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[摘要]研究一些生活中的数学难题的解法，可以开阔学生视野，培养学生思维.
[关键词]巧解；数学难题；生活
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）17002802
数学是思维的体操.数学是神奇的、有魅力的，它在更深的层面上揭开了自然界和人类社会的内在规律.数学源于生活，寓于生活，用于生活.数学是一种思维方法、一种推理方法.数学思维是数学的灵魂，是分析和解决问题的基础、导向和金钥匙.下面我们来看看如何用智慧巧解数学难题.
【例1】（农夫分牛问题）农夫养牛17头，临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子.遗嘱是这样的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9.既不能把牛杀死，也不能卖了分钱.农夫死后，兄弟3人怎么分呢？
这是著名的农夫分牛问题.在许多趣味数学书中有收录，但是都没有给出解题的思路和隐藏的数学问题.
解：先借邻居一头牛，就好分了.这样，老大得到18的1/2为9头，老二得到1/3为6头，老三得到1/9为2头，合计刚好为17头，剩下1头牛还给邻居.
这样分牛方法到底合理吗？也就说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的与农夫的遗嘱丝毫不差？我们来看下面的数学证明过程.
证明：第一次分后，老大得17×1/2头牛，老二得17×1/3头牛，老三得17×1/9头牛.按照农夫的遗嘱，第一次分后，不能够把17头牛完全分完，还剩下17/18头牛.必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛.
第二次分后，牛也没有分完，还剩下牛17/182，继续分牛.
继续分下去，这是一个收敛的无穷级数，也就是说，老大得到的牛头数为17×1/2 17/18×1/2 17/182×1/2 7/183×1/2 ……
老二得的牛头数为17×1/3 17/18×1/3 17/182×1/3 17/183×1/3 ……
老三得的牛头数为17×1/9 17/18×1/9 17/182×1/9 7/183×1/9 ……
计算级数1/18 1/182 1/183 ……=1/17，经过级数计算可见，分牛方法完全合理.
【例2】1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
解：第一次可买到20瓶，喝完后有20个空瓶；第二次可换到10瓶，喝完后有10个空瓶；第三次可换到5瓶，喝完后有5个空瓶；第四次可换到2瓶，剩一个空瓶，喝完后有共有3个空瓶；第五次可换到1瓶，剩一个空瓶，喝完后有共有2个空瓶；第六次可换到1瓶，喝完后有1个空瓶，可借1个空瓶，共2个空瓶；第七次可换到1瓶，喝完后剩1个空瓶，可还上借的那个空瓶.因此一共可喝到40瓶.
【例3】有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背几根香蕉回家？
解：猴子先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下.回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根.再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，要吃25根，还剩25根到家.
【例4】假设有一个池塘，里面有无穷多的水.现有2个空水壶，容积分别为5升和6升.问题是如何利用这2个水壶从池塘里取得3升的水？
解：先用5升壶装满水后倒进6升壶里，再将5升壶装满水向6升壶里倒，使6升壶装满水为止，此时5升壶里还剩4升水；将6升壶里的水全部倒掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此时6升壶里只有4升水，再将5升壶装满水，向6升壶里倒，使6升壶里装满水为止，此时5升壶里就只剩下3升水了.
【例5】某沙漠通讯班接到紧急命令，让他们火速将一份情报送过沙漠.现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠，每个人步行穿过沙漠的时间均为12天，而每个人最多只能带8天的食物，请问，在假定每个人饭量大小相同，且所能带的食物相同的情况下，沙漠通讯班能否完成任务？如果能，那么最少需要几人才能将情报送过沙漠，怎么送？
解： 最少需要3人才能将情报送过沙漠.
因最后一个人过沙漠送情报，12-8=4，需要别人为他提供4天的食物.8-4=4.
在第四天返回的人共用4×2=8天的食物.8-8=0，自带食物无剩余.应有别人为他们提供4天的食物.（8-4）/2=2.为他们提供食物的人在第二天返回.三人同行.走二天后，一人给另两人各两天食物，自带两天食物返回. 走四天后，第二人给第三人两天食物，自带四天食物返回.
这时第三人有8-2 2-2 2=8天的食物.第三人一共可行8 4=12天.
【例6】某医院有一架天平，只剩下两个砝码，一个是5克，另一个是30克，如何用这两个砝码，在天平上只称两次就把300克的药品分成两份，一份100克，一份200克？写出简要的操作过程.
解：将5克和30克砝码一起放上，称量出35克药品.然后用称量出的35克药品和5克及30克砝码一起做砝码，称量出70克药品.将称量出的70克药品和做砝码的30克药品放在一起，100克药品就称出来了，剩下的就是200克药品.
【例7】妈妈让小明烧水给客人沏茶，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
解：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待開水的过程中，同时洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟.
又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的.
【例8】用一个平底锅来烙饼，每次能同时放两块饼，如果烙一块饼需要两分钟（正、反面各需1分钟），那么烙3块饼至少需要多少分钟呢？
解：假设三张饼分别是1、2、3，两面分别为A、B.第一分钟：烙1A、2A，第二分钟：烙1B、3A，第三分钟：烙2B、3B，就都烙好了， 所以至少需要3分钟.
【例9】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
解：第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候……第6个人接水时，只有他1个人等候.可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少.因此，应当把接水时间按从少到多的顺序排列等候接水，这个最短时间是36 45 54 63 72 10=100（分钟）.
【例10】如图，某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D.问：如何调运最省汽油？
方案一：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，
每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务.总共空车跑了300×60 360×40=32400（米）.
方案二：如果一辆从A→B→C→D→A跑一圈，
那么每运一车渣土、运一车砖要空车跑240 90=330米.
因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，
这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.
然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了.
这里总共空车跑了330×40 300×20=19200（米）.
方案二比方案一减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案.
（责任编辑黄桂坚）
[关键词]巧解；数学难题；生活
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）17002802
数学是思维的体操.数学是神奇的、有魅力的，它在更深的层面上揭开了自然界和人类社会的内在规律.数学源于生活，寓于生活，用于生活.数学是一种思维方法、一种推理方法.数学思维是数学的灵魂，是分析和解决问题的基础、导向和金钥匙.下面我们来看看如何用智慧巧解数学难题.
【例1】（农夫分牛问题）农夫养牛17头，临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子.遗嘱是这样的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9.既不能把牛杀死，也不能卖了分钱.农夫死后，兄弟3人怎么分呢？
这是著名的农夫分牛问题.在许多趣味数学书中有收录，但是都没有给出解题的思路和隐藏的数学问题.
解：先借邻居一头牛，就好分了.这样，老大得到18的1/2为9头，老二得到1/3为6头，老三得到1/9为2头，合计刚好为17头，剩下1头牛还给邻居.
这样分牛方法到底合理吗？也就说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的与农夫的遗嘱丝毫不差？我们来看下面的数学证明过程.
证明：第一次分后，老大得17×1/2头牛，老二得17×1/3头牛，老三得17×1/9头牛.按照农夫的遗嘱，第一次分后，不能够把17头牛完全分完，还剩下17/18头牛.必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛.
第二次分后，牛也没有分完，还剩下牛17/182，继续分牛.
继续分下去，这是一个收敛的无穷级数，也就是说，老大得到的牛头数为17×1/2 17/18×1/2 17/182×1/2 7/183×1/2 ……
老二得的牛头数为17×1/3 17/18×1/3 17/182×1/3 17/183×1/3 ……
老三得的牛头数为17×1/9 17/18×1/9 17/182×1/9 7/183×1/9 ……
计算级数1/18 1/182 1/183 ……=1/17，经过级数计算可见，分牛方法完全合理.
【例2】1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
解：第一次可买到20瓶，喝完后有20个空瓶；第二次可换到10瓶，喝完后有10个空瓶；第三次可换到5瓶，喝完后有5个空瓶；第四次可换到2瓶，剩一个空瓶，喝完后有共有3个空瓶；第五次可换到1瓶，剩一个空瓶，喝完后有共有2个空瓶；第六次可换到1瓶，喝完后有1个空瓶，可借1个空瓶，共2个空瓶；第七次可换到1瓶，喝完后剩1个空瓶，可还上借的那个空瓶.因此一共可喝到40瓶.
【例3】有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背几根香蕉回家？
解：猴子先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下.回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根.再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，要吃25根，还剩25根到家.
【例4】假设有一个池塘，里面有无穷多的水.现有2个空水壶，容积分别为5升和6升.问题是如何利用这2个水壶从池塘里取得3升的水？
解：先用5升壶装满水后倒进6升壶里，再将5升壶装满水向6升壶里倒，使6升壶装满水为止，此时5升壶里还剩4升水；将6升壶里的水全部倒掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此时6升壶里只有4升水，再将5升壶装满水，向6升壶里倒，使6升壶里装满水为止，此时5升壶里就只剩下3升水了.
【例5】某沙漠通讯班接到紧急命令，让他们火速将一份情报送过沙漠.现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠，每个人步行穿过沙漠的时间均为12天，而每个人最多只能带8天的食物，请问，在假定每个人饭量大小相同，且所能带的食物相同的情况下，沙漠通讯班能否完成任务？如果能，那么最少需要几人才能将情报送过沙漠，怎么送？
解： 最少需要3人才能将情报送过沙漠.
因最后一个人过沙漠送情报，12-8=4，需要别人为他提供4天的食物.8-4=4.
在第四天返回的人共用4×2=8天的食物.8-8=0，自带食物无剩余.应有别人为他们提供4天的食物.（8-4）/2=2.为他们提供食物的人在第二天返回.三人同行.走二天后，一人给另两人各两天食物，自带两天食物返回. 走四天后，第二人给第三人两天食物，自带四天食物返回.
这时第三人有8-2 2-2 2=8天的食物.第三人一共可行8 4=12天.
【例6】某医院有一架天平，只剩下两个砝码，一个是5克，另一个是30克，如何用这两个砝码，在天平上只称两次就把300克的药品分成两份，一份100克，一份200克？写出简要的操作过程.
解：将5克和30克砝码一起放上，称量出35克药品.然后用称量出的35克药品和5克及30克砝码一起做砝码，称量出70克药品.将称量出的70克药品和做砝码的30克药品放在一起，100克药品就称出来了，剩下的就是200克药品.
【例7】妈妈让小明烧水给客人沏茶，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
解：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待開水的过程中，同时洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟.
又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的.
【例8】用一个平底锅来烙饼，每次能同时放两块饼，如果烙一块饼需要两分钟（正、反面各需1分钟），那么烙3块饼至少需要多少分钟呢？
解：假设三张饼分别是1、2、3，两面分别为A、B.第一分钟：烙1A、2A，第二分钟：烙1B、3A，第三分钟：烙2B、3B，就都烙好了， 所以至少需要3分钟.
【例9】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
解：第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候……第6个人接水时，只有他1个人等候.可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少.因此，应当把接水时间按从少到多的顺序排列等候接水，这个最短时间是36 45 54 63 72 10=100（分钟）.
【例10】如图，某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D.问：如何调运最省汽油？
方案一：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，
每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务.总共空车跑了300×60 360×40=32400（米）.
方案二：如果一辆从A→B→C→D→A跑一圈，
那么每运一车渣土、运一车砖要空车跑240 90=330米.
因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，
这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.
然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了.
这里总共空车跑了330×40 300×20=19200（米）.
方案二比方案一减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案.
（责任编辑黄桂坚）