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[摘 要]通过构造向量解决两类线性规划问题，体现向量的强大功能，同时也说明数学知识间有着紧密的联系.
[关键词]向量 向量投影 线性规划
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320049
解决线性规划问题，常规的做法就是作出可行域，通过平移目标函数得到最优解.而有些学生不能准确地作出可行域，当然也就不会平移目标函数求出最优解.本文介绍一种构造向量的方法，求解线性规划问题，希望能对学生有所帮助.
【例1】 （2015·黑龙江双鸭市模拟）已知O是坐标原点，若点M（x，y）为平面区域
x y≥2x≤1y≤2
上的一个动点，则z=-x y的取值范围是（ ）.
A.[0，1] B.[0，2] C.[-1，0] D.[-1，2]
图1
解析：设点N（-1，1），则z=-x y=ON·OM，不等式组所表示的平面区域是如图1所示的三角形区域.∵ON·OM的几何意义是|ON|与向量OM在向量ON上的投影的积，而可行域中任意一点在向量ON上的投影集中在线段ON上（如图1），∴ON·OM的取值范围是[0，|ON|2]，即[0，2].故选B.
点评：运用向量的几何意义避开了平移直线，将所求ON·OM的取值范围转化为求可行域内任意一点到向量ON的投影，另辟蹊径，体现出向量数量积的核心价值.
虽然向量法和
常规的线性规划求解方法都是动态求解（线性规划是平移直线；向量数量积是作垂线），但两者运动的多寡和难易程度是不同的.相比较来说，向量法更具可操作性，更易于学生理解.
图2
【例2】 （2015·河南模拟）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，12），N（1，0），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤OP·OM≤1，0≤OP·ON≤1，则w=OP·OQ的最大值为 .
解析：运用向量的投影作出可行域.
在线段OM上取点A，使OA=25，过O、A分别作OM的垂线，过O、N分别作ON的垂线，如图2，两个带型区域的公共部分（平行四边形OBCD）即为可行域.过C作OQ的垂线，垂足为E，则w的最大值为OQ·OE.
易求得A（45，25），∴AC的方程为y-25=-2（x-45），
与NC：y=1联立得C（12，1）.
∵OE为OC在OQ上的投影，∴OE=OC·OQ|OQ|=413，
∴w的最大值为OQ·OE=|OQ|·|OE|=4.
点评：向量投影法作可行域，避开了可行域的判断过程，充分运用向量数量积的几何意义——投影作出可行域.运用投影作可行域的方法是找准投影，将可行域转化为垂线所夹的区域.在求w的最大值时，仍是运用投影.这种算法也可以利用解直角三角形，避开求直线与直线的交点.
运用向量的投影作可行域的过程：先由向量数量积的范围找到动向量在定向量上的投影范围（投影是一条线段或射线），如本题中，由0≤OP·OM≤1得动向量OP在定向量OM上的投影满足0≤OP·OM|OM|
≤25.因此，在向量OM上取点A，使OA=25，所以OP在定向量OM上的投影是线段OA；再由投影的边界点作定向量的垂线，根据所找的投影确定区域，同理确定其他条件对应的区域，最后其公共部分就是可行域.这种确定可行域的方法避开了判断直线上方还是下方的过程.另外，从直线的方程来看，过点A与向量OM垂直的直线的法向量就是OM，该垂线的方程为y-25=-2（x-45），即2x y-2=0，与转化后的直线方程一致.
运用向量的投影求向量数量积的最大值（最小值）的解释：w=OQ·OP=|OQ|·|OP|cos，因为|OQ|为定值，所以当且仅当|OP|cos取最大值（最小值）时，w取最大值（最小值），即当且仅当OP在OQ上的投影取最大值（最小值）时，w取最大值（最小值）（注意：在OQ正方向上的投影为正值，在OQ负方向上的投影为负值）.
总之，巧构向量，利用向量的数量积求解线性规划问题，可使解答过程简洁明了，避免常规的线性规划求解方法中容易出现的错误，体现了向量的功能.
（责任编辑 钟伟芳）
[关键词]向量 向量投影 线性规划
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320049
解决线性规划问题，常规的做法就是作出可行域，通过平移目标函数得到最优解.而有些学生不能准确地作出可行域，当然也就不会平移目标函数求出最优解.本文介绍一种构造向量的方法，求解线性规划问题，希望能对学生有所帮助.
【例1】 （2015·黑龙江双鸭市模拟）已知O是坐标原点，若点M（x，y）为平面区域
x y≥2x≤1y≤2
上的一个动点，则z=-x y的取值范围是（ ）.
A.[0，1] B.[0，2] C.[-1，0] D.[-1，2]
图1
解析：设点N（-1，1），则z=-x y=ON·OM，不等式组所表示的平面区域是如图1所示的三角形区域.∵ON·OM的几何意义是|ON|与向量OM在向量ON上的投影的积，而可行域中任意一点在向量ON上的投影集中在线段ON上（如图1），∴ON·OM的取值范围是[0，|ON|2]，即[0，2].故选B.
点评：运用向量的几何意义避开了平移直线，将所求ON·OM的取值范围转化为求可行域内任意一点到向量ON的投影，另辟蹊径，体现出向量数量积的核心价值.
虽然向量法和
常规的线性规划求解方法都是动态求解（线性规划是平移直线；向量数量积是作垂线），但两者运动的多寡和难易程度是不同的.相比较来说，向量法更具可操作性，更易于学生理解.
图2
【例2】 （2015·河南模拟）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，12），N（1，0），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤OP·OM≤1，0≤OP·ON≤1，则w=OP·OQ的最大值为 .
解析：运用向量的投影作出可行域.
在线段OM上取点A，使OA=25，过O、A分别作OM的垂线，过O、N分别作ON的垂线，如图2，两个带型区域的公共部分（平行四边形OBCD）即为可行域.过C作OQ的垂线，垂足为E，则w的最大值为OQ·OE.
易求得A（45，25），∴AC的方程为y-25=-2（x-45），
与NC：y=1联立得C（12，1）.
∵OE为OC在OQ上的投影，∴OE=OC·OQ|OQ|=413，
∴w的最大值为OQ·OE=|OQ|·|OE|=4.
点评：向量投影法作可行域，避开了可行域的判断过程，充分运用向量数量积的几何意义——投影作出可行域.运用投影作可行域的方法是找准投影，将可行域转化为垂线所夹的区域.在求w的最大值时，仍是运用投影.这种算法也可以利用解直角三角形，避开求直线与直线的交点.
运用向量的投影作可行域的过程：先由向量数量积的范围找到动向量在定向量上的投影范围（投影是一条线段或射线），如本题中，由0≤OP·OM≤1得动向量OP在定向量OM上的投影满足0≤OP·OM|OM|
≤25.因此，在向量OM上取点A，使OA=25，所以OP在定向量OM上的投影是线段OA；再由投影的边界点作定向量的垂线，根据所找的投影确定区域，同理确定其他条件对应的区域，最后其公共部分就是可行域.这种确定可行域的方法避开了判断直线上方还是下方的过程.另外，从直线的方程来看，过点A与向量OM垂直的直线的法向量就是OM，该垂线的方程为y-25=-2（x-45），即2x y-2=0，与转化后的直线方程一致.
运用向量的投影求向量数量积的最大值（最小值）的解释：w=OQ·OP=|OQ|·|OP|cos
总之，巧构向量，利用向量的数量积求解线性规划问题，可使解答过程简洁明了，避免常规的线性规划求解方法中容易出现的错误，体现了向量的功能.
（责任编辑 钟伟芳）