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数学问题的求解过程中，需要我们不断地观察、感知、判断、分析、综合、推理，并在解题思维链条的反思、调整、修补中寻求解题的合理性、简捷性和准确性. 这当中，弄清“是什么”，明白“为什么”，深思“还有什么”，对解题能力的不断提升将会有着较大的帮助. 下面就介绍一些高中数学解题中思考的技巧，期望同学们用“心”去体会，若能在高考中使用到其中的某些解题技巧，哪怕只是某个技巧，那么你赢得的不仅是高准确率，而且还能节省时间，更重要的是由于你多掌握了“解题技巧”而赢得了宝贵的“心理优势”.
一、审题技巧
审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提. 著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图. ”事实上，同学们常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中. 如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息，是解题迅速的必要条件，审题宜从以下几个方面进行.
1. 明确问题的条件与结论
要明确问题的条件与结论，需做到以下五点：Ⅰ.全面、深刻、确切地理解题目的明显条件；Ⅱ.不要遗漏题目中的“次要”条件；Ⅲ.要尽可能把已知条件直观化、形象化；Ⅳ.善于把已知条件作适合解题需要的转换；Ⅴ.要充分挖掘隐含条件.
例1 已知集合[A=x,yx2+mx-y+2=0]和[B=x,yx-y+1=0,0≤x≤2]，如果[A⋂B≠∅],求实数[a]的取值范围.
分析 在审题时，可以看出这两个集合均为点集，本题既可看成两个曲线有交点的问题，又可看成两方程在指定区间有公共解问题.
解： 由[x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0≤x≤2)]，
得[x2+(m-1)x+1=0]. ①
[∵A⋂B≠∅]，[∴]方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
首先，由[Δ=m-12-4≥0,得m≥3或m≤-1.]
当[m≥3]时，由[x1+x2=-(m-1)<0]及[x1x2=1]知，方程①只有负根，不符合要求；
当[m≤-1]时，由[x1+x2=-(m-1)>0]及[x1x2=1>0]知, 方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间[0,1]内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.
综上，所求[m]的取值范围是[-∞,-1].
2. 灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换
数学有三种语言：符号语言、图形语言、日常用语，它们是数学知识，数学思维的载体，在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异，因人而异，而且各种语言之间又是互相渗透，如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用，就会使本来不难的变难、变繁.
由于数学语言的高度概括性使题目抽象程度提高，或者有时信息或问题表述及比较含蓄，应通过思考将其转译为自己熟悉的便于理解和应用的问题或信息. 可试图将问题换个说法，说给你自己听，做到：①隐晦的语言说得明确些；②繁复的问题说得简要些；③抽象的问题说得具体些；④表象的问题说得深实些；⑤难于正面说的问题从反面去说.
例2 已知[f(x)=x2+2x+1]，存在实数[t]，使得当[x∈[1，m]]时，[f(x+t)≤x]恒成立，求[m]的最大值.
[1 2]
解析 直接求解较复杂，译成图象语言可轻松获解. 将[f(x)=x2+2x+1]的图象进行左右平移，问题转化为当t为何值时，对于[x∈[1，m]]，[f(x)=x2+2x+1]图象恒在[y=x]的下方.
结合右图可知，当[f(x)=x2+2x+1]图象向右平移，且当右半部分第一次经过点（1，1），继续向右平移时，才会出现[x∈[1，m]，f(x+t)≤x]成立，继续向右平移；
当[f(x)]图象左半部分经过点（1，1），再向右平移时，有[f(x+t)≤x]恒成立，所以，[m]的最大值应为[f(x+t)]与[y=x]的除点（1，1）外的交点的横坐标. 由[(1+t)2+2(1+t)+1=1]，解得 [t=-1]（舍去）或[t=-3]，再由[f(x-3)=x]，解得[x=1]或[x=4].
故[m]的最大值为4.
点评 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题. 实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观. 思考问题时要善于从条件的结构特征中寻找一些和图象相关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫.
二、细节决定成败
在解决问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解，甚至错解.
例3 已知[fx=x2+2x+ax,]
（1）对任意[x∈1,+∞,fx≥0]恒成立,试求实数[a]的取值范围;
（2）当[x∈1,+∞,fx]的值域是[0,+∞],试求实数[a]的值.
解析 本题的第（1）问是一个恒成立问题, [fx=x2+2x+ax≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立. 等价于[ϕx=x2+2x+a≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立,又等价于[x≥1]时,[ϕx]的最小值[≥0]成立.
由于[ϕx=x+12+a-1]在[1,+∞]上为增函数,则[ϕminx=ϕ1=a+3],
所以 [a+3≥0,a≥-3.]
第（2）问是一个恰成立问题,这相当于[fx=x2+2x+ax≥0]的解集是[x∈1,+∞].
当[a≥0]时,由于[x≥1]时, [fx=x2+2x+ax][=x+ax+2≥3],与其值域是[0,+∞]矛盾,
当[a<0]时, [fx=x2+2x+ax=x+ax+2]是[1,+∞]上的增函数. 所以,[fx]的最小值为[f1],令[f1=0],即[1+a+2=0,a=-3.]
不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题往往只有一字之差，若不注意这个细节的差异，很容易在解题时张冠李戴，造成解题失误.
（1）恒成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[fx]在区间[D]上的最小值大于[A]；②若不等式[fx （2）能成立问题. ①若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx>A]成立,即[fx>A]在区间[D]上能成立, 则等价于函数[fx]在区间[D]上的最大值大于[A]；②若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[fx （3）恰成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恰成立, 则等价于不等式[fx>A]的解集为[D]；②若不等式[fx
例4 已知曲线[y=13x3+43]，则过点[P(2,4)]的切线方程是 .
解析 本题可以判断点[P(2,4)]在曲线[y=13x3+43]上，所以，大部分同学的解法是，由[y|x=2=4]得切线方程为[y-4=4(x-2)]，即[4x-y-4=]0.
但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点[P(2,4)]是否为切点,而上面的解法是把点[P(2,4)]当作切点求解的. 其实, 点[P(2,4)]也可能不是切点. 正确的解法是:
设切点为[(x0,y0)],则[y|x=x0=x20]，切线方程为[y-4=x20(x-2)].
因为[(x0,y0)]在切线上,则[y0-4=x20(x0-2)],从而有[13x30+43-4]=[x30-2x20]，
解得[x0=2,x0=-1],
于是, 过点[P(2,4)]的切线方程为[4x-y-4=0]和[x-y+2=0].
三、结论也是已知信息
我们在解题时常常忽视一个细节，那就是：结论也是已知信息！有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间.
例5 已知平面上的直线[l]的方向向量[e→=(-45,35)]，点(0，0)和A(1,－2)在[l]上的射影分别为[O′和A′]，若[O′A′=λe]，则[λ]为（ ）
A. [115] B. －[115] C. 2 D. －2
解析 直线[l]的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，[λ]必为定值. 可见直线[l]的变化不会影响[λ]的值. 因此我们可取[l]为[y=-34x]来求解[λ]的值. 设[l]:[y=-34x]， [A′(x,y),]
则[-2-y1-x(-34)=-1,y=-34x,] 可得[A′(85,-65)]，
∴[O′A′=λe1]，即[(85,-65)=λ(-45,35)]，[λ]=－2.
例6 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，[EF=32]，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]
解析 该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而[VE-ABCD]=6，所以只能选D.
例7 连续投掷两次骰子的点数为[m、n]，记向量[b=(m,n)]与向量[a=(1，-1)]的夹角为[θ]，则[θ∈0,π2]的概率是（ ）
A. [512] B. [12] C. [712] D. [56]
解析 用估值法，画个草图，立刻发现在[∠AOB]范围内（含在OB上）的向量b的个数超过一半些许，选C，完全没有必要计算.
四、转化技巧
数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换. 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的. 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法. 那么有哪些转化途径呢？
1. 数形转化.
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多.
例8 若P（2，-1）为圆[(x-1)2+y2=25]的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A. [x-y-3=0] B. [2x+y-3=0]
C. [x+y-1=0] D. [2x-y-5=0]
解析 画出圆和过点[P]的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A.
2. 数量转化.
数量是数学运算中最基本的单元,审视数量要善于观察、分析数量,依据数量本身的变化,数量与数量之间的相互联系进行恰当转化，从而找到解题的思路,获得优美的解法.
例9 求[sin7∘+cos15∘sin8∘cos7∘+sin15∘sin8∘]的值；
分析 解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在的数量联系. 如题中的含有角7°、15°、8°，发现它们之间的关系是15°＝7°＋8°，故可将7°拆成15°－8°.
解析 [sin7∘+cos15∘sin8∘cos7∘+sin15∘sin8∘]
＝[sin(15∘-8∘)+cos15∘sin8∘cos(15∘-8∘)+sin15∘sin8∘]＝[cos8∘sin15∘cos8∘cos15∘]
＝tan15°=[1-cos30∘sin30∘]=[2-3.]
3. 运算转化.
在解决一些数学问题时，我们常要对题目中的运算形态进行转化，通过转化，赋予式子新的运算方式，从而有利于问题的解决，如三角中的积化和差、和差化积、添置辅助角等变形方法，数列中的裂项求和法，向量中公式[a2=|a|2]的应用，代数式中取倒数、两边取对数、分离常数、分离参数等变形，都体现了运算转化的思想.
例10 已知向量[a]、[b]、[c]满足[|a|=1]，[|b|=2]，[|c|=3]，且[a+b+c=0]，求[a⋅a+b⋅c+c⋅a]的值.
解析 运用公式[a2=|a|2]，把向量的平方转化为其模的平方来计算，
[∵][a+b+c=0]，[∴(a+b+c)2=0]，
[∴a2+b2+c2+2(a⋅a+b⋅c+c⋅a)=0]，
即[a⋅a+b⋅c+c⋅a=-12(|a|2+|b|2+|c|2)=-7.]
4. 结构转化.
一个数学问题，无论是条件还是结论，总伴随着一定的“结构”特征，对其我们要认真观察，仔细分析，把握其内在的特点，必要时对现有结构进行转化，使解题向有利于解决问题的方向发展，从而取得关键性的突破.
例11 （1）已知[a+b+c=1]，求证：[a2+b2+c2≥13].
（2）求证：若[a、b、c∈R+]，则[a3+b3+c3≥3abc].
证明 （1）构造二次函数[f(x)=(x－a)2+(x－b)2+][(x－c)2]，则[f(x)≥0]，即[3x2－2(a+b+c)x+(a2+b2][+c2)]≥0，当且仅当[x=a=b=c]时等号成立.
∴[△=4(a+b+c)2+(a2+b2+c2)≤0.]
又[∵a+b+c=1,]
[∴a2+b2+c2≥13]，当且仅当[a=b=c=13]时，等号成立.
（2）可构造导数模型求解.
原不等式等价于[a3－3bca][≥－(b3+c3).]
令[f(a)=a3－3bc⋅a,]则[f(a)=3a2－3bc,]
令[f(a)=0]得[a=±bc]（舍负号,∵[a∈R+]），
∴当[a∈R+]时，[f(a)min=f(bc)][=－2b3c3.]
又[b、c∈R+，][∴b3+c3≥2b3c3]，
[∴－2b3c3≥-(b3+c3),]故原不等式成立.
例12 已知[a,b∈R+,a+b=1]，求证：[2a+1+2a+1≤22.]
解析 设[f(x)=2x+1]则[f(x)]的图象如图
[1][2]
[∵f(x)]在[(-12,+∝)]上是凹函数，
[∴f(a+b2)≥f(a)+f(b)2,]
[∵a+b=1, ∴f(a+b2)=f(12)=2.]
[∴f(a)+f(b)≤22]，即[2a+1+2b+1≤22].
5. 割补转化.
割补法是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的，例如：把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）等等，从而把未知的转化为已知的，把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的，充分体现等价转化的数学思想.
例13 已知三棱锥[P－ABC]的每相对的两条棱相等，棱长分别为5、6、7，求其体积.
解析 设补成的长方体的三边分别为[a,b,c]则其体积[V＝abc]，而补出的四个三棱锥的体积相等，都等于[16abc]，并且
[a2+b2=25,b2+c2=36,c2+a2=49,⇒a=19,b=6,c=30,]
[∴VP-ABC=V-4×16abc=13abc=295.]
例14 求函数[y=cosx(0≤x≤2π)]和[y=1]的图示所围成的封闭图形的面积.
解析 由于曲线[y=cosx(0≤x≤π)]关于[EF]对称（如图），又曲线段[AF]关于点[(0,π2)]对称，所以图形[EFA]≌图形[DAF]，
将曲线[AFB]沿[EF]剪开，可拼成矩形[AEFD]，则有
[S阴影=S矩形AEFD=2π].
五、目标意识（变形方向）
数学解题是一个自觉、积极、富有创造性的数学思维活动. 在这个思维过程中，解题的每个阶段总是要不断地提出各种辅助问题，为思维探索确定一个个恰当的目标，以便寻求问题的最后解决，这就是目标意识. 在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的. 在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.
例15 已知[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)，]且[f(x)≠0], 求证：[f(x)]是偶函数.
解析 盯住目标变形，要证明[f(x)]是偶函数，意味着证明：对任意[x∈R]，均有[f(-x)=f(x)]成立. 于是，可在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，消除字母[y]，即可令[y=x]，得
[f(2x)+f(0)=2[f(x)]2 ].
为了出现[-x]，又可令[y=－x]，
得[f(2x)+f(0)=2f(x)⋅f(－x). ]
[∴2[f(x)]2=2f(x)⋅f(－x). ]
[∵f(x)≠0，∴f(－x)=f(x)，]
故函数[y=f(x)]是偶函数.
点评 解题分析关键在于盯住目标，并合乎情理地消除题设与结论之间的差异！事实上，本题也可这么解答：在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，令[x=0]，得[f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).]接下来，只要证明[f(0)=1]就行了. 事实上，在上式中，取[y=0]不就显然可得了吗？
例16 已知[-π2 （1）求[sinx－cosx]的值；
（2）求[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx]的值.
解析 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力，目标意识，方程组观念平方切入，（1）由[sinx+cosx=15,]平方得[sin2x+2sinxcosx][+cos2x=125,] 即[2sinxcosx=-2425.]
[(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925.]
注意角所在范围选取符号，又[∵-π2 [∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,]
故[sinx-cosx=-75.]
（2）目标意识沟通代入有,
[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx,]
[所求值=sinxcosx(2-cosx-sinx)]
[=(-1225)×(2-15)=-108125.]
点评 解题犹如打仗，需要冲破道道难关，直奔解题目标，而盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，达到使两等式之间的“异”转化为“同”. 常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等.
一、审题技巧
审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提. 著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图. ”事实上，同学们常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中. 如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息，是解题迅速的必要条件，审题宜从以下几个方面进行.
1. 明确问题的条件与结论
要明确问题的条件与结论，需做到以下五点：Ⅰ.全面、深刻、确切地理解题目的明显条件；Ⅱ.不要遗漏题目中的“次要”条件；Ⅲ.要尽可能把已知条件直观化、形象化；Ⅳ.善于把已知条件作适合解题需要的转换；Ⅴ.要充分挖掘隐含条件.
例1 已知集合[A=x,yx2+mx-y+2=0]和[B=x,yx-y+1=0,0≤x≤2]，如果[A⋂B≠∅],求实数[a]的取值范围.
分析 在审题时，可以看出这两个集合均为点集，本题既可看成两个曲线有交点的问题，又可看成两方程在指定区间有公共解问题.
解： 由[x2+mx-y+2=0x-y+1=0(0≤x≤2)]，
得[x2+(m-1)x+1=0]. ①
[∵A⋂B≠∅]，[∴]方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
首先，由[Δ=m-12-4≥0,得m≥3或m≤-1.]
当[m≥3]时，由[x1+x2=-(m-1)<0]及[x1x2=1]知，方程①只有负根，不符合要求；
当[m≤-1]时，由[x1+x2=-(m-1)>0]及[x1x2=1>0]知, 方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间[0,1]内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.
综上，所求[m]的取值范围是[-∞,-1].
2. 灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换
数学有三种语言：符号语言、图形语言、日常用语，它们是数学知识，数学思维的载体，在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异，因人而异，而且各种语言之间又是互相渗透，如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用，就会使本来不难的变难、变繁.
由于数学语言的高度概括性使题目抽象程度提高，或者有时信息或问题表述及比较含蓄，应通过思考将其转译为自己熟悉的便于理解和应用的问题或信息. 可试图将问题换个说法，说给你自己听，做到：①隐晦的语言说得明确些；②繁复的问题说得简要些；③抽象的问题说得具体些；④表象的问题说得深实些；⑤难于正面说的问题从反面去说.
例2 已知[f(x)=x2+2x+1]，存在实数[t]，使得当[x∈[1，m]]时，[f(x+t)≤x]恒成立，求[m]的最大值.
[1 2]
解析 直接求解较复杂，译成图象语言可轻松获解. 将[f(x)=x2+2x+1]的图象进行左右平移，问题转化为当t为何值时，对于[x∈[1，m]]，[f(x)=x2+2x+1]图象恒在[y=x]的下方.
结合右图可知，当[f(x)=x2+2x+1]图象向右平移，且当右半部分第一次经过点（1，1），继续向右平移时，才会出现[x∈[1，m]，f(x+t)≤x]成立，继续向右平移；
当[f(x)]图象左半部分经过点（1，1），再向右平移时，有[f(x+t)≤x]恒成立，所以，[m]的最大值应为[f(x+t)]与[y=x]的除点（1，1）外的交点的横坐标. 由[(1+t)2+2(1+t)+1=1]，解得 [t=-1]（舍去）或[t=-3]，再由[f(x-3)=x]，解得[x=1]或[x=4].
故[m]的最大值为4.
点评 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题. 实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观. 思考问题时要善于从条件的结构特征中寻找一些和图象相关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫.
二、细节决定成败
在解决问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解，甚至错解.
例3 已知[fx=x2+2x+ax,]
（1）对任意[x∈1,+∞,fx≥0]恒成立,试求实数[a]的取值范围;
（2）当[x∈1,+∞,fx]的值域是[0,+∞],试求实数[a]的值.
解析 本题的第（1）问是一个恒成立问题, [fx=x2+2x+ax≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立. 等价于[ϕx=x2+2x+a≥0]对任意[x∈1,+∞]恒成立,又等价于[x≥1]时,[ϕx]的最小值[≥0]成立.
由于[ϕx=x+12+a-1]在[1,+∞]上为增函数,则[ϕminx=ϕ1=a+3],
所以 [a+3≥0,a≥-3.]
第（2）问是一个恰成立问题,这相当于[fx=x2+2x+ax≥0]的解集是[x∈1,+∞].
当[a≥0]时,由于[x≥1]时, [fx=x2+2x+ax][=x+ax+2≥3],与其值域是[0,+∞]矛盾,
当[a<0]时, [fx=x2+2x+ax=x+ax+2]是[1,+∞]上的增函数. 所以,[fx]的最小值为[f1],令[f1=0],即[1+a+2=0,a=-3.]
不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题往往只有一字之差，若不注意这个细节的差异，很容易在解题时张冠李戴，造成解题失误.
（1）恒成立问题. ①若不等式[fx>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[fx]在区间[D]上的最小值大于[A]；②若不等式[fx
例4 已知曲线[y=13x3+43]，则过点[P(2,4)]的切线方程是 .
解析 本题可以判断点[P(2,4)]在曲线[y=13x3+43]上，所以，大部分同学的解法是，由[y|x=2=4]得切线方程为[y-4=4(x-2)]，即[4x-y-4=]0.
但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点[P(2,4)]是否为切点,而上面的解法是把点[P(2,4)]当作切点求解的. 其实, 点[P(2,4)]也可能不是切点. 正确的解法是:
设切点为[(x0,y0)],则[y|x=x0=x20]，切线方程为[y-4=x20(x-2)].
因为[(x0,y0)]在切线上,则[y0-4=x20(x0-2)],从而有[13x30+43-4]=[x30-2x20]，
解得[x0=2,x0=-1],
于是, 过点[P(2,4)]的切线方程为[4x-y-4=0]和[x-y+2=0].
三、结论也是已知信息
我们在解题时常常忽视一个细节，那就是：结论也是已知信息！有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间.
例5 已知平面上的直线[l]的方向向量[e→=(-45,35)]，点(0，0)和A(1,－2)在[l]上的射影分别为[O′和A′]，若[O′A′=λe]，则[λ]为（ ）
A. [115] B. －[115] C. 2 D. －2
解析 直线[l]的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，[λ]必为定值. 可见直线[l]的变化不会影响[λ]的值. 因此我们可取[l]为[y=-34x]来求解[λ]的值. 设[l]:[y=-34x]， [A′(x,y),]
则[-2-y1-x(-34)=-1,y=-34x,] 可得[A′(85,-65)]，
∴[O′A′=λe1]，即[(85,-65)=λ(-45,35)]，[λ]=－2.
例6 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，[EF=32]，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A. [92] B. 5 C. 6 D. [152]
解析 该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而[VE-ABCD]=6，所以只能选D.
例7 连续投掷两次骰子的点数为[m、n]，记向量[b=(m,n)]与向量[a=(1，-1)]的夹角为[θ]，则[θ∈0,π2]的概率是（ ）
A. [512] B. [12] C. [712] D. [56]
解析 用估值法，画个草图，立刻发现在[∠AOB]范围内（含在OB上）的向量b的个数超过一半些许，选C，完全没有必要计算.
四、转化技巧
数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换. 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的. 转化是解数学题的一种十分重要的思维方法. 那么有哪些转化途径呢？
1. 数形转化.
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多.
例8 若P（2，-1）为圆[(x-1)2+y2=25]的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A. [x-y-3=0] B. [2x+y-3=0]
C. [x+y-1=0] D. [2x-y-5=0]
解析 画出圆和过点[P]的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A.
2. 数量转化.
数量是数学运算中最基本的单元,审视数量要善于观察、分析数量,依据数量本身的变化,数量与数量之间的相互联系进行恰当转化，从而找到解题的思路,获得优美的解法.
例9 求[sin7∘+cos15∘sin8∘cos7∘+sin15∘sin8∘]的值；
分析 解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在的数量联系. 如题中的含有角7°、15°、8°，发现它们之间的关系是15°＝7°＋8°，故可将7°拆成15°－8°.
解析 [sin7∘+cos15∘sin8∘cos7∘+sin15∘sin8∘]
＝[sin(15∘-8∘)+cos15∘sin8∘cos(15∘-8∘)+sin15∘sin8∘]＝[cos8∘sin15∘cos8∘cos15∘]
＝tan15°=[1-cos30∘sin30∘]=[2-3.]
3. 运算转化.
在解决一些数学问题时，我们常要对题目中的运算形态进行转化，通过转化，赋予式子新的运算方式，从而有利于问题的解决，如三角中的积化和差、和差化积、添置辅助角等变形方法，数列中的裂项求和法，向量中公式[a2=|a|2]的应用，代数式中取倒数、两边取对数、分离常数、分离参数等变形，都体现了运算转化的思想.
例10 已知向量[a]、[b]、[c]满足[|a|=1]，[|b|=2]，[|c|=3]，且[a+b+c=0]，求[a⋅a+b⋅c+c⋅a]的值.
解析 运用公式[a2=|a|2]，把向量的平方转化为其模的平方来计算，
[∵][a+b+c=0]，[∴(a+b+c)2=0]，
[∴a2+b2+c2+2(a⋅a+b⋅c+c⋅a)=0]，
即[a⋅a+b⋅c+c⋅a=-12(|a|2+|b|2+|c|2)=-7.]
4. 结构转化.
一个数学问题，无论是条件还是结论，总伴随着一定的“结构”特征，对其我们要认真观察，仔细分析，把握其内在的特点，必要时对现有结构进行转化，使解题向有利于解决问题的方向发展，从而取得关键性的突破.
例11 （1）已知[a+b+c=1]，求证：[a2+b2+c2≥13].
（2）求证：若[a、b、c∈R+]，则[a3+b3+c3≥3abc].
证明 （1）构造二次函数[f(x)=(x－a)2+(x－b)2+][(x－c)2]，则[f(x)≥0]，即[3x2－2(a+b+c)x+(a2+b2][+c2)]≥0，当且仅当[x=a=b=c]时等号成立.
∴[△=4(a+b+c)2+(a2+b2+c2)≤0.]
又[∵a+b+c=1,]
[∴a2+b2+c2≥13]，当且仅当[a=b=c=13]时，等号成立.
（2）可构造导数模型求解.
原不等式等价于[a3－3bca][≥－(b3+c3).]
令[f(a)=a3－3bc⋅a,]则[f(a)=3a2－3bc,]
令[f(a)=0]得[a=±bc]（舍负号,∵[a∈R+]），
∴当[a∈R+]时，[f(a)min=f(bc)][=－2b3c3.]
又[b、c∈R+，][∴b3+c3≥2b3c3]，
[∴－2b3c3≥-(b3+c3),]故原不等式成立.
例12 已知[a,b∈R+,a+b=1]，求证：[2a+1+2a+1≤22.]
解析 设[f(x)=2x+1]则[f(x)]的图象如图
[1][2]
[∵f(x)]在[(-12,+∝)]上是凹函数，
[∴f(a+b2)≥f(a)+f(b)2,]
[∵a+b=1, ∴f(a+b2)=f(12)=2.]
[∴f(a)+f(b)≤22]，即[2a+1+2b+1≤22].
5. 割补转化.
割补法是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的，例如：把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）等等，从而把未知的转化为已知的，把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的，充分体现等价转化的数学思想.
例13 已知三棱锥[P－ABC]的每相对的两条棱相等，棱长分别为5、6、7，求其体积.
解析 设补成的长方体的三边分别为[a,b,c]则其体积[V＝abc]，而补出的四个三棱锥的体积相等，都等于[16abc]，并且
[a2+b2=25,b2+c2=36,c2+a2=49,⇒a=19,b=6,c=30,]
[∴VP-ABC=V-4×16abc=13abc=295.]
例14 求函数[y=cosx(0≤x≤2π)]和[y=1]的图示所围成的封闭图形的面积.
解析 由于曲线[y=cosx(0≤x≤π)]关于[EF]对称（如图），又曲线段[AF]关于点[(0,π2)]对称，所以图形[EFA]≌图形[DAF]，
将曲线[AFB]沿[EF]剪开，可拼成矩形[AEFD]，则有
[S阴影=S矩形AEFD=2π].
五、目标意识（变形方向）
数学解题是一个自觉、积极、富有创造性的数学思维活动. 在这个思维过程中，解题的每个阶段总是要不断地提出各种辅助问题，为思维探索确定一个个恰当的目标，以便寻求问题的最后解决，这就是目标意识. 在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的. 在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.
例15 已知[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)，]且[f(x)≠0], 求证：[f(x)]是偶函数.
解析 盯住目标变形，要证明[f(x)]是偶函数，意味着证明：对任意[x∈R]，均有[f(-x)=f(x)]成立. 于是，可在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，消除字母[y]，即可令[y=x]，得
[f(2x)+f(0)=2[f(x)]2 ].
为了出现[-x]，又可令[y=－x]，
得[f(2x)+f(0)=2f(x)⋅f(－x). ]
[∴2[f(x)]2=2f(x)⋅f(－x). ]
[∵f(x)≠0，∴f(－x)=f(x)，]
故函数[y=f(x)]是偶函数.
点评 解题分析关键在于盯住目标，并合乎情理地消除题设与结论之间的差异！事实上，本题也可这么解答：在[f(x+y)+f(x－y)=2f(x)⋅f(y)]中，令[x=0]，得[f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).]接下来，只要证明[f(0)=1]就行了. 事实上，在上式中，取[y=0]不就显然可得了吗？
例16 已知[-π2
（2）求[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx]的值.
解析 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力，目标意识，方程组观念平方切入，（1）由[sinx+cosx=15,]平方得[sin2x+2sinxcosx][+cos2x=125,] 即[2sinxcosx=-2425.]
[(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925.]
注意角所在范围选取符号，又[∵-π2
故[sinx-cosx=-75.]
（2）目标意识沟通代入有,
[3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx,]
[所求值=sinxcosx(2-cosx-sinx)]
[=(-1225)×(2-15)=-108125.]
点评 解题犹如打仗，需要冲破道道难关，直奔解题目标，而盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，达到使两等式之间的“异”转化为“同”. 常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等.