统计学中的正态分布

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  作为一名小学生,同学们常常要参加考试。考试结束后公布分数,同学们根据经验可以发现:在每个班或每个年级中,成绩相当好和相当差的都比较少,而处于中等水平的人数则比较多。
  如果把考试人数扩大到很大的数量,把每个人的分数在坐标系中标出来,再把各点连成线,就可以看出,这条线近似钟形,以中线为轴,两边对称。学生成绩的这种分布就是统计学中非常有名的正态分布,这条曲线就是正态分布曲线。
  什么是正态分布
  正态分布是最常见的一种随机变量的概率分布,除了大家的考试成绩外,自然界很多现象都服从这种分布。比如人的身高,体重,多年气温和降雨量,矿石的随机变量的概率分布等等,都是正态分布。
  正态分布作为一种工具,它有着广泛的应用,从科学技术领域到社会科学许多分支,都可以看到它的身影。
  高尔顿钉板
  正态分布是可以通过实验来验证的。
  英国生物统计学家高尔顿(1822-1911)曾经做了一个著名的试验,来验证正态分布。他在一块斜放着的木板上,整齐地钉上一排排钉子。钉子间的距离相等,上面一颗恰巧在下面两颗的正中间,板的下方是一些等宽的格子。
  从入口A处放进一个小球,它的直径略小于钉子间的距离。小球在自由下落的过程中,每碰到一次钉子,它从左边落下与从右边落下的概率一样——如此继续,直到滚入板底的某一个格子内为止。
  由于滚动的随机性,任意放入一球,它最后将进入哪一个格子里,预先难以确定。试验证明,如放入大量的小球,让其堆积在各个格子内,最后呈现的“曲线”形状几乎总是相近的。也就是说:小球落入各个格子的频率十分稳定。
  人们称这个试验为“高尔顿钉板”实验,这条曲线就叫“钟形曲线”。
  高尔顿钉板的数学解释
  分析小球运动过程可知,在小球自由下落的过程中,每次和钉子碰撞后,小球有1/2的概率從钉子左侧滚下去,有1/2的概率从钉子右侧往下滚。
  假设钉子一共有5排,我们可以画出概率示意图来理解这个有趣的现象:
  ].小球和第一排的钉子撞击后,从钉子左右两侧下降的概率1/2;
  2.第二排有2颗钉子,小球从最左侧、最右侧滚落钓概率是1/2×1/2=1/4,从中间滚落的概率是1/4+1/4=1/2;
  3.第三排有3颗钉子,小球从最左侧、最右侧滚落的概率是1/4×1/2=1/8,从第一、二颗,第二、三颗钉子间滚落的概率是(1/4+2/4)×1/2=3/8。
  ……
  以此类推。
  根据上面的计算可以看出,小球落入中间格子的概率很高;落入两侧格子的概率较低。
  高考中的正态分布
  我们通过2018年北京市高考理科成绩表来让大家感受什么是正态分布。
  表格中有4个数据栏,第一个数据是高考分数,如“690-699”指的是高考成绩大于等于690分,小于等于699分;本段人数指在这个分数段有多少人;累计人数是指这个分数段以上共有多少人;最后一个数据是这个分数段的人数在总人数中占的百分比。
  数据分析
  高考分数很明显地呈现出“中间分数的学生多,高分和低分段的学生少”的情况。也就是说,成绩非常好和成绩非常差的只是少数,大多数人都处于中等水平。“两头小、中间大”的趋势就是正态分布。
  正态分布的实际应用
  人的身高、体重也符合正态分布。有的人个子高,有的人个子矮,高矮胖瘦各不相同。但是,特别高和特别矮的人并不多,大多数人都是中等身高;特别胖和特别瘦的也不多,大多数人都是不胖不瘦的。
  那么,请同学们调查统计50位同龄人的体重(如果你是女生,就调查女生:如果你是男生,就调查男生),感受下什么是正态分布。
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