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〔关键词〕 创新精神；实践能力；拓展；开放
式教学；发散思维
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2008）
12（Ａ）—00１6—０２
教育以培养学生的创新精神和实践能力为重点，而新课改便给教师提了这样一个广阔的天空，使教师的教学不再局限于课本、课堂，而是向课外、向生活、向实践发展，践行这一精神.
数学作为中学阶段的一门重要基础学科，是培养学生创新精神和创新能力的重要渠道之一.中学生的数学创新能力主要表现为：在具有扎实的基础知识，熟练的基本技能和一定的思维能力的基础上，能从问题中探求新关系、新方法，寻求新答案.数学题目就是这样一个载体，如天空中一片片或浓或淡的云彩，云卷云舒间便现出天空的瑰丽，显现出数学的魅力.所以，我认为在数学教学中，培养学生的创新能力应立足于数学题目，让学生在获取知识的同时，培养创新能力.下面谈谈自己的一些具体做法与体会.
自我尝试，推理定义、定理、公式
初中数学涉及许多定义、定理、公式，这些内容都是前人经过长期探究、发现、总结得到的.在教学中有意识地选择一些定理、公式，让学生根据所学的知识去探究、去论证，不仅可以让学生感受到知识的发生过程，而且可以开启学生智慧的大门，培养学生的创新精神，这也是新课程所提倡的.
如：在教学“圆和圆的位置关系”时，对于定理“相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦”，如果根据轴对称性质证明，学生会很难理解，也很难想到.教师若把这一问题放手让学生去探索，学生在思维不受约束的情况下，根据所学知识得到了另外两种证法，并且证明过程比较简捷.
证明1：如图１，连接O1A、O1B、O2A、O2B．
∵ O1A=O１B，O2A=O2B，∴点O1、O2在线段AB的垂直平分线上，∴直线O1O2是AB的垂直平分线.
证明2：如图１，连接O1A、O1B、O2A、O2B．
∵ O1A=O1B，O2A=O2B，O1O2=O1O2，∴ △O1AO2≌O1BO2 ．
∴ ∠AO1O2=∠BO1O2，∴ O1O2垂直平分AB ．
通過对证明过程的探索，学生的思维有了质的飞跃.这种飞跃蕴含着创新意识的形成，经常如此，学生的创造能力就会逐渐提高.
拓展例题，寻求新解法
课本中的例题之所以被选为例题，是因为它是知识的精华，具有典型性和示范性.但由于例题作为新知识的应用，其解题过程涉及到的知识只与本节所学内容有关，学生也习惯性地将解题方法与本节内空挂钩，从而抑制了学生思维的全面展开.长此以往，不利于学生创新精神的培养.因此，例题教学中教师应有意识地引导学生敢于探索、乐于求新、注意新旧知识的相互联系，达到例题为我所学、为我所用的目的.
“弦切角”一节有一例题：“如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CＥ，垂足为点D，求证：AC平分∠BAD.”
按常规，解决此题要做出弦切角夹的弦所对的圆周角.
证明1：连接BC．∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠B+∠CAB=90°．
∵ AD⊥CＥ，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.
∵ AC是弦，CE切⊙O于点C，∴∠ACD=∠B，∴∠DAC=∠CAB，∴ AC平分∠BAD．
此时若让学生独立思考，引导他们联想已学知识，学生容易想到切线的性质定理和平行线的性质，从而得到更为简便的证法.
证明2：如图３，连接OC．
∵ CE切⊙O于点C，∴ OC⊥CE．
∵ AＤ⊥CE，∴OC∥AD，∴ ∠1=∠2．
∵ OC=0A，∴∠1=∠3，∴ ∠2=∠3．
∴ AC平分∠BAD．
学生在探索解题的过程中，能运用旧知识解决新问题且异于课本中的解法，实际就是一种创新.因此，课堂中的例题教学应让学生多从不同方面应用新旧知识去联想、去思考，以克服思维定势.
“开放”题目，培养创新意识
数学作为一门科学，是数学知识、数学思想和数学方法的统一体.学生把学过的数学知识、思想和方法按照个人接受、理解的深度、广度，结合感觉、知觉、记忆、联想、习惯等认知特征，在头脑中形成一个具有内部规律性的整体结构，是一个具有内部联系的认识结构的积累.这种个人积累的量越大，则联想、类比、想象的领域就越广，从而产生出新思想、新概念、新方法的机会也就越大.
开放式教学将给学生创造这种机会.开放式教学是当今教学研究的一个热点，因它与传统教学相比，更追求学生能力的提升，更注重思维过程的培养，故有利于学生创新精神和能力的培养.而开放式教学以开放题为载体，去实现“开放”.
在数学课堂教学中，教师可将一些常规性题目改为开放题.例如：在学习“等腰三角形性质”时，可以编这样一道题：“在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点且OB=OC，连结AO并延长交BC于D，你能够得出哪些结论？”把这样具有发散性和发展性的开放题引入数学课堂无疑是通过发展训练，培养学生的思维灵活性与创造性，同时也给予了学生主动探究、自主学习的空间.
变化题目，进行创新思维训练
一般来说，数学中的新思想、新理论和新方法往往来源于发散思维.发散思维是一种创新思维，思维方向发散于不同的方面，即从不同的方面进行思考.学生在数学上的创造能力的大小和发散思维能力成正比.可见，加强发散思维的训练，确实是培养学生创造性思维的中心环节.而解题教学又是培养学生发散思维的主战场，尤其是变式练习教学.变式练习包括：
1. 一个结论多种题设
例1：（１）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE、DE分别为∠BAD、∠CDA的平分线，求证：∠AED=90°；
（２）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AB+DC=AD，E为BC的中点，求证：∠AED=90°；
（３）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，CE=BA，求证：∠AED=90°.
2. 一个题设多种结论
例2：如图5，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中心D，DE⊥BC，垂足为E.由这些条件，你能推出哪些正确结论？
对于此题，学生推理得出的结论可谓丰富多彩：
（１）AD=DC；
（２）连结BC，则∠ADB=90°，BD⊥AC；
（３）△BDE∽△ＣＤＥ∽△ＣＢＤ；
（４）△ABD∽△CBD；
（５）AB=BC；
（６）∠A=∠C；
（７）DE2=BE×CE，CD2=CE×CB等.
3. 一题多变
例３：如图6，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点的直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点C，过B点的直线交⊙O1于点F，交⊙O2于点D.利用圆内接四边形的性质，我们可推出EF∥CD.
变化条件：如图7，如果过A点的直线与过B点的直线交于⊙O1上的点E，那么我们仍利用圆内接四边形的性质，又可推出△EAB∽△EDC，进而推出一些比例线段.
再次变化条件：如图8，若过A点的直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点C，过B点的直线交⊙O1于点F，交⊙O2于点D，且EC与FD相交于⊙O1内的点P.我们可以得出：∠F=∠EAB=∠D，EF∥CD，△PEF∽△PBA∽△PCD等.
这个例子利用EC与FD交点位置的变化，得到了三个相互联系，又有所不同的题目，充分运用了圆内接四边形的性质.这样的变形练习对学生来说就像变魔术一样，充满了吸引力，使学生加深了对知识的深刻理解，开拓了视野，有利于学生全面掌握知识，提高举一反三的能力.更为重要的是让学生学会了用变化的眼光去想问题，用变化的思想去对待每一个问题，从而从中获得更多、更有用的知识.
总之，培养学生具有一定的创新能力，是中学数学教学的重要任务，是时代赋予教师的历史使命.十分耕耘不一定会有十分收获，但重要的是先要去耕耘.教师只有善于利用不同题目培养学生动脑、动手、动口，大胆探索，勇于提出问题的习惯，才能使学生运用数学的立场、观点和思想方法去分析、解决问题，真正使数学课堂题目教学成为培养学生创新能力的主渠道。
式教学；发散思维
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2008）
12（Ａ）—00１6—０２
教育以培养学生的创新精神和实践能力为重点，而新课改便给教师提了这样一个广阔的天空，使教师的教学不再局限于课本、课堂，而是向课外、向生活、向实践发展，践行这一精神.
数学作为中学阶段的一门重要基础学科，是培养学生创新精神和创新能力的重要渠道之一.中学生的数学创新能力主要表现为：在具有扎实的基础知识，熟练的基本技能和一定的思维能力的基础上，能从问题中探求新关系、新方法，寻求新答案.数学题目就是这样一个载体，如天空中一片片或浓或淡的云彩，云卷云舒间便现出天空的瑰丽，显现出数学的魅力.所以，我认为在数学教学中，培养学生的创新能力应立足于数学题目，让学生在获取知识的同时，培养创新能力.下面谈谈自己的一些具体做法与体会.
自我尝试，推理定义、定理、公式
初中数学涉及许多定义、定理、公式，这些内容都是前人经过长期探究、发现、总结得到的.在教学中有意识地选择一些定理、公式，让学生根据所学的知识去探究、去论证，不仅可以让学生感受到知识的发生过程，而且可以开启学生智慧的大门，培养学生的创新精神，这也是新课程所提倡的.
如：在教学“圆和圆的位置关系”时，对于定理“相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦”，如果根据轴对称性质证明，学生会很难理解，也很难想到.教师若把这一问题放手让学生去探索，学生在思维不受约束的情况下，根据所学知识得到了另外两种证法，并且证明过程比较简捷.
证明1：如图１，连接O1A、O1B、O2A、O2B．
∵ O1A=O１B，O2A=O2B，∴点O1、O2在线段AB的垂直平分线上，∴直线O1O2是AB的垂直平分线.
证明2：如图１，连接O1A、O1B、O2A、O2B．
∵ O1A=O1B，O2A=O2B，O1O2=O1O2，∴ △O1AO2≌O1BO2 ．
∴ ∠AO1O2=∠BO1O2，∴ O1O2垂直平分AB ．
通過对证明过程的探索，学生的思维有了质的飞跃.这种飞跃蕴含着创新意识的形成，经常如此，学生的创造能力就会逐渐提高.
拓展例题，寻求新解法
课本中的例题之所以被选为例题，是因为它是知识的精华，具有典型性和示范性.但由于例题作为新知识的应用，其解题过程涉及到的知识只与本节所学内容有关，学生也习惯性地将解题方法与本节内空挂钩，从而抑制了学生思维的全面展开.长此以往，不利于学生创新精神的培养.因此，例题教学中教师应有意识地引导学生敢于探索、乐于求新、注意新旧知识的相互联系，达到例题为我所学、为我所用的目的.
“弦切角”一节有一例题：“如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CＥ，垂足为点D，求证：AC平分∠BAD.”
按常规，解决此题要做出弦切角夹的弦所对的圆周角.
证明1：连接BC．∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠B+∠CAB=90°．
∵ AD⊥CＥ，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.
∵ AC是弦，CE切⊙O于点C，∴∠ACD=∠B，∴∠DAC=∠CAB，∴ AC平分∠BAD．
此时若让学生独立思考，引导他们联想已学知识，学生容易想到切线的性质定理和平行线的性质，从而得到更为简便的证法.
证明2：如图３，连接OC．
∵ CE切⊙O于点C，∴ OC⊥CE．
∵ AＤ⊥CE，∴OC∥AD，∴ ∠1=∠2．
∵ OC=0A，∴∠1=∠3，∴ ∠2=∠3．
∴ AC平分∠BAD．
学生在探索解题的过程中，能运用旧知识解决新问题且异于课本中的解法，实际就是一种创新.因此，课堂中的例题教学应让学生多从不同方面应用新旧知识去联想、去思考，以克服思维定势.
“开放”题目，培养创新意识
数学作为一门科学，是数学知识、数学思想和数学方法的统一体.学生把学过的数学知识、思想和方法按照个人接受、理解的深度、广度，结合感觉、知觉、记忆、联想、习惯等认知特征，在头脑中形成一个具有内部规律性的整体结构，是一个具有内部联系的认识结构的积累.这种个人积累的量越大，则联想、类比、想象的领域就越广，从而产生出新思想、新概念、新方法的机会也就越大.
开放式教学将给学生创造这种机会.开放式教学是当今教学研究的一个热点，因它与传统教学相比，更追求学生能力的提升，更注重思维过程的培养，故有利于学生创新精神和能力的培养.而开放式教学以开放题为载体，去实现“开放”.
在数学课堂教学中，教师可将一些常规性题目改为开放题.例如：在学习“等腰三角形性质”时，可以编这样一道题：“在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点且OB=OC，连结AO并延长交BC于D，你能够得出哪些结论？”把这样具有发散性和发展性的开放题引入数学课堂无疑是通过发展训练，培养学生的思维灵活性与创造性，同时也给予了学生主动探究、自主学习的空间.
变化题目，进行创新思维训练
一般来说，数学中的新思想、新理论和新方法往往来源于发散思维.发散思维是一种创新思维，思维方向发散于不同的方面，即从不同的方面进行思考.学生在数学上的创造能力的大小和发散思维能力成正比.可见，加强发散思维的训练，确实是培养学生创造性思维的中心环节.而解题教学又是培养学生发散思维的主战场，尤其是变式练习教学.变式练习包括：
1. 一个结论多种题设
例1：（１）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AE、DE分别为∠BAD、∠CDA的平分线，求证：∠AED=90°；
（２）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，AB+DC=AD，E为BC的中点，求证：∠AED=90°；
（３）如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，CE=BA，求证：∠AED=90°.
2. 一个题设多种结论
例2：如图5，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中心D，DE⊥BC，垂足为E.由这些条件，你能推出哪些正确结论？
对于此题，学生推理得出的结论可谓丰富多彩：
（１）AD=DC；
（２）连结BC，则∠ADB=90°，BD⊥AC；
（３）△BDE∽△ＣＤＥ∽△ＣＢＤ；
（４）△ABD∽△CBD；
（５）AB=BC；
（６）∠A=∠C；
（７）DE2=BE×CE，CD2=CE×CB等.
3. 一题多变
例３：如图6，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点的直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点C，过B点的直线交⊙O1于点F，交⊙O2于点D.利用圆内接四边形的性质，我们可推出EF∥CD.
变化条件：如图7，如果过A点的直线与过B点的直线交于⊙O1上的点E，那么我们仍利用圆内接四边形的性质，又可推出△EAB∽△EDC，进而推出一些比例线段.
再次变化条件：如图8，若过A点的直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点C，过B点的直线交⊙O1于点F，交⊙O2于点D，且EC与FD相交于⊙O1内的点P.我们可以得出：∠F=∠EAB=∠D，EF∥CD，△PEF∽△PBA∽△PCD等.
这个例子利用EC与FD交点位置的变化，得到了三个相互联系，又有所不同的题目，充分运用了圆内接四边形的性质.这样的变形练习对学生来说就像变魔术一样，充满了吸引力，使学生加深了对知识的深刻理解，开拓了视野，有利于学生全面掌握知识，提高举一反三的能力.更为重要的是让学生学会了用变化的眼光去想问题，用变化的思想去对待每一个问题，从而从中获得更多、更有用的知识.
总之，培养学生具有一定的创新能力，是中学数学教学的重要任务，是时代赋予教师的历史使命.十分耕耘不一定会有十分收获，但重要的是先要去耕耘.教师只有善于利用不同题目培养学生动脑、动手、动口，大胆探索，勇于提出问题的习惯，才能使学生运用数学的立场、观点和思想方法去分析、解决问题，真正使数学课堂题目教学成为培养学生创新能力的主渠道。