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摘 要 人们投资股票市场的最大动力，除了从股票本身的升值中获利，还包括收益分红.提出了带有离散分红的障碍期权的一种新型的近似方法，以向上敲出看涨障碍期权为例，固定分红的次数，通过泰勒级数展开得到关于关键变量的仿射函数，给出了一个只带有一维积分的定价公式，提高了计算速度.该方法还可以用于回望期权等其它衍生品的定价，对在市场上进行期权交易有一定指导意义.
关键词 金融学；障碍期权；泰勒展开；离散分红；偏正态分布
中图分类号 O211.63 文献标识码 A
Abstract The incentive for people to invest in stock market is receiving dividend payments， in addition to gaining appreciation of the stock value itself. A new approach has been presented for pricing barrier options with discrete dividend payments， which take up-and-out call option as an example and fix the amount of the discrete dividend. An affine function of key variables is obtained through Taylor series expansion. A new approximation formula with only one-dimensional integrals involved has been derived. The method improves computing speed and can be applied to pricing other derivatives， such as look-back options and so on， which has instructional significance for trading options in real markets.
Key words finance； barrier options； Taylor expansion； discrete dividend； skewed normal distribution
1 引 言
随着人们对股票市场的热情与日俱增，越来越多的人开始追求股票价值以外的分红收益.支付分红的期权定价通常包括连续分红和离散分红两种模型，实际交易中大多支付离散分红，且这种分红会使股价在除息日出现一定程度的跳跃，影响期权的价格.Frishling（2002）[1]指出带有离散分红的定价模型主要包括提存模型、正向模型和分段对数正态模型，其中只有第3种模型能较真实地反映实际的价格.Zhu和He（2018）[2]表明分红与除息日标的资产成比例时，带有离散分红的欧式期权价格与分红支付日期无关，并得到固定分红次数下欧式看涨期权的近似公式.还有许多学者[3，4]对带有离散分红的欧式期权进行了研究，但对离散分红下障碍期权的研究甚少.
障碍期权是金融市场中最活跃的奇异期权之一[5]，它的最终收益不仅依赖于标的资产到期日的价格，还与标的资产价格在整个有效期内是否达到障碍水平有关.Dai和Chiu（2013）[6]利用分段对数正态分布模型，假设除息日股价的下降，遵循在两个相邻除息日之间的几何布朗运动，得到支付离散分红下障碍期权的近似定价公式.然而，该公式包含多重积分的计算，实际操作中相对复杂.提出了障碍期权的一种新型定价方法，以向上敲出看涨障碍期权为例，通过泰勒级数展开得到关于指定变量的仿射函数，利用偏正态分布的性质，给出了一次分红甚至多次分红下只带有一维积分的定价公式，提高了计算速度.
2 无分红的障碍期权
障碍期权是依赖于标的资产路径的期权，可以分为2类：敲出障碍期权和敲入障碍期权.前者当标的资产价格达到障碍水平时，期权失效，后者反之.两者按标的资产初始价格和障碍水平的高低，又可分为向上敲出、向下敲出和向上敲入、向下敲入.
4 数值分析
为体现近似公式的特点及优势，比较了原始重积分公式计算下的精确期权价格与新型定价公式下的近似期权价格.考虑一个带有红利支付的向上敲出看涨障碍期权，假设标的资产的敲定价格K和障碍水平B分别为100和150，无风险利率为3%，期权期T为1年.
图1是支付一次分红下期权价格的精确值和近似值之间的绝对误差，假定当前时刻t为0，波动率为50%，分红支付D为10，精确值与近似值分别由引理1和定理1计算得到.从图1看该近似值已经比较接近精确值了，且随着除息日逐渐临近到期时刻，实值期权、虚值期权和平值期权的绝对误差均呈现了单调递增到达峰值又单调递减的趋势，在到期时刻绝对误差最小.由于是将展开式代入正态分布函数得到的近似值，随着除息日临近到期时刻，分红支付时刻td与当前时刻t的差值增加，同时增加了总误差，而总误差增加到足够大时相应正态分布函数的偏斜也会改变，进而绝对误差减小.此外，在初始时刻实值期权有相对较大的绝对误差，到期时刻虚值期权有相对较大的绝对误差.图2假定在半年支付一次分红D，三种期权价格的绝对误差均随着波动率的增加而减小，因为对于向上敲出看涨障碍期权而言，更高的波动率意味着更大可能的“敲出”（即變为无价值），所以期权价格减小，总误差也变小.这里依然是在初始时刻实值期权有相对较大的绝对误差，到期时刻虚值期权有相对较大的绝对误差.最大的绝对误差不超过10-2，同样的结论也适用于两次分红.图3是支付两次分红下精确值和近似值之间的绝对误差，第一次分红在1/3年支付，第二次分红在2/3年支付，为计算简便令D1=D2.随着分红支付的上升，三种期权价格的绝对误差均下降，这是因为分红的增加会导致期权价格减小，最终误差变小，最大的绝对误差为4.43×10-3.由此表明，该近似方法是行之有效的. 5 结 论
当障碍水平为无穷大时，障碍期权可以近似看作标准期权，所以标准欧式看涨期权的定价公式，可认为是向上敲出看涨障碍期权公式的一个特例.假设障碍期权的分红次数是固定的，提出了一种带有离散分红的障碍期权的新型定价公式.不同之处在于将积分里较难计算的对数，利用泰勒展开转换为关于指定变量的仿射函数，进而简化计算.该方法还可用于回望期权等其它衍生品的定价，丰富了奇异期权的定价理论，对指导期权交易有一定的现实意义.
参考文献
[1] Volf Frishling. A discrete question [J]. Risk， 2002， 15（1）： 115-116.
[2] Song-Ping Zhu， Xin-Jiang He. An accurate approximation formula for pricing European options with discrete dividend payments [J]. IMA Journal of Management Mathematics， 2018， 29（2）： 175-188.
[3] Tian-Shyr Daia， Yuh-Dauh Lyuu. Accurate approximation formulas for stock options with discrete dividends [J]. Applied Economics Letters， 2009， 16（16）： 1657-1663.
[4] 劉韶跃， 杨向群. 分数布朗运动环境中标的资产有红利支付的欧式期权定价[J]. 经济数学， 2002， 19（4）： 35-39.
[5] 贾兆丽， 杨舒荃， 华铎. 敲定时间为随机变量的情况下奇异期权定价问题研究[J]. 经济数学， 2017， 34（2）： 79-83.
[6] Tian-Shyr Daia， Chun-Yuan Chiub. Pricing barrier stock options with discrete dividends by approximating analytical formulae [J]. Quantitative Finance， 2014， 14（8）： 1367-1382.
[7] Fischer Black， Myron Scholes， The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）：637-654.
[8] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II [M]. New York： Springer-Verlag， 2004： 243-250.
[9] A. Azzalini. A class of distributions which includes the normal ones [J]. Scandinavian Journal of Statistics， 1985， 12（2）： 171-178.
关键词 金融学；障碍期权；泰勒展开；离散分红；偏正态分布
中图分类号 O211.63 文献标识码 A
Abstract The incentive for people to invest in stock market is receiving dividend payments， in addition to gaining appreciation of the stock value itself. A new approach has been presented for pricing barrier options with discrete dividend payments， which take up-and-out call option as an example and fix the amount of the discrete dividend. An affine function of key variables is obtained through Taylor series expansion. A new approximation formula with only one-dimensional integrals involved has been derived. The method improves computing speed and can be applied to pricing other derivatives， such as look-back options and so on， which has instructional significance for trading options in real markets.
Key words finance； barrier options； Taylor expansion； discrete dividend； skewed normal distribution
1 引 言
随着人们对股票市场的热情与日俱增，越来越多的人开始追求股票价值以外的分红收益.支付分红的期权定价通常包括连续分红和离散分红两种模型，实际交易中大多支付离散分红，且这种分红会使股价在除息日出现一定程度的跳跃，影响期权的价格.Frishling（2002）[1]指出带有离散分红的定价模型主要包括提存模型、正向模型和分段对数正态模型，其中只有第3种模型能较真实地反映实际的价格.Zhu和He（2018）[2]表明分红与除息日标的资产成比例时，带有离散分红的欧式期权价格与分红支付日期无关，并得到固定分红次数下欧式看涨期权的近似公式.还有许多学者[3，4]对带有离散分红的欧式期权进行了研究，但对离散分红下障碍期权的研究甚少.
障碍期权是金融市场中最活跃的奇异期权之一[5]，它的最终收益不仅依赖于标的资产到期日的价格，还与标的资产价格在整个有效期内是否达到障碍水平有关.Dai和Chiu（2013）[6]利用分段对数正态分布模型，假设除息日股价的下降，遵循在两个相邻除息日之间的几何布朗运动，得到支付离散分红下障碍期权的近似定价公式.然而，该公式包含多重积分的计算，实际操作中相对复杂.提出了障碍期权的一种新型定价方法，以向上敲出看涨障碍期权为例，通过泰勒级数展开得到关于指定变量的仿射函数，利用偏正态分布的性质，给出了一次分红甚至多次分红下只带有一维积分的定价公式，提高了计算速度.
2 无分红的障碍期权
障碍期权是依赖于标的资产路径的期权，可以分为2类：敲出障碍期权和敲入障碍期权.前者当标的资产价格达到障碍水平时，期权失效，后者反之.两者按标的资产初始价格和障碍水平的高低，又可分为向上敲出、向下敲出和向上敲入、向下敲入.
4 数值分析
为体现近似公式的特点及优势，比较了原始重积分公式计算下的精确期权价格与新型定价公式下的近似期权价格.考虑一个带有红利支付的向上敲出看涨障碍期权，假设标的资产的敲定价格K和障碍水平B分别为100和150，无风险利率为3%，期权期T为1年.
图1是支付一次分红下期权价格的精确值和近似值之间的绝对误差，假定当前时刻t为0，波动率为50%，分红支付D为10，精确值与近似值分别由引理1和定理1计算得到.从图1看该近似值已经比较接近精确值了，且随着除息日逐渐临近到期时刻，实值期权、虚值期权和平值期权的绝对误差均呈现了单调递增到达峰值又单调递减的趋势，在到期时刻绝对误差最小.由于是将展开式代入正态分布函数得到的近似值，随着除息日临近到期时刻，分红支付时刻td与当前时刻t的差值增加，同时增加了总误差，而总误差增加到足够大时相应正态分布函数的偏斜也会改变，进而绝对误差减小.此外，在初始时刻实值期权有相对较大的绝对误差，到期时刻虚值期权有相对较大的绝对误差.图2假定在半年支付一次分红D，三种期权价格的绝对误差均随着波动率的增加而减小，因为对于向上敲出看涨障碍期权而言，更高的波动率意味着更大可能的“敲出”（即變为无价值），所以期权价格减小，总误差也变小.这里依然是在初始时刻实值期权有相对较大的绝对误差，到期时刻虚值期权有相对较大的绝对误差.最大的绝对误差不超过10-2，同样的结论也适用于两次分红.图3是支付两次分红下精确值和近似值之间的绝对误差，第一次分红在1/3年支付，第二次分红在2/3年支付，为计算简便令D1=D2.随着分红支付的上升，三种期权价格的绝对误差均下降，这是因为分红的增加会导致期权价格减小，最终误差变小，最大的绝对误差为4.43×10-3.由此表明，该近似方法是行之有效的. 5 结 论
当障碍水平为无穷大时，障碍期权可以近似看作标准期权，所以标准欧式看涨期权的定价公式，可认为是向上敲出看涨障碍期权公式的一个特例.假设障碍期权的分红次数是固定的，提出了一种带有离散分红的障碍期权的新型定价公式.不同之处在于将积分里较难计算的对数，利用泰勒展开转换为关于指定变量的仿射函数，进而简化计算.该方法还可用于回望期权等其它衍生品的定价，丰富了奇异期权的定价理论，对指导期权交易有一定的现实意义.
参考文献
[1] Volf Frishling. A discrete question [J]. Risk， 2002， 15（1）： 115-116.
[2] Song-Ping Zhu， Xin-Jiang He. An accurate approximation formula for pricing European options with discrete dividend payments [J]. IMA Journal of Management Mathematics， 2018， 29（2）： 175-188.
[3] Tian-Shyr Daia， Yuh-Dauh Lyuu. Accurate approximation formulas for stock options with discrete dividends [J]. Applied Economics Letters， 2009， 16（16）： 1657-1663.
[4] 劉韶跃， 杨向群. 分数布朗运动环境中标的资产有红利支付的欧式期权定价[J]. 经济数学， 2002， 19（4）： 35-39.
[5] 贾兆丽， 杨舒荃， 华铎. 敲定时间为随机变量的情况下奇异期权定价问题研究[J]. 经济数学， 2017， 34（2）： 79-83.
[6] Tian-Shyr Daia， Chun-Yuan Chiub. Pricing barrier stock options with discrete dividends by approximating analytical formulae [J]. Quantitative Finance， 2014， 14（8）： 1367-1382.
[7] Fischer Black， Myron Scholes， The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）：637-654.
[8] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II [M]. New York： Springer-Verlag， 2004： 243-250.
[9] A. Azzalini. A class of distributions which includes the normal ones [J]. Scandinavian Journal of Statistics， 1985， 12（2）： 171-178.