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摘 要：承重结构的设计是土木工程设计中的基本问题之一。本文针对高中通技实践课题中以桐木条为基本材料制作能承受特定压力的木梁结构的任务要求，通过结构建模受力分析和软件仿真，研究了影响结构承载力的主要因素，提出了木梁承重结构的优选设计方案和选型方法，并分别从理论和实验上验证了所提出方案的合理性和有效性，本文提出的选型方法不仅满足了课题设计要求而且具有一定的通用性。
关键词：桐木条木梁；承重结构；建模分析；软件仿真
承重结构是指直接将本身自重与各种外加作用力系统地传递给基础地基的主要结构构件和其连接接点，包括承重墙体、立杆、框架柱、支墩、楼板、梁、屋架、悬索等[1]，在房屋、桥梁等结构设计中有着广泛的应用。在设计过程中，低耗材、大承载力、最大净空跨度以及自平衡体系等是重点关注因素。在高中通用技术课中，有一项实践课题为以桐木条为基本材料，制作能承受特定压力的木梁结构。本文针对此项课题的要求，对梁型选择进行了分析讨论，提出了具体设计方案，并进行了建模分析和软件仿真。
1 问题的提出
本课题的主要任务为以桐木条为基本材料，设计制作满足一定要求的木梁结构，如图1所示，具体设计要求如下：
（1）用桐木条制作一个抵抗压力P大于50kg的结构；
（2）对承重梁的要求：水平跨度S大于500mm，高度h不超过250mm，木梁的底部与测试装置接触部分宽度至少有一处不小于30mm ；
（3）结构总自重M不超过60克 ；
（4）承重加载点偏底边中垂线2CM；
（5）测试结构时，结构不能给测试架侧向压力。
设计所限定使用的材料为：
（1）材料：桐木条（长度单位为mm）
a.1000×55×1（16.7g） 2根
b.1000×55×2（36.5g） 4根
c.1000×55×3（46.5g） 4根
（2）工具、夹具 ：裁纸刀、直尺、小木工锯；夹子自备。
（3）耗材：万能胶或速干乳胶。
2 设计方案
常见的梁结构有简支梁、连续梁、拱形梁、斜拉悬索、绗梁等[2]，由于本课题中要求采用材料的尺寸、质量及自平衡等限制，无法采用上述已有的结构，需根据设计要求重新设计。从本课题中的偏心承重要求出发，考虑结构质量和制作难度，本文提出非对称梯形承重结构如图2所示。
其中，AB受压弯挠曲力，选用最厚板材，即规格为1000×55×3（46.5g）的桐木条，其单位长度质量ρ1=46.5[]1000=0.0465g/mm；
AC，BD受壓力为主，并考虑第二设计要求，选用次厚板材，即规格为1000×55×2（36.5g）的桐木条， 其单位长度质量ρ2=36.5[]1000=0.0365g/mm；
CD仅受拉力，选用最薄板材，即规格为1000×55×1（16.7g）的桐木条， 其单位长度质量ρ3=16.7[]1000=0.0167g/mm；
为增加结构的承重能力，在各连接节点采用最薄板材加固节点，因每片用料较少，忽略各片的质量微小差异，其质量统一计为刕6，单位为g/片。
AB，AC，BD，CD的选材使结构在考虑质量因素的情况下达到最大强度，连接点的连接支撑在最小质量增加前提下提高了结构的稳定性，而角度α，β的选择则需根据受力位置确定，以保证受力平衡，达到整体结构的稳定。
3 结构受力分析
对板AB做受力分析[3]。为优化结构受力，避免结构承受较大弯矩，假定AB两端为铰支结构，则其受力如图3所示。其中，由于材料质量较小，忽略材料重力影响。
PCA，PDB分别为侧板CA和DB的轴力。则垂直方向的分力为：
PAY=PCAsin α（1）
PBY=PDBsin β（2）
水平方向的分力为：
PAX=PCAsin α（3）
PBY=PDBcos β（4）
由力的平衡可知：
PAY+PBY=P（5）
PAX=PBX（6）
根据加载点位置要求：
x=1[]2S-h[]tan α-C（7）
其中h为结构高度（mm）；c为加载点偏底边中垂线距离，为20mm。底部跨度S为：
S=L+h/tan α+h/tan β（8）
其中L为顶板长度（mm）。
对荷载作用点求矩，由力矩平衡得：
PAYx-PBY（L-x）=0（9）
将式（5）代入式（9）得：
（P-PBY）x-PBYL+PBYL+PBYx=0（10）
解得：PAY=P（L-x）[]LPBY=Px[]L（11）
结合式（1）～式（4）和式（6），可得：
PAX=PBX=P（L-x）[]Ltanα=Px[]Ltan β（12）
PAX和PBX等于顶板AB的轴力，由上式可知，顶板轴力大小与承重P、加载点位置x、顶板长度L以及倾角α和β等都有关。
顶板AB同时受压弯作用，最大弯矩在荷载作用点位置。弯矩MP为：
MP=Px（L-x）[]L（13）
由上式可知，顶板所受最大弯矩主要与承重P、加载点位置x和顶板长度L有关。
在结构设计时，可通过优选以上参数以尽量减小结构受力，保证结构不破坏。
通过式（12）可知，要取得较小的轴力，可以通过提高倾角。提高倾角可通过提高结构高度和减小结构跨度实现。按照本文设计要求，则跨度可选择最小值500mm，高度选择最大值250mm。此时，结构形式则仅由倾角α和β决定了。 由式（12）可得：
tan α=L-x[]xtan β（14）
将（7）（8）代入（14）可得：
tan β=0.5*tan α*S-c*tan α[]0.5*S+c（15）
则该结构的总质量为：
M=ρ1AB+ρ2AC+ρ2BD+ρ3CD+ρ4K
=ρ1L+ρ2（h[]sin α+h[]sin β）+ρ3S+ρ4K
（16）
由于材料限定，因此ρ1，ρ1，ρ3，ρ4，K均已知，则问题转化为在如式（17）所示条件约束下，求使总质量M和结构受力都最小的α，β以及顶板AB，侧板AC、BD和底板CD的下料长度。
h<250mmM<60gS>500mm
（17）
4 软件仿真
对于上一节中建立的数学模型求解有多种方式，显然采用解析解的方式是非常复杂的，本文采用数值计算方法，设计了仿真程序，在已知p，x，ρ1，ρ1，ρ3，ρ4，h，S，K的条件下，求解使得总质量M最小的α，β，同时满足结构受力较优。为了方便求解，本文采用MATLAB编程[4]，如图4和图5所示，分别为仿真软件的主界面和参数输入界面。根据设计要求，输入相应参数，采用定步长逐点扫描的方法，自动计算最优设计值。
4.1 最优化方案研究
预设S=500mm，h=250mm。计算得到不同倾角下结构的尺寸和受力，节选的部分计算结果见下表。
由下表格可知，当左倾角小于等于55度时，顶板长度不满足要求。左倾角需大于55度。另外发现，随着倾角增加，结构总质量随之增加，轴力随之减小，顶板最大弯矩随之增大。其中轴力减小幅度较小，而弯矩增加幅度较大。因此，可以优选倾角较小的结果，以尽量减小总质量和弯矩。
最终优选方案为，左倾角56度，右倾角51.6度，顶板长133.4mm，侧板AC长301.6mm，侧板BD长318.9mm，跨度500mm，结构总质量为47.34g。
4.2 跨度和加载点偏离位置影响规律
为了研究跨度以及加载点偏离位置对设计的影响，采用设计的仿真软件进行了如下两个实验。
（1）实验一：跨度变化
跨度S从500mm到700mm，以步长50mm 变化，计算结果如图6所示。
由图6可知，随着跨度增加，材料總质量和顶板弯矩都随之增加，而对顶板轴力影响不大，因此建议尽量选择最小跨度。
（2）实验二：加载点偏底边中垂线距离变化
偏离位置c从10mm到50mm，以步长10mm变化，计算结果如图7所示。
由图7可知，加载点位置对总质量和顶板轴力影响不大，对顶板弯矩和左右倾角影响较为明显。加载点偏离中心越远，左右倾角差异越大。
5 结论
（1）通过理论研究和软件仿真，提出了合理的结构设计方案，完成了任务要求。
（2）模型方法正确，提供了具有通用性的分析方法，可以通过改变参数分析其他可能的工况，避免了盲目试制造成的时间和材料的浪费。
（3）通过本课题的研究，提高了自学能力，具有了初步的结构设计及编程能力。
参考文献：
[1]https：//baike.baidu.com/item/承重结构/5497072？fr=aladdin.
[2][JP2]龙驭球，包世华.结构力学[M].高等教育出版社， 2006.[JP]
[3]人民教育出版社课程教材研究所.物理[M].人民教育出版社，2010.
[4]王薇.MATLAB从基础到精通[M].电子工业出版社， 2012.
关键词：桐木条木梁；承重结构；建模分析；软件仿真
承重结构是指直接将本身自重与各种外加作用力系统地传递给基础地基的主要结构构件和其连接接点，包括承重墙体、立杆、框架柱、支墩、楼板、梁、屋架、悬索等[1]，在房屋、桥梁等结构设计中有着广泛的应用。在设计过程中，低耗材、大承载力、最大净空跨度以及自平衡体系等是重点关注因素。在高中通用技术课中，有一项实践课题为以桐木条为基本材料，制作能承受特定压力的木梁结构。本文针对此项课题的要求，对梁型选择进行了分析讨论，提出了具体设计方案，并进行了建模分析和软件仿真。
1 问题的提出
本课题的主要任务为以桐木条为基本材料，设计制作满足一定要求的木梁结构，如图1所示，具体设计要求如下：
（1）用桐木条制作一个抵抗压力P大于50kg的结构；
（2）对承重梁的要求：水平跨度S大于500mm，高度h不超过250mm，木梁的底部与测试装置接触部分宽度至少有一处不小于30mm ；
（3）结构总自重M不超过60克 ；
（4）承重加载点偏底边中垂线2CM；
（5）测试结构时，结构不能给测试架侧向压力。
设计所限定使用的材料为：
（1）材料：桐木条（长度单位为mm）
a.1000×55×1（16.7g） 2根
b.1000×55×2（36.5g） 4根
c.1000×55×3（46.5g） 4根
（2）工具、夹具 ：裁纸刀、直尺、小木工锯；夹子自备。
（3）耗材：万能胶或速干乳胶。
2 设计方案
常见的梁结构有简支梁、连续梁、拱形梁、斜拉悬索、绗梁等[2]，由于本课题中要求采用材料的尺寸、质量及自平衡等限制，无法采用上述已有的结构，需根据设计要求重新设计。从本课题中的偏心承重要求出发，考虑结构质量和制作难度，本文提出非对称梯形承重结构如图2所示。
其中，AB受压弯挠曲力，选用最厚板材，即规格为1000×55×3（46.5g）的桐木条，其单位长度质量ρ1=46.5[]1000=0.0465g/mm；
AC，BD受壓力为主，并考虑第二设计要求，选用次厚板材，即规格为1000×55×2（36.5g）的桐木条， 其单位长度质量ρ2=36.5[]1000=0.0365g/mm；
CD仅受拉力，选用最薄板材，即规格为1000×55×1（16.7g）的桐木条， 其单位长度质量ρ3=16.7[]1000=0.0167g/mm；
为增加结构的承重能力，在各连接节点采用最薄板材加固节点，因每片用料较少，忽略各片的质量微小差异，其质量统一计为刕6，单位为g/片。
AB，AC，BD，CD的选材使结构在考虑质量因素的情况下达到最大强度，连接点的连接支撑在最小质量增加前提下提高了结构的稳定性，而角度α，β的选择则需根据受力位置确定，以保证受力平衡，达到整体结构的稳定。
3 结构受力分析
对板AB做受力分析[3]。为优化结构受力，避免结构承受较大弯矩，假定AB两端为铰支结构，则其受力如图3所示。其中，由于材料质量较小，忽略材料重力影响。
PCA，PDB分别为侧板CA和DB的轴力。则垂直方向的分力为：
PAY=PCAsin α（1）
PBY=PDBsin β（2）
水平方向的分力为：
PAX=PCAsin α（3）
PBY=PDBcos β（4）
由力的平衡可知：
PAY+PBY=P（5）
PAX=PBX（6）
根据加载点位置要求：
x=1[]2S-h[]tan α-C（7）
其中h为结构高度（mm）；c为加载点偏底边中垂线距离，为20mm。底部跨度S为：
S=L+h/tan α+h/tan β（8）
其中L为顶板长度（mm）。
对荷载作用点求矩，由力矩平衡得：
PAYx-PBY（L-x）=0（9）
将式（5）代入式（9）得：
（P-PBY）x-PBYL+PBYL+PBYx=0（10）
解得：PAY=P（L-x）[]LPBY=Px[]L（11）
结合式（1）～式（4）和式（6），可得：
PAX=PBX=P（L-x）[]Ltanα=Px[]Ltan β（12）
PAX和PBX等于顶板AB的轴力，由上式可知，顶板轴力大小与承重P、加载点位置x、顶板长度L以及倾角α和β等都有关。
顶板AB同时受压弯作用，最大弯矩在荷载作用点位置。弯矩MP为：
MP=Px（L-x）[]L（13）
由上式可知，顶板所受最大弯矩主要与承重P、加载点位置x和顶板长度L有关。
在结构设计时，可通过优选以上参数以尽量减小结构受力，保证结构不破坏。
通过式（12）可知，要取得较小的轴力，可以通过提高倾角。提高倾角可通过提高结构高度和减小结构跨度实现。按照本文设计要求，则跨度可选择最小值500mm，高度选择最大值250mm。此时，结构形式则仅由倾角α和β决定了。 由式（12）可得：
tan α=L-x[]xtan β（14）
将（7）（8）代入（14）可得：
tan β=0.5*tan α*S-c*tan α[]0.5*S+c（15）
则该结构的总质量为：
M=ρ1AB+ρ2AC+ρ2BD+ρ3CD+ρ4K
=ρ1L+ρ2（h[]sin α+h[]sin β）+ρ3S+ρ4K
（16）
由于材料限定，因此ρ1，ρ1，ρ3，ρ4，K均已知，则问题转化为在如式（17）所示条件约束下，求使总质量M和结构受力都最小的α，β以及顶板AB，侧板AC、BD和底板CD的下料长度。
h<250mmM<60gS>500mm
（17）
4 软件仿真
对于上一节中建立的数学模型求解有多种方式，显然采用解析解的方式是非常复杂的，本文采用数值计算方法，设计了仿真程序，在已知p，x，ρ1，ρ1，ρ3，ρ4，h，S，K的条件下，求解使得总质量M最小的α，β，同时满足结构受力较优。为了方便求解，本文采用MATLAB编程[4]，如图4和图5所示，分别为仿真软件的主界面和参数输入界面。根据设计要求，输入相应参数，采用定步长逐点扫描的方法，自动计算最优设计值。
4.1 最优化方案研究
预设S=500mm，h=250mm。计算得到不同倾角下结构的尺寸和受力，节选的部分计算结果见下表。
由下表格可知，当左倾角小于等于55度时，顶板长度不满足要求。左倾角需大于55度。另外发现，随着倾角增加，结构总质量随之增加，轴力随之减小，顶板最大弯矩随之增大。其中轴力减小幅度较小，而弯矩增加幅度较大。因此，可以优选倾角较小的结果，以尽量减小总质量和弯矩。
最终优选方案为，左倾角56度，右倾角51.6度，顶板长133.4mm，侧板AC长301.6mm，侧板BD长318.9mm，跨度500mm，结构总质量为47.34g。
4.2 跨度和加载点偏离位置影响规律
为了研究跨度以及加载点偏离位置对设计的影响，采用设计的仿真软件进行了如下两个实验。
（1）实验一：跨度变化
跨度S从500mm到700mm，以步长50mm 变化，计算结果如图6所示。
由图6可知，随着跨度增加，材料總质量和顶板弯矩都随之增加，而对顶板轴力影响不大，因此建议尽量选择最小跨度。
（2）实验二：加载点偏底边中垂线距离变化
偏离位置c从10mm到50mm，以步长10mm变化，计算结果如图7所示。
由图7可知，加载点位置对总质量和顶板轴力影响不大，对顶板弯矩和左右倾角影响较为明显。加载点偏离中心越远，左右倾角差异越大。
5 结论
（1）通过理论研究和软件仿真，提出了合理的结构设计方案，完成了任务要求。
（2）模型方法正确，提供了具有通用性的分析方法，可以通过改变参数分析其他可能的工况，避免了盲目试制造成的时间和材料的浪费。
（3）通过本课题的研究，提高了自学能力，具有了初步的结构设计及编程能力。
参考文献：
[1]https：//baike.baidu.com/item/承重结构/5497072？fr=aladdin.
[2][JP2]龙驭球，包世华.结构力学[M].高等教育出版社， 2006.[JP]
[3]人民教育出版社课程教材研究所.物理[M].人民教育出版社，2010.
[4]王薇.MATLAB从基础到精通[M].电子工业出版社， 2012.