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摘 要：教材中许多例题、习题具有较高的开发价值，作为教师，在解题教学中不能就题论题，要充分挖掘出例题、习题中蕴含的价值。善于开发教材中的例题、习题（一题多变或引申拓展）应该是教师具备的教学能力之一.
关键词：习题；开发；价值；数学思想
教材中的例题、习题一般都具有典型性、示范性、迁移性，它们或是渗透了某些数学方法，或是体现了某些数学思想，或是提供了某些重要结论.因此，它们具有较高的开发、应用价值.许多中考试题都是由教材例题、习题的直接引用或稍作变形引申而来的.因此教师要深入研究教材中的每一道题目，充分挖掘其潜在的价值.笔者在近几年初三总复习中纠正了过去就题论题的教法，注意对教材中一些典型例题、习题进行开发、引申、变式，取得了良好的效果，以下就是其中一例.
原题：（北师大版数学九年级上册第21页随堂练习第2题，略有改动）如图1，在正方形ABCD中，点O为对角线BD上一点，连接OA，OC.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证眀.
开发1：根据图1，尽可能多地写出结论.（把原题改为开放题，使学生对正方形的性质有更完整的认识）
开发2：（让图1中的点O动起来）点O在直线BD上运动，连接AO，CO，如图2，请尽可能多地写出结论.
结论：△OAB≌△OCB，△OAD≌△OCD，OA=OC.
当点O在正方形内部时，S△AOB+S△COD=S△AOD+S△BOC=12S正方形ABCD.
当点O在正方形外部时，S△AOB+S△BOC-S△AOD-S△COD=S正方形ABCD或S△AOD+S△COD-S△AOB-S△BOC=S正方形ABCD.
结论OA=OC用文字语言叙述就是：正方形对角线所在直线上一点到相对两个顶点的距离相等.针对此结论，笔者设计了问题1：如图3，已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，AE，AF分别与对角线BD交于点M，N，若∠EAF=50°，求∠CME+∠CNF.
分析：连接AC，由图2的结论有AM=CM，AN=CN，所以∠CME=2∠CAM，∠CNF=2∠CAN，于是∠CME+∠CNF=2（∠CAM+∠CAN）=2∠EAF=100°.
开发3：如图1，在△BCD中（不在△BCD边上）找一条等于OC的线段，并证明.
思路1：如图4，在BD上取点E，使DE=OB，连接AE，CE，则CE=OC.（证明略）
思路2：如图5，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F，连接EF，则EF=OC.（证明略）
思路3：如图6，过点O作OE⊥AO交CD于点E，则OE=OC.
简证：过点O作OF⊥AD于点F，OG⊥CD于点G，则OF=OG，∠FOG=90°.
又∵∠AOE=90°，∴∠AOF=∠EOG.
又∠AFO=∠EGO=90°，
∴△AOF≌△EOG，∴OE=OA=OC .
针对图5，笔者又开发出以下题组：
开发4：在图5中，判断OA与EF的关系.（OA=EF，OA⊥EF，利用平移法求解）
开发5：在图5中，若点O在DB的延长线上，其他条件不变，则OA与EF又有何关系？（OA=EF，OA⊥EF）
开发6：在图5中，求证：OB2+OD2=OA2+OC2=2OA2.反過来，O是正方形ABCD内一点，且OB2+OD2=2OA2，求证：点O一定在对角线BD上.
分析：（1）在图5中，OE= 22OB，OF= 22OD.
又∵OE2+OF2=EF2，即 22OB2+ 22OD2=EF2，
∴OB2+OD2=2EF2=2OC2=2OA2 =OA2+OC2.
（2）可用旋转法.
开发7：在图5中，当点O位于何处时，BD与过点O，E，F的圆相切于点O？（O为BD的中点）
开发8：在图5中，设正方形的边长为1，OB=x，当x为何值时，四边形OECF的面积最大？并求出最大值.
分析：四边形OECF为矩形，设四边形OECF的面积为y，
则y=OE·OF= 22x1- 22x=-12x2+ 22x0 当x= 22 时，y最大=14.
开发9：在图5中，取OD的中点Q，连接AQ，EQ，如图7，判断AQ，EQ的关系.（AQ=EQ，AQ⊥EQ）
开发10：在图5中，过点E作EG⊥OB于G，EH⊥OD于H，如图8，点O在BD上运动的过程中（O不与B，D重合），四边形EFHG的面积是否改变？（不变，S四边形EFHG=14S正方形ABCD）
【点评】上述题组对图5进行由浅入深的挖掘、拓展，对于克服学生孤立看问题的习惯，拓宽学生解题思路，培养良好的思维品质和创造性思维是十分有益的.
链接中考：有几个省市的中考题就是从图6引申、开发出来的.
题1：操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A，P两点间的距离为x.探究：
（1）当点Q在边CD 上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论.
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由.
答案：（1）PQ=PB. （2）y=12x2-2x+10≤x≤22.
（3）△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC，此时x=0.
②当点Q在边DC的延长线上且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形，此时x=1.
题2：如图9，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A，C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD.
（2）设AP=x， △PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值？并求出这个最大值.
答案：（1）证PE⊥PD时，要分点E在线段BC上（E与B，C不重合）、点E与点C重合、点E在BC的延长线上三种情形.
（2）①y=-12x2+ 22x0 ②当x= 22时，y最大=14 .
題3：如图10（1），正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
（1）如图10（2），若点P在线段AO上（不与A，O重合），PE⊥PB且PE交CD于E.
①求证：DF=EF.
②写出PC，PA，CE之间的一个等量关系，并证明你的结论.
（2）若点P在线段OC上（不与O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E，请完成图10（3）并判断（1）中的结论①②是否分别成立.若不成立，写出相应的结论（不要求证明）.
答案：（1）①连接PD求证.
②PC-PA= 2CE.
（2）结论①仍成立，结论②不成立，此时PA-PC= 2CE.
【点评】以上几道中考题的共同点是让对角线上的点动起来，动静结合，蕴含了变中有不变的辩证思想.
小结：1.教师可以通过一题多变培养学生思维的灵活性，通过题目的引申、拓展培养学生思维的深刻性，让学生感受图形的丰富变化，从而激发学生的好奇心和求知欲，提高学生学习数学的兴趣，增强学生解题的信心.
2.对教材中的例题、习题进行变式、引申、拓展是使学生巩固知识、发展能力、掌握数学思想方法的重要渠道，能使学生的前后知识融会贯通，能达到“做一题，通一类，会一片”的效果，达到既能让学生跳出“题海”，又能培养学生观察、猜想、归纳、证明等能力的目的.
3.通过题组教学，使学生理解：（1）中考题的基本原则之一就是源于课本而又高于课本，所以应重视对课本中例题、习题的学习、探讨，不能抛开课本而陷于题海之中.（2）联想是重要的思维方法，遇到问题不仅要联想已学过的定理，还要善于联想已学过的例题、习题的结论，这样就可以简化思维过程，提高解决问题的能力.（3）复杂问题中往往包含着若干个基本问题，复杂图形往往包含着基本图形，因此要善于从复杂问题中分解出基本问题，从复杂图形中提炼基本图形，从而使问题（图形）变得简单.
关键词：习题；开发；价值；数学思想
教材中的例题、习题一般都具有典型性、示范性、迁移性，它们或是渗透了某些数学方法，或是体现了某些数学思想，或是提供了某些重要结论.因此，它们具有较高的开发、应用价值.许多中考试题都是由教材例题、习题的直接引用或稍作变形引申而来的.因此教师要深入研究教材中的每一道题目，充分挖掘其潜在的价值.笔者在近几年初三总复习中纠正了过去就题论题的教法，注意对教材中一些典型例题、习题进行开发、引申、变式，取得了良好的效果，以下就是其中一例.
原题：（北师大版数学九年级上册第21页随堂练习第2题，略有改动）如图1，在正方形ABCD中，点O为对角线BD上一点，连接OA，OC.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证眀.
开发1：根据图1，尽可能多地写出结论.（把原题改为开放题，使学生对正方形的性质有更完整的认识）
开发2：（让图1中的点O动起来）点O在直线BD上运动，连接AO，CO，如图2，请尽可能多地写出结论.
结论：△OAB≌△OCB，△OAD≌△OCD，OA=OC.
当点O在正方形内部时，S△AOB+S△COD=S△AOD+S△BOC=12S正方形ABCD.
当点O在正方形外部时，S△AOB+S△BOC-S△AOD-S△COD=S正方形ABCD或S△AOD+S△COD-S△AOB-S△BOC=S正方形ABCD.
结论OA=OC用文字语言叙述就是：正方形对角线所在直线上一点到相对两个顶点的距离相等.针对此结论，笔者设计了问题1：如图3，已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，AE，AF分别与对角线BD交于点M，N，若∠EAF=50°，求∠CME+∠CNF.
分析：连接AC，由图2的结论有AM=CM，AN=CN，所以∠CME=2∠CAM，∠CNF=2∠CAN，于是∠CME+∠CNF=2（∠CAM+∠CAN）=2∠EAF=100°.
开发3：如图1，在△BCD中（不在△BCD边上）找一条等于OC的线段，并证明.
思路1：如图4，在BD上取点E，使DE=OB，连接AE，CE，则CE=OC.（证明略）
思路2：如图5，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F，连接EF，则EF=OC.（证明略）
思路3：如图6，过点O作OE⊥AO交CD于点E，则OE=OC.
简证：过点O作OF⊥AD于点F，OG⊥CD于点G，则OF=OG，∠FOG=90°.
又∵∠AOE=90°，∴∠AOF=∠EOG.
又∠AFO=∠EGO=90°，
∴△AOF≌△EOG，∴OE=OA=OC .
针对图5，笔者又开发出以下题组：
开发4：在图5中，判断OA与EF的关系.（OA=EF，OA⊥EF，利用平移法求解）
开发5：在图5中，若点O在DB的延长线上，其他条件不变，则OA与EF又有何关系？（OA=EF，OA⊥EF）
开发6：在图5中，求证：OB2+OD2=OA2+OC2=2OA2.反過来，O是正方形ABCD内一点，且OB2+OD2=2OA2，求证：点O一定在对角线BD上.
分析：（1）在图5中，OE= 22OB，OF= 22OD.
又∵OE2+OF2=EF2，即 22OB2+ 22OD2=EF2，
∴OB2+OD2=2EF2=2OC2=2OA2 =OA2+OC2.
（2）可用旋转法.
开发7：在图5中，当点O位于何处时，BD与过点O，E，F的圆相切于点O？（O为BD的中点）
开发8：在图5中，设正方形的边长为1，OB=x，当x为何值时，四边形OECF的面积最大？并求出最大值.
分析：四边形OECF为矩形，设四边形OECF的面积为y，
则y=OE·OF= 22x1- 22x=-12x2+ 22x0
开发9：在图5中，取OD的中点Q，连接AQ，EQ，如图7，判断AQ，EQ的关系.（AQ=EQ，AQ⊥EQ）
开发10：在图5中，过点E作EG⊥OB于G，EH⊥OD于H，如图8，点O在BD上运动的过程中（O不与B，D重合），四边形EFHG的面积是否改变？（不变，S四边形EFHG=14S正方形ABCD）
【点评】上述题组对图5进行由浅入深的挖掘、拓展，对于克服学生孤立看问题的习惯，拓宽学生解题思路，培养良好的思维品质和创造性思维是十分有益的.
链接中考：有几个省市的中考题就是从图6引申、开发出来的.
题1：操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A，P两点间的距离为x.探究：
（1）当点Q在边CD 上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论.
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由.
答案：（1）PQ=PB. （2）y=12x2-2x+10≤x≤22.
（3）△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC，此时x=0.
②当点Q在边DC的延长线上且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形，此时x=1.
题2：如图9，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A，C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD.
（2）设AP=x， △PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值？并求出这个最大值.
答案：（1）证PE⊥PD时，要分点E在线段BC上（E与B，C不重合）、点E与点C重合、点E在BC的延长线上三种情形.
（2）①y=-12x2+ 22x0
題3：如图10（1），正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
（1）如图10（2），若点P在线段AO上（不与A，O重合），PE⊥PB且PE交CD于E.
①求证：DF=EF.
②写出PC，PA，CE之间的一个等量关系，并证明你的结论.
（2）若点P在线段OC上（不与O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E，请完成图10（3）并判断（1）中的结论①②是否分别成立.若不成立，写出相应的结论（不要求证明）.
答案：（1）①连接PD求证.
②PC-PA= 2CE.
（2）结论①仍成立，结论②不成立，此时PA-PC= 2CE.
【点评】以上几道中考题的共同点是让对角线上的点动起来，动静结合，蕴含了变中有不变的辩证思想.
小结：1.教师可以通过一题多变培养学生思维的灵活性，通过题目的引申、拓展培养学生思维的深刻性，让学生感受图形的丰富变化，从而激发学生的好奇心和求知欲，提高学生学习数学的兴趣，增强学生解题的信心.
2.对教材中的例题、习题进行变式、引申、拓展是使学生巩固知识、发展能力、掌握数学思想方法的重要渠道，能使学生的前后知识融会贯通，能达到“做一题，通一类，会一片”的效果，达到既能让学生跳出“题海”，又能培养学生观察、猜想、归纳、证明等能力的目的.
3.通过题组教学，使学生理解：（1）中考题的基本原则之一就是源于课本而又高于课本，所以应重视对课本中例题、习题的学习、探讨，不能抛开课本而陷于题海之中.（2）联想是重要的思维方法，遇到问题不仅要联想已学过的定理，还要善于联想已学过的例题、习题的结论，这样就可以简化思维过程，提高解决问题的能力.（3）复杂问题中往往包含着若干个基本问题，复杂图形往往包含着基本图形，因此要善于从复杂问题中分解出基本问题，从复杂图形中提炼基本图形，从而使问题（图形）变得简单.