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直线与平面的垂直关系是研究空间线线、面面垂直关系的桥梁，它们之间可互相转化. 线线垂直?圳 线面垂直?圳 面面垂直，所以，直线与平面垂直的概念及判定是中学数学立体几何中的核心概念. “普通高中数学课程标准”要求“几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言”、“在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力”、“借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义”、“通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理”［1］. 由此看到，可以通过对数学学习对象进行多元表征，提高学生的几何直观能力，进而培养学生的逻辑推理能力及空间想象能力. 本文根据数学多元表征学习教学设计理念以及优化数学多元表征的信息结构（教学内容）教学设计的原则，对直线与平面垂直的概念及判定的教学内容（或教学信息）进行打包优化设计，为教学实践提供参考.
一、 优化数学多元表征学习的教学设计理念概说
1． 优化数学多元表征学习教学设计的基本原则和基本任务
优化数学多元表征学习的教学设计的基本原则为“减负增效”：减少工作记忆承受的外在负荷和内在负荷，提高教学策略水平，增进学习者主动积极地参与深度意义的学习，生成足够的有效负荷，提高深层码和整合码的建构效果和效率.
数学多元表征学习的教学设计优化的基本任务：优化多元表征的信息结构和优化教学活动设计，提高或增强认知操作的教学策略水平.
2． 优化数学多元表征信息结构（教学内容）教学设计的原则
（1） 学习材料的打包原则
降低学习材料内在负荷的打包原则：①部分任务原则：把学习材料分为若干的子材料，然后对各子材料进行打包. ②整体任务原则：把握整体，注重抽取学习任务本身包含的重要元素，将其压缩成组块或信息单元并加以打包.
增加学习有效负荷的打包原则：①任务变异原则：设计教学任务时，变换任务本身（如表层内容或深层结构的变异）和呈现方式（如变式）. ②嵌入支架原则：设计任务时，嵌入一些脚手架（如提供问题、暗示、提示、反馈、过程工作单等），增进学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷.
（2） 空间邻近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在空间上邻近或组合，而不要远离或分离.
（3） 时间临近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在时间上同步或临近，而不要异步或间断呈现.
（4） 一致性原则
信息打包时，多元表征的信息结构与数学学习对象的结构成分必须保持一致. 剔除与学习对象的结构成分不一致的、无关的信息，使多元表征结构保持精简.
（5） 双通道原则
信息打包时，“信息包”要包含有视觉表征和听觉表征［2］.
二、 “直线与平面垂直”概念教学内容的优化
1． 教学信息的打包
（1） “直线与平面垂直”概念的现实原型：现实生活中，如桥的立柱与水面，公路上的电线杆与地平面等等，都是“直线与平面垂直”概念产生的现实原型，可以给出相应的图片表征如图1、图2.
（2） “直线与平面垂直”概念的文字语言表征：如果一条直线l与一个平面π内的任一条直线垂直，那么直线l与平面π垂直，记作l⊥π，直线l叫做平面π的垂线，平面π叫做直线l的垂面，它们的唯一的公共点叫做垂足.
（3） “直线与平面垂直”概念的数学符号表征：?坌a?奂π，l⊥a?圯l⊥π.（这里的“任意”符号“?坌”也许对学生来说来得有些突然，但却突出了其任意性）.
（4） “直线与平面垂直”概念的动态视觉图形表征：如图3，拖动点J或直线a，可以看到平面π内直线a的变化，即直线a具有任意性.
（5） 概念辨析1：如果一条直线l垂直于一个平面π，a是平面π上的一条直线，那么直线l是否与直线a垂直？
（6） 概念辨析2：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（7） 概念辨析3：如果一条直线与平面内的一条直线不垂直，那么这条直线与这个平面不垂直吗?
（8） 概念辨析4：如果一条直线垂直平面内的无数条直线，则这条直线与该平面垂直吗？如图4.
2． 教学信息块的意义
数学对象的产生可以来自于现实世界，也可以来自数学学科本身. 直线与平面垂直的概念也一样. 通过信息块（1），学生可以根据自己的生活经验直观地感知到直线与平面的垂直关系，进而概括抽象得出信息块（2）的几个概念的文字语言表征的数学定义. 模块（3）和（4），是根据优化多元表征的信息结构教学设计及时间邻近的原则、空间临近的原则，对直线与平面垂直概念作进一步的数学语言符号表征和动态的几何图形表征. 同时，要注意贯彻双通道的原则和一致性的原则，这样，将减少学生认知的外在及内在负荷，增加认知的有效负荷，特别是两模块中强调平面内的直线a的任意性，可以使学生更好地掌握几何符号语言以及增强空间想象能力. 对于模块（5）～（8），尽管我们可以认为是很简单的命题，但是对于刚刚学习“直线与平面垂直”概念的学生来说，却是很容易混淆和不明确的，因而有必要在课堂上作强调加以明晰. （5）与（6）是线面垂直向线线垂直转化，（7）与（8）可以说是对线面垂直的否定以及如何判定的思考，不仅仅增强学生的思维活动，也起到思维导向和为线面垂直判定定理的学习作铺垫的作用.
三、 “直线与平面垂直判定定理”教学内容的优化
1． 教学信息的打包
（1） 实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
（2） 必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的三点不共线后放在桌面.
（3） 用几何图形表示探究的各种情形.
（4） “直线与平面垂直判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
（5） “直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征：a，b∈π，a∩b=O，l⊥a，l⊥b?圯l⊥π.
（6） “直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征：如图9所示.
（7） 命题辨析1： 判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必需是相交的，交点也不一定是l与π 的交点（垂足）.
（8） 命题辨析2： 这个定理是需要证明的，在后续的学习中会给出证明．
2． 教学信息块的意义
信息模块（1）是学生在教师的组织下进行的实验探索.根据学习材料信息的打包的原则：为了增加学习有效负荷——嵌入支架设计策略，在学生操作过程中，教师可以适时地提出一些问题、暗示或提示等，如模块（2），可以促进或增强学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷.通过直观感知、操作，概括得到模块（3）中的各种几何图形（图5～图8），教师贯彻优化多元表征的信息结构教学设计的时间临近、空间邻近以及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳，进而通过抽象概括确认得到判定定理及其图形表征，如图9. 模块（4）～（6）则是判定定理的多元表征，结合教师的讲解，将使学生对命题的特征结构有更深刻的理解，从而，“直线与平面垂直的判定定理”数学模型已然建立. 模块（7）与（8）是作为对模型的确认和进一步的强化.
参考文献：
［1］ 普通高中数学课程标准（实验）［S］. 北京：人民教育出版社，2003：19-20.
［2］ 唐剑岚. 数学多元表征学习及教学［M］. 南京：南京师范大学出版社，2009：99-124.
一、 优化数学多元表征学习的教学设计理念概说
1． 优化数学多元表征学习教学设计的基本原则和基本任务
优化数学多元表征学习的教学设计的基本原则为“减负增效”：减少工作记忆承受的外在负荷和内在负荷，提高教学策略水平，增进学习者主动积极地参与深度意义的学习，生成足够的有效负荷，提高深层码和整合码的建构效果和效率.
数学多元表征学习的教学设计优化的基本任务：优化多元表征的信息结构和优化教学活动设计，提高或增强认知操作的教学策略水平.
2． 优化数学多元表征信息结构（教学内容）教学设计的原则
（1） 学习材料的打包原则
降低学习材料内在负荷的打包原则：①部分任务原则：把学习材料分为若干的子材料，然后对各子材料进行打包. ②整体任务原则：把握整体，注重抽取学习任务本身包含的重要元素，将其压缩成组块或信息单元并加以打包.
增加学习有效负荷的打包原则：①任务变异原则：设计教学任务时，变换任务本身（如表层内容或深层结构的变异）和呈现方式（如变式）. ②嵌入支架原则：设计任务时，嵌入一些脚手架（如提供问题、暗示、提示、反馈、过程工作单等），增进学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷.
（2） 空间邻近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在空间上邻近或组合，而不要远离或分离.
（3） 时间临近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在时间上同步或临近，而不要异步或间断呈现.
（4） 一致性原则
信息打包时，多元表征的信息结构与数学学习对象的结构成分必须保持一致. 剔除与学习对象的结构成分不一致的、无关的信息，使多元表征结构保持精简.
（5） 双通道原则
信息打包时，“信息包”要包含有视觉表征和听觉表征［2］.
二、 “直线与平面垂直”概念教学内容的优化
1． 教学信息的打包
（1） “直线与平面垂直”概念的现实原型：现实生活中，如桥的立柱与水面，公路上的电线杆与地平面等等，都是“直线与平面垂直”概念产生的现实原型，可以给出相应的图片表征如图1、图2.
（2） “直线与平面垂直”概念的文字语言表征：如果一条直线l与一个平面π内的任一条直线垂直，那么直线l与平面π垂直，记作l⊥π，直线l叫做平面π的垂线，平面π叫做直线l的垂面，它们的唯一的公共点叫做垂足.
（3） “直线与平面垂直”概念的数学符号表征：?坌a?奂π，l⊥a?圯l⊥π.（这里的“任意”符号“?坌”也许对学生来说来得有些突然，但却突出了其任意性）.
（4） “直线与平面垂直”概念的动态视觉图形表征：如图3，拖动点J或直线a，可以看到平面π内直线a的变化，即直线a具有任意性.
（5） 概念辨析1：如果一条直线l垂直于一个平面π，a是平面π上的一条直线，那么直线l是否与直线a垂直？
（6） 概念辨析2：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（7） 概念辨析3：如果一条直线与平面内的一条直线不垂直，那么这条直线与这个平面不垂直吗?
（8） 概念辨析4：如果一条直线垂直平面内的无数条直线，则这条直线与该平面垂直吗？如图4.
2． 教学信息块的意义
数学对象的产生可以来自于现实世界，也可以来自数学学科本身. 直线与平面垂直的概念也一样. 通过信息块（1），学生可以根据自己的生活经验直观地感知到直线与平面的垂直关系，进而概括抽象得出信息块（2）的几个概念的文字语言表征的数学定义. 模块（3）和（4），是根据优化多元表征的信息结构教学设计及时间邻近的原则、空间临近的原则，对直线与平面垂直概念作进一步的数学语言符号表征和动态的几何图形表征. 同时，要注意贯彻双通道的原则和一致性的原则，这样，将减少学生认知的外在及内在负荷，增加认知的有效负荷，特别是两模块中强调平面内的直线a的任意性，可以使学生更好地掌握几何符号语言以及增强空间想象能力. 对于模块（5）～（8），尽管我们可以认为是很简单的命题，但是对于刚刚学习“直线与平面垂直”概念的学生来说，却是很容易混淆和不明确的，因而有必要在课堂上作强调加以明晰. （5）与（6）是线面垂直向线线垂直转化，（7）与（8）可以说是对线面垂直的否定以及如何判定的思考，不仅仅增强学生的思维活动，也起到思维导向和为线面垂直判定定理的学习作铺垫的作用.
三、 “直线与平面垂直判定定理”教学内容的优化
1． 教学信息的打包
（1） 实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
（2） 必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的三点不共线后放在桌面.
（3） 用几何图形表示探究的各种情形.
（4） “直线与平面垂直判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
（5） “直线与平面垂直判定定理”的数学语言符号表征：a，b∈π，a∩b=O，l⊥a，l⊥b?圯l⊥π.
（6） “直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征：如图9所示.
（7） 命题辨析1： 判定定理中，平面π内的直线只需两条，但必需是相交的，交点也不一定是l与π 的交点（垂足）.
（8） 命题辨析2： 这个定理是需要证明的，在后续的学习中会给出证明．
2． 教学信息块的意义
信息模块（1）是学生在教师的组织下进行的实验探索.根据学习材料信息的打包的原则：为了增加学习有效负荷——嵌入支架设计策略，在学生操作过程中，教师可以适时地提出一些问题、暗示或提示等，如模块（2），可以促进或增强学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷.通过直观感知、操作，概括得到模块（3）中的各种几何图形（图5～图8），教师贯彻优化多元表征的信息结构教学设计的时间临近、空间邻近以及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳，进而通过抽象概括确认得到判定定理及其图形表征，如图9. 模块（4）～（6）则是判定定理的多元表征，结合教师的讲解，将使学生对命题的特征结构有更深刻的理解，从而，“直线与平面垂直的判定定理”数学模型已然建立. 模块（7）与（8）是作为对模型的确认和进一步的强化.
参考文献：
［1］ 普通高中数学课程标准（实验）［S］. 北京：人民教育出版社，2003：19-20.
［2］ 唐剑岚. 数学多元表征学习及教学［M］. 南京：南京师范大学出版社，2009：99-124.