论文部分内容阅读
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的思想广泛地应用于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。
分类讨论的方法即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。下面我结合实例谈谈自己的感悟。
一、科学合理的分类
把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3•••n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即
① A1∪A2∪A3∪•••∪An＝A
②Ai∩Aj＝φ（i,j∈N,且i≠j）。
则称对集A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）
科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。
二、分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
【例1】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)设数列{an}的公差为d，由已知，得
3a1＋3d＝6，8a1＋28d＝－4，解得a1＝3，d＝－1.故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得bn＝n•qn－1，于是Sn＝1•q0＋2•q1＋3•q2＋…＋n•qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘q，得qSn＝1•q1＋2•q2＋…＋(n－1)•qn－1＋n•qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1＝nqn－qn－1q－1＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1.
于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.
所以，Sn＝nn＋12q＝1，nqn＋1－n＋1qn＋1q－12q≠1.
[规律方法] (1)利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论．
(2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围受限时，存在多种可能性．
(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．
【例2】 已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．
(1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)求函数g(x)＝fxx－aln x(x＞1)的单调递增区间．
解(1)设切点为T(x0，x30＋x20)，f′(x)＝3x2＋2x.由题意得3x20＋2x0＝1，解得x0＝－1或13.
∴切线的方程为x－y＋1＝0或27x－27y－5＝0. (2)g(x)＝x2＋x－a－aln x(x＞1)，由g′(x)＝2x＋1－ax＞0得2x2＋x－a＞0.令φ(x)＝2x2＋x－a(x＞1)，由于φ(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴φ(x)＞φ(1)＝3－a.①当a≤3时，φ(x)＞0，则g′(x)＞0.
∴g(x)的单调增区间为(1，＋∞)，②当a＞3时，φ(1)＜0.∴φ(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1.由φ(x)＝0.得x1＝－1－ 1＋8a4＜1，x2＝－1＋ 1＋8a4＞1.
∴φ(x)＞0(x＞1)的解集为－1＋ 1＋8a4，＋∞.∴g(x)的单调增区间为－1＋ 1＋8a4，＋∞.综合①②得，当a≤3时，函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；当a＞3时，函数g(x)的单调递增区间为(－1＋ 1＋8a4，＋∞.)
[规律方法] 利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的确定，分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类的标准，做到不重不漏，分类解决问题后要根据问题的要求进行合理的整合．如本题利用二次函数的性质，求出g′(x)的下界值，从而找到分类标准，突破解题瓶颈，优化了解题过程．
(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．
【例3】 设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．解若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，
∴|PF1||PF2|＝72.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.
[规律方法] (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
三．分类讨论的方法和步骤
（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；
（2）确定分类标准科学合理分类；
（3）逐类进行讨论得出各类结果；归纳各类结论。
总之，分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。
（陕西省洋县第二高级中学）
分类讨论的方法即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。下面我结合实例谈谈自己的感悟。
一、科学合理的分类
把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3•••n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即
① A1∪A2∪A3∪•••∪An＝A
②Ai∩Aj＝φ（i,j∈N,且i≠j）。
则称对集A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）
科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。
二、分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
【例1】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)设数列{an}的公差为d，由已知，得
3a1＋3d＝6，8a1＋28d＝－4，解得a1＝3，d＝－1.故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得bn＝n•qn－1，于是Sn＝1•q0＋2•q1＋3•q2＋…＋n•qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘q，得qSn＝1•q1＋2•q2＋…＋(n－1)•qn－1＋n•qn.
两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1＝nqn－qn－1q－1＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1.
于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.
所以，Sn＝nn＋12q＝1，nqn＋1－n＋1qn＋1q－12q≠1.
[规律方法] (1)利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论．
(2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围受限时，存在多种可能性．
(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．
【例2】 已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．
(1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)求函数g(x)＝fxx－aln x(x＞1)的单调递增区间．
解(1)设切点为T(x0，x30＋x20)，f′(x)＝3x2＋2x.由题意得3x20＋2x0＝1，解得x0＝－1或13.
∴切线的方程为x－y＋1＝0或27x－27y－5＝0. (2)g(x)＝x2＋x－a－aln x(x＞1)，由g′(x)＝2x＋1－ax＞0得2x2＋x－a＞0.令φ(x)＝2x2＋x－a(x＞1)，由于φ(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴φ(x)＞φ(1)＝3－a.①当a≤3时，φ(x)＞0，则g′(x)＞0.
∴g(x)的单调增区间为(1，＋∞)，②当a＞3时，φ(1)＜0.∴φ(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1.由φ(x)＝0.得x1＝－1－ 1＋8a4＜1，x2＝－1＋ 1＋8a4＞1.
∴φ(x)＞0(x＞1)的解集为－1＋ 1＋8a4，＋∞.∴g(x)的单调增区间为－1＋ 1＋8a4，＋∞.综合①②得，当a≤3时，函数g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)；当a＞3时，函数g(x)的单调递增区间为(－1＋ 1＋8a4，＋∞.)
[规律方法] 利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的确定，分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类的标准，做到不重不漏，分类解决问题后要根据问题的要求进行合理的整合．如本题利用二次函数的性质，求出g′(x)的下界值，从而找到分类标准，突破解题瓶颈，优化了解题过程．
(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．
【例3】 设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．解若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，
∴|PF1||PF2|＝72.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.
[规律方法] (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
三．分类讨论的方法和步骤
（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；
（2）确定分类标准科学合理分类；
（3）逐类进行讨论得出各类结果；归纳各类结论。
总之，分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。
（陕西省洋县第二高级中学）