A及t∈［-1，1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解 （1）f′(x)=4+2ax-2x2.
∵f(x)在［-1，1］上是增函数，
∴f′(x)≥0对x∈［-1，1］恒成立，即x2-ax-2≤0对x∈［-1，1］恒成立.①
设φ(x)=x2-ax-2，结合开口向上的二次函数图像的特点可知，只需：
方法一：①φ(1)=1-a-2≤0，φ(-1)=1+a-2≤0-1≤a≤1.
∵对x∈［-1，1］，只有当a=1时，f′(-1)=0以及当a=-1时，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二：①a2≥0,φ(-1)=1+a-2≤0或a2<0，φ(1)=1-a-2≤0
0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.
∵对x∈［-1，1］，只有当a=1时，f′(-1)=0以及当a=-1时，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.
（2）由4x+ax2-23x3=2x+13x3，得x=0或x2-ax-2=0.
∵Δ=a2+8>0，∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2.
从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8.
∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2+8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1，1］恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈［-1，1］恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈［-1，1］恒成立.②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，这是关于t的一次函数，所以只需：
方法一：②g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.
方法二：当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，②m>0，g(-1)=m2-m-2≥0或m<0，g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.
该题是福建省高考题，本题第二步变形后得到的不等式中是两个变量m，t，并且是给出了t的范围，要求m的相应范围.若直接从关于m的不等式正面出发求解较难，而把t看作自变量，m看成参变量，则上述问题即可转化为在区间［-1，1］内关于t的一次函数的函数值大于0恒成立，求参变量m的范围的问题，进而化难为易，问题得以解决.第一步的解决方法也一样.
总之，“恒成立”问题的解法思路主要就是转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题.而要让学生做到正确的、灵活的转化，就要求我们在高中数学的教学过程中，经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高数学解题能力，增强对数学学习的信心.从而在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文