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[摘要]概念教学可以分概念形成与概念同化，根据数学研究对象的不同有些数学概念可以用数学建模方法来进行教学，概念同化只在相关的知识经验难以建构新概念时应用。规则教学中，应注意变式的应用，应先举变式再进行一般意义的讨论。最后，对相关内容，注意让学生形成合理的认知结构。
[关键词]概念教学 规则教学 数学建模 认知结构
数学教学内容分为概念、规则及问题解决。问题解决是用概念和规则解决非常规问题。这一分法是基于加涅的智慧技能,加涅认为，人的智慧技能按层级可以分为辨别、概念、规则和高级规则。数学学习主要是智慧技能的学习。人的辨别能力在中学数学教学中已不是主要问题，高级规则相当于问题解快,关于问题解决波利亚在《怎样解题》中有很详细的论述，这儿不再赘述。下面主要讲一下，两类在中学数学中经常碰到的教学：概念教学和规则教学。概念教学在于阐释“是什么”,而规则教学在于阐释“为什么”和“怎么做”。前者是在叙述概念的外延与内涵是什么，这一概念的上下位概念各是什么，并讨论它们之间的关系，后者则要叙述我们作了什么判断？这一判断的结构如何？这一判断的依据有哪些？还能推广吗？特殊化又怎么样？与之相关的规则有哪些？它们之间的关系怎样？
一、概念教学
概念是人脑对事物本质特点的反映，概念在人脑中的形成过程，也就是对事物的认识、归纳、抽象的过程，是从感性认识上升到理性认识的过程。从概念的获得过程看，有两种基本方法：概念形成和概念同化。
概念形成即是从具体事例归纳出概念，如“等差数列”这一概念的教学中，可从一些具体例子中归纳出等差数列的概念。得到等差数列的定义后，然后用符号表征之，当作函数用图象表征之。多重表征其实是对概念的多角度理解，有利于学生根据自己的特点形成相对具体的概念表象。
概念形成以后，还要针对概念的关键词给出正反例，以进一步揭示内涵，如与集合元素无序性进行比较，以突显数列的有序性等。
因为数学的研究对象来自于数学内部和客观世界两个方面，对于主要来自于客观世界的研究对象可以采用数学建模的方式进行概念教学，如排列、组合教学中，可以用生活中的选代表、寄信等例子抽象出相应的数学模型，然后再应用数学模型解决问题。这种方法可以培养学生用数学的眼光看世界的意识和能力，让学生意识到数学在现实世界中的广泛应用性，从而培养学生数学学习的兴趣。
数学建模，首先，要理解问题，理解问题要涉及生活中好多其它知识，而学生的生活经验有限，理解问题对学生来说是一个难点；其次，建立数学模型即是数学化，数学化对学生来说又是一个难点。对基础较差的学生，不如直接给出模型，让学生模仿着应用模型解题，体现数学的工具性。
这儿，我们把用建模方式来进行概念教学也当作概念形成的一种。
概念同化是直接给出概念，再举例揭示概念本质。如三角形高的教学中，先直接给出高的定义，再给出各种情形的三角形的高的图例。这里有一个原象问题，我们脑子里大都用典型例证（如底边水平，顶点在上方，高在三角形内部的情形作为典型例证）作为原象来表征概念，非曲型例证（如高在三角形的外部）转化到典型例证需要心理上的旋转，从而需要更多的思考时间。在具体教学中，特别需要注意的是既要给出典型例证，又要给出非典型例证，在举非典型例证时，我们要给学生有足够的思考时间。
一般一个数学概念如能用概念形成的方式进行教学就应该用概念形成的方式而不用概念同化的方式，这有利于学生合情猜想能力的形成。新课程鼓励用概念形成方式，概念同化只在相关的知识经验难以建构新概念时应用。
二、规则教学
规则教学一般包括规则的推导，规则的各种变式举例。如点的平移可以有三种变式，一是起点坐标和平移向量坐标已知，要求平移后的点的坐标；二是平移向量坐标和平移后的点的坐标已知，要求起点坐标；三是起点和终点坐标已知，要求平移向量坐标。在规则教学中穷举规则的各种变式是极其必要的。现代认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，程序性知识又分为二个阶段，也即是命题网络表征阶段和产生式表征阶段，要进行命题的变式练习理由即是要让程序性知识从命题网络表征向产生式表征转化。
规则变式的种类一般不能先从理论上去探求，然后再举例说明之。这是因为数学对象是反省认知的结果，反省认知就是对操作对象或者是思维上的操作对象作为认知对象的进一步抽象，从而对操作对象作更深刻的理解。变式实际上是思维上对规则所作的进一步操作，没有操作直接给出反思，学生的反思将缺少具体对象，印象将是不深刻的。
规则教学中作各种变式，还有一个好处，因为题目的背景不变，改变的只是已知和求，从而学生的记忆负担较轻，学生有更多的精力关注题目的结构和解法。如一个题一个背景，每个题均要认真审题，理解题意，学生会非常累，而整堂课的结构也会非常松散。如上作变式以后，学生容易掌握问题的结构，最后学生还可以自己构题、解题，有利于提高学习兴趣。
规则教学中还需要注意两点：一是规则教学以前，我们对新规则或新规则的证明中要涉及的相关的概念和规则要作一定的辅垫，否则一开始规则的证明过程中，学生会因为缺少相应的认知基础无法接受。二是规则证明以前，我们如有可能创设合适的问题情境以得出规则，这时就必须创设问题情境,以激发学生的学习兴趣和学习热情。
上面探讨了单个的概念和规则的教学，在教学中我们还应该随时注意把相关内容纳入相应的认知结构，对此王光明老师提出了“组块化”及系统化策略。其实，让学生形成合理的认知结构还可以有如下方法：（1）运动生成，相应的规则是事物运动在某一阶段的反映，各个不同阶段有不同的规则，通过事物的连续运动把握各个规则的区别、联系以及整体特征。如讲圆幂定理，用动态变化让两条线的交点和位置由圆内向圆外进行变化，可以得到相交弦定理、割线定理，切割线定理、切线长定理。（2）分类讨论，对事物进行分类，不同的类有不同的本质特征，从而也就对应着不同的命题。如在指数函数和对数函数一章中，先讲幂的概念的推广，再让底变指数不变，是为幂函数，再讨论相应的反函数；进而让底不变指数变，是为指数函数，讨论相应的反函数是为对数函数。因此，整章的相关概念就非常清楚了。这样，其实是从静态的和动态的两个方面来把握事物，运动生成是动态把握，分类讨论是静态把握。最后，我们可以利用习题把相关的规则进行梳理，如立体几何中某个题目要证明线线重直，可以让学生回顾证明线线垂直的所有方法，这样就可以用“垂直”把相关的规则联系起来。
参考文献：
[1]皮连生.学与教的心理学［M］.华东师大出版社，2000，6.
[2]张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤.数学教育学［M］.江西教育出版社，1991.
[3]王光明，戴永.高中数学命题的整体性策略［J］.中学数学教学参考，2007，（12）.
[4]刘咏梅，戴翠红.用建模思想进行数学概念教学［J］.中学数学教与学，2008，（2）.
（作者单位：浙江电大富阳学院）
[关键词]概念教学 规则教学 数学建模 认知结构
数学教学内容分为概念、规则及问题解决。问题解决是用概念和规则解决非常规问题。这一分法是基于加涅的智慧技能,加涅认为，人的智慧技能按层级可以分为辨别、概念、规则和高级规则。数学学习主要是智慧技能的学习。人的辨别能力在中学数学教学中已不是主要问题，高级规则相当于问题解快,关于问题解决波利亚在《怎样解题》中有很详细的论述，这儿不再赘述。下面主要讲一下，两类在中学数学中经常碰到的教学：概念教学和规则教学。概念教学在于阐释“是什么”,而规则教学在于阐释“为什么”和“怎么做”。前者是在叙述概念的外延与内涵是什么，这一概念的上下位概念各是什么，并讨论它们之间的关系，后者则要叙述我们作了什么判断？这一判断的结构如何？这一判断的依据有哪些？还能推广吗？特殊化又怎么样？与之相关的规则有哪些？它们之间的关系怎样？
一、概念教学
概念是人脑对事物本质特点的反映，概念在人脑中的形成过程，也就是对事物的认识、归纳、抽象的过程，是从感性认识上升到理性认识的过程。从概念的获得过程看，有两种基本方法：概念形成和概念同化。
概念形成即是从具体事例归纳出概念，如“等差数列”这一概念的教学中，可从一些具体例子中归纳出等差数列的概念。得到等差数列的定义后，然后用符号表征之，当作函数用图象表征之。多重表征其实是对概念的多角度理解，有利于学生根据自己的特点形成相对具体的概念表象。
概念形成以后，还要针对概念的关键词给出正反例，以进一步揭示内涵，如与集合元素无序性进行比较，以突显数列的有序性等。
因为数学的研究对象来自于数学内部和客观世界两个方面，对于主要来自于客观世界的研究对象可以采用数学建模的方式进行概念教学，如排列、组合教学中，可以用生活中的选代表、寄信等例子抽象出相应的数学模型，然后再应用数学模型解决问题。这种方法可以培养学生用数学的眼光看世界的意识和能力，让学生意识到数学在现实世界中的广泛应用性，从而培养学生数学学习的兴趣。
数学建模，首先，要理解问题，理解问题要涉及生活中好多其它知识，而学生的生活经验有限，理解问题对学生来说是一个难点；其次，建立数学模型即是数学化，数学化对学生来说又是一个难点。对基础较差的学生，不如直接给出模型，让学生模仿着应用模型解题，体现数学的工具性。
这儿，我们把用建模方式来进行概念教学也当作概念形成的一种。
概念同化是直接给出概念，再举例揭示概念本质。如三角形高的教学中，先直接给出高的定义，再给出各种情形的三角形的高的图例。这里有一个原象问题，我们脑子里大都用典型例证（如底边水平，顶点在上方，高在三角形内部的情形作为典型例证）作为原象来表征概念，非曲型例证（如高在三角形的外部）转化到典型例证需要心理上的旋转，从而需要更多的思考时间。在具体教学中，特别需要注意的是既要给出典型例证，又要给出非典型例证，在举非典型例证时，我们要给学生有足够的思考时间。
一般一个数学概念如能用概念形成的方式进行教学就应该用概念形成的方式而不用概念同化的方式，这有利于学生合情猜想能力的形成。新课程鼓励用概念形成方式，概念同化只在相关的知识经验难以建构新概念时应用。
二、规则教学
规则教学一般包括规则的推导，规则的各种变式举例。如点的平移可以有三种变式，一是起点坐标和平移向量坐标已知，要求平移后的点的坐标；二是平移向量坐标和平移后的点的坐标已知，要求起点坐标；三是起点和终点坐标已知，要求平移向量坐标。在规则教学中穷举规则的各种变式是极其必要的。现代认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，程序性知识又分为二个阶段，也即是命题网络表征阶段和产生式表征阶段，要进行命题的变式练习理由即是要让程序性知识从命题网络表征向产生式表征转化。
规则变式的种类一般不能先从理论上去探求，然后再举例说明之。这是因为数学对象是反省认知的结果，反省认知就是对操作对象或者是思维上的操作对象作为认知对象的进一步抽象，从而对操作对象作更深刻的理解。变式实际上是思维上对规则所作的进一步操作，没有操作直接给出反思，学生的反思将缺少具体对象，印象将是不深刻的。
规则教学中作各种变式，还有一个好处，因为题目的背景不变，改变的只是已知和求，从而学生的记忆负担较轻，学生有更多的精力关注题目的结构和解法。如一个题一个背景，每个题均要认真审题，理解题意，学生会非常累，而整堂课的结构也会非常松散。如上作变式以后，学生容易掌握问题的结构，最后学生还可以自己构题、解题，有利于提高学习兴趣。
规则教学中还需要注意两点：一是规则教学以前，我们对新规则或新规则的证明中要涉及的相关的概念和规则要作一定的辅垫，否则一开始规则的证明过程中，学生会因为缺少相应的认知基础无法接受。二是规则证明以前，我们如有可能创设合适的问题情境以得出规则，这时就必须创设问题情境,以激发学生的学习兴趣和学习热情。
上面探讨了单个的概念和规则的教学，在教学中我们还应该随时注意把相关内容纳入相应的认知结构，对此王光明老师提出了“组块化”及系统化策略。其实，让学生形成合理的认知结构还可以有如下方法：（1）运动生成，相应的规则是事物运动在某一阶段的反映，各个不同阶段有不同的规则，通过事物的连续运动把握各个规则的区别、联系以及整体特征。如讲圆幂定理，用动态变化让两条线的交点和位置由圆内向圆外进行变化，可以得到相交弦定理、割线定理，切割线定理、切线长定理。（2）分类讨论，对事物进行分类，不同的类有不同的本质特征，从而也就对应着不同的命题。如在指数函数和对数函数一章中，先讲幂的概念的推广，再让底变指数不变，是为幂函数，再讨论相应的反函数；进而让底不变指数变，是为指数函数，讨论相应的反函数是为对数函数。因此，整章的相关概念就非常清楚了。这样，其实是从静态的和动态的两个方面来把握事物，运动生成是动态把握，分类讨论是静态把握。最后，我们可以利用习题把相关的规则进行梳理，如立体几何中某个题目要证明线线重直，可以让学生回顾证明线线垂直的所有方法，这样就可以用“垂直”把相关的规则联系起来。
参考文献：
[1]皮连生.学与教的心理学［M］.华东师大出版社，2000，6.
[2]张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤.数学教育学［M］.江西教育出版社，1991.
[3]王光明，戴永.高中数学命题的整体性策略［J］.中学数学教学参考，2007，（12）.
[4]刘咏梅，戴翠红.用建模思想进行数学概念教学［J］.中学数学教与学，2008，（2）.
（作者单位：浙江电大富阳学院）